Matemáticas/Combinatoria/Permutación

Una permutación es la variación del orden o de la disposición de los elementos de un conjunto ordenado o una tupla sin elementos repetidos.

Definición formal

La definición intuitiva de permutación, como ordenamientos o arreglos de los elementos de un conjunto se formaliza con el uso del lenguaje de funciones matemáticas.

Definición. Una permutación de un conjunto X es una función biyectiva de dicho conjunto en sí mismo.

Ejemplo de permutación considerada como función biyectiva.

Para ilustrar la definición, retomemos el ejemplo descrito en la introducción. En el ejemplo, X={1, 2, 3}.

Entonces, cada correspondencia uno a uno entre el conjunto {1, 2, 3} a sí mismo equivale a una forma de ordenar los elementos.

Por ejemplo, la asignación biyectiva dada por

• 1 → 1
• 2 → 2
• 3 → 3

puede hacerse corresponder al ordenamiento "1, 2, 3".

Por otro lado, la asignación biyectiva dada por

• 1 → 3
• 2 → 2
• 3 → 1

puede hacerse corresponder al ordenamiento "3, 2, 1".

En la definición de permutación, no se establece condición alguna sobre X, el cual puede incluso ser infinito. Sin embargo, es común considerar únicamente el caso en que X es un conjunto finito al estudiar permutaciones.

La combinatoria trata del número de diferentes maneras que existen de considerar conjuntos formados a partir de elementos de un conjunto dado, respetando ciertas reglas, como el tamaño, el orden, la repetición, la partición. Así un problema combinatorio consiste usualmente en establecer una regla sobre cómo deben ser las agrupaciones y determinar cuántas existen que cumplan dicha regla. Básicamente, tres asuntos: permutaciones, combinaciones y variaciones (aunque se puede considerar a las permutaciones como un tipo especial de variaciones), todas sin repetición o con ella.

Un tipo importante de esas agrupaciones son las llamadas permutaciones. Dada una n-tupla ordenada de elementos de un conjunto, el número de permutaciones es el número de n-tuplas ordenadas .

Fórmula del número de permutaciones

Dado un conjunto finito $A\,\!$ de $n\,\!$ elementos, el número de todas sus permutaciones es igual a factorial de n:
$n!=n(n-1)(n-2)\cdots 1\,\!$.

Demostración: Dado que hay $n\,\!$ formas de escoger el primer elemento y, una vez escogido éste, sólo tenemos $(n-1)\,\!$ formas de escoger el segundo elemento, y así sucesivamente, vemos que cuando llegamos al elemento k-ésimo sólo tenemos $[n-(k-1)]\,\!$ posibles elementos para escoger, lo que nos lleva a que tenemos $n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1\,\!$ formas de ordenar el conjunto, justamente lo que enunciamos anteriormente.

Ejemplo: sea el conjunto A={1,2,3} en este caso hay 6 permutaciones, en forma compacta: 123, 132, 213, 231, 312, 321. En álgebra, para estudiar los grupos simétricos se presentan entre paréntesis y en dos filas, en la primera siempre aparece 1 2 3.

Una variante de lo mismo, si se va a formar un comité que involucra presidente, tesorero y secretario, habiendo tres candidatos a, b, c ; cuando se elige por sorteo los cargos sucesivamente, hay seis posibilidades u ordenaciones: abc, acb, bca, bac, cab, cba.