Matemáticas/Definiciones/Teorema 1

Teorema de Brianchon

El teorema de Brianchon se debe a Charles Julien Brianchon (1783-1864) y afirma que:

Las diagonales de un hexágono circunscrito a una cónica se cortan en un punto.

La siguiente figura muestra una elipse inscrita en un hexágono. Al punto común a las tres diagonales, coloreado en rojo en la figura, se le conoce con el nombre de punto de Brianchon.

Casos límites:

Haciendo coincidir dos lados consecutivos del hexágono en uno solo y sustituyendo el vértice desaparecido por el punto de contacto, obtenemos que:

• En todo pentágono circunscrito a una cónica, la recta que une un vértice con el punto de contacto del lado opuesto, y las diagonales que unen los otros vértices no consecutivos, son tres rectas que concurren en un mismo punto.

Aplicando el mismo procedimiento, podemos obtener que:

• En todo cuadrilátero circunscrito a una cónica, si se toman los puntos de contacto de dos lados que se cortan en un vértice, la recta de unión de este con su opuesto y las de unión de los puntos de contacto con los otros dos vértices son tres rectas que concurren en un mismo punto.

O también:

• En todo cuadrilátero circunscrito a una cónica, las dos diagonales y las rectas que unen los puntos de contacto de lados opuestos son cuatro rectas que concurren en un punto.

Por último:

• En todo triángulo circunscrito a una cónica, las rectas que unen los vértices con los puntos de contacto de los lados opuestos son tres rectas que concurren en un punto.