Matemáticas/Cálculo en una variable/Conjunto Acotado

Conjunto acotado superiormenteEditar

Definición: Sea   un conjunto de números reales. Decimos que el conjunto   está acotado superiormente si existe algún   cumpliendo  . A este valor   lo llamamos Cota superior de S.


Proposición: Si un conjunto   tiene una cota superior, esta no es única.

Prueba: Procedamos por reducción al absurdo:

Sea   una cota superior de  , supongamos que   es único. Por ser   cota superior, se cumple  . Consideremos ahora el conjunto  . Puesto que   es la única cota superior de  ,   es el mayor de todos los elementos de  , y no existe ningún   siendo cota superior de  , pues de existir, lo sería también de   y hemos supuesto que sólo había una cota superior para  . Luego no existe   cumpliendo   ya que de existir, sería cota superior de   y hemos dicho que   no está acotado superiormente. Pero esto es falso, pues dado un número real cualquiera siempre podemos encontrar otro más grande. Por lo tanto, llegamos a una contradicción, y la cota superior de un conjunto no es única.


Corolario: Dados sendos conjuntos   acotado superiormente y   finito, los conjuntos   y   son también acotados superiormente.

Prueba: Para ver que   es acotado superiormente, procedemos como sigue: Reiterando el proceso usado en la demostración anterior, construimos los conjuntos   del modo siguiente:   con  ,  . Los conjuntos sucesivos   son acotados superiormente por lo que hemos visto en la demostración anterior. Como   es finito, este proceso tiene un final definido, que no es otro que la construcción del conjunto   que resulta acotado superiormente por la misma.

En el caso del conjunto  , distinguimos dos subcasos:

  • Si existen   siendo   cota inferior de   y   cota superior, entonces la demostración es trivial.
  • Si hay algún   que es o bien cota superior o bien cota inferior de  , reproducimos la construcción de la demostración anterior usando las proposiciones para cota inferior y superior según convenga y resulta   acotado superiormente.


Proposición: Todo subconjunto   de un conjunto   acotado superiormente, es acotado superiormente.

Prueba: Si   es cota superior de  , se cumple  . Por ser  , todo elemento   lo es tambien de  ; y por lo tanto,  , luego   es acotado superiormente.


Conjunto acotado inferiormenteEditar

Definción: Sea   un conjunto de números reales. Decimos que el conjunto   está acotado inferiormente si existe algún   cumpliendo  . A este valor   lo llamamos Cota inferior de S.


Proposición: Si un conjunto   tiene una cota inferior, esta no es única.

Prueba: Por un procedimiento análogo al usado para cotas superiores, se tiene lo siguiente:

Sea   una cota inferior de  , supongamos que   es único. Por ser   cota inferior, se cumple  . Consideremos ahora el conjunto  . Puesto que   es la única cota inferior de  ,   es el menor de todos los elementos de  , y no existe ningún   siendo cota inferior de  , pues de existir, lo sería también de   y hemos supuesto que sólo había una cota inferior para  . Luego no existe   cumpliendo   ya que de existir, sería cota inferior de   y hemos dicho que   no está acotado inferiormente. Pero esto es falso, pues dado un número real cualquiera siempre podemos encontrar otro más pequeño. Por lo tanto, llegamos a una contradicción, y la cota inferior de un conjunto no es única.


Corolario: Dados sendos conjuntos   acotado inferiormente y   finito, los conjuntos   y   son también acotados inferiormente.

Prueba: Para ver que   es acotado inferiormente, procedemos como sigue: Reiterando el proceso usado en la demostración anterior, construimos los conjuntos   del modo siguiente:   con  ,  . Los conjuntos sucesivos   son acotados inferiormente por lo que hemos visto en la demostración anterior. Como   es finito, este proceso tiene un final definido, que no es otro que la construcción del conjunto   que resulta acotado inferiormente por la misma.

En el caso del conjunto  , distinguimos dos subcasos:

  • Si existen   siendo   cota inferior de   y   cota superior, entonces la demostración es trivial.
  • Si hay algún   que es o bien cota superior o bien cota inferior de  , reproducimos la construcción de la demostración anterior usando las proposiciones para cota inferior y superior según convenga y resulta   acotado inferiormente.


Proposición: Todo subconjunto   de un conjunto   acotado inferiormente, es acotado inferiormente.

Prueba: Si   es cota inferior de  , se cumple  . Por ser  , todo elemento   lo es tambien de  ; y por lo tanto,  , luego   es acotado inferiormente.


Conjunto acotadoEditar

Definción: Sea   una conjunto de números reales. Decimos que el conjunto   está acotado si está acotado superior e inferiormente.


Teorema: Todo conjunto   finito es acotado.

Prueba: Consideramos el conjunto   de la siguiente manera:   con   por ser   finito. Procedemos ahora por inducción sobre   para comprobar que todos los conjuntos   escritos de esta manera -es decir, finitos- son acotados:

  • Para   se tiene   que es trivialmente acotado.
  • Supongamos cierto el paso   y probemos el caso  :

Ahora tenemos que el conjunto C es el siguiente:  . Por hipótesis de inducción   es acotado, luego es acotado superior e inferiormente. Si ahora unimos con un conjunto que tiene un solo elemento estamos repitiendo la construcción empleada en las demostraciones anteriores, luego este nuevo conjunto es acotado superior e inferiormente y, por tanto, es acotado. Y vemos que todo conjunto finito es acotado.


Proposición: Todo subconjunto de un conjunto acotado, es acotado.

Prueba: Si un conjunto es acotado, es acotado superior e inferiormente. Luego está contenido a la vez en un conjunto acotado superiormente y en un conjunto acotado inferiormente. Si tomamos la intersección de estos dos conjuntos, obtenemos un conjunto acotado que contiene al conjunto incial.


EjemplosEditar

El conjunto   está acotado inferiormente por 0.

El conjunto   está acotado superiormente por 0.

El conjunto   está acotado.

El conjunto   está acotado (siendo 1 una cota superior y 0 una cota inferior) pero no es finito, lo cual indica que el recíproco del Teorema anterior no es cierto.