Matemáticas/Definiciones/Circunferencia especial

Circunferencia de los 9 puntosEditar

La circunferencia de los 9 puntos de un triángulo, llamada así por JV Poncelet, queda definida por el siguiente teorema:

  • En cualquier triángulo, los pies de las tres alturas, los puntos medios de los lados y los puntos medios de los segmentos que unen los vértices con el ortocentro, están en una misma circunferencia, el radio de la que es la mitad del radio de la circunferencia circunscrita.

En la circunferencia de los 9 puntos se la conoce también como circunferencia de Euler (Leonhard Euler, 1707-1783) o circunferencia de Feuerbach (Karl Feuerbach, 1800 a 1834).

En la siguiente figura, en la que hemos dibujado el triángulo ABC, las alturas AA ', BB' y CC 'se cortan en el ortocentro H y P, Q y R son los puntos medios de los lados AB, BC y CA. Asimismo, U, V y W son los puntos medios de los segmentos AH, BH y CH. La circunferencia de los 9 puntos está dibujada en rojo.

En esta figura podemos observar algunas propiedades. Por ejemplo,

  • El centro N de la circunferencia de los 9 puntos está situado en la recta de Euler, equidistante del ortocentr H y del circuncentre O.

Recordemos que la recta de Euler contiene al ortocentro, baricentro y circuncentro de cualquier triángulo.