Distintas situaciones de una función en un punto.
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{\displaystyle Funci{\acute {o}}n\left\{{\begin{array}{l}Continua\left\{{\begin{array}{l}Derivable\\No\;derivable\end{array}}\right.\\\\Discontinua\left\{{\begin{array}{l}Evitable\\Esencial\left\{{\begin{array}{l}De\;primera\;especie\left\{{\begin{array}{l}De\;salto\;finito\\De\;salto\;infinito\\Asint{\acute {o}}tica\end{array}}\right.\\De\;segunda\;especie\end{array}}\right.\\\end{array}}\right.\end{array}}\right.}
Continuidad en un punto
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Una función f(x) es continua en un punto
x
0
{\displaystyle x_{0}}
∀
ϵ
>
0
∃
δ
>
0
/
|
x
−
x
0
|
<
δ
⇒
|
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
|
<
ϵ
{\displaystyle \forall \epsilon >0\quad \exists \delta >0\quad /\quad |x-x_{0}|<\delta \quad \Rightarrow \quad |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon }
Informalmente esta definición quiere decir que podemos hacer que la imagen de un punto sea todo lo cercana que queramos a
f
(
x
0
)
{\displaystyle f(x_{0})}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
Continuidad en un intervalo
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Como resulta intuitivo, una función es continua en un intervalo si lo es en cada uno de sus puntos.
f(x) es continua en [a,b]
⟺
∀
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle \quad \iff \quad \forall x\in [a,b]}
Sean f(x) y g(x) funciones continuas. Se verifica:
af(x) es continua
a
∈
R
{\displaystyle a\in \mathbb {R} }
f(x)+g(x) es continua
f(x)g(x) es continua
f(g(x)) es continua 
![{\displaystyle \quad \iff \quad \forall x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7a6d36706cef07204348fffa392c9a913d6d16f)
