Matemáticas/Definiciones/Apolonio 5

5 - Dos puntos y una circunferencia Dados dos puntos y una circunferencia, hallar una circunferencia que pase los dos puntos y sea tangente a la circunferencia dada. Si ninguno de los puntos dados A y B están en la circunferencia dada, para que haya solución es necesario que ambos sean exteriores o interiores. En ambos casos, la construcción es similar y se muestra en las figuras siguientes:

Encontraremos la mediatriz del segmento AB y una circunferencia cualquiera que pase por estos dos puntos y corta a la circunferencia dada. A continuación, encontraremos el punto de intersección M del eje radical de las dos circunferencias con la recta AB. Desde el punto M dibujaremos las rectas tangentes a la circunferencia dada, asiento los puntos de tangencia P y Q también puntos de tangencia de las circunferencias buscadas. Para encontrar sus centros obtenemos la intersección de la mediatriz del segmento AB con las rectas que unen P y Q con el centro de la circunferencia dada.

Si uno de los puntos, por ejemplo el punto B, está en la circunferencia dada, la construcción también es la misma tanto si el punto A es exterior como interior a la circunferencia dada:

En este caso unimos B con el centro de la circunferencia dada y encontramos la intersección de la recta obtenida con la mediatriz del segmento AB. De esta manera obtenemos el centro de la circunferencia buscada.