Matemáticas/Cálculo en una variable/Cálculo integral/Integración por partes

La integración por partes es un método que surge de la fórmula de la derivada de un producto.

Sean u y v funciones definidas en un mismo dominio I, es decir:

$u,v:I\to \mathbf {R}$

derivables en todo punto del dominio. Sabemos que:

$d(u\cdot v)=du\cdot v+u\cdot dv$

despejando, obtenemos:

$u\cdot dv=d(u\cdot v)-v\cdot du$

Integrando esta expresión:

$\int u\cdot dv=\int d(u\cdot v)-\int v\cdot du$

$\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v\cdot du$ 

que es la fórmula de integración por partes.

Esta fórmula se utiliza sobre todo para integrar funciones trascendentes, cuya derivada es algebraica, integrandos que sean productos de funciones polinómicas por trascendentes, y en general, integrandos que se puedan expresar como producto de una función por la derivada de otra.

Así tenemos por ejemplo:

 $\int f(x)dx=x\cdot f(x)-\int x\cdot f'(x)dx$

Con la fórmula anterior podemos obtener:

$\int log(x)dx=x\cdot log(x)-\int x{\frac {1}{x}}dx=$ $=x\cdot log(x)-\int dx=x\cdot log(x)-x+C$

Lo más complicado suele ser la elección de u y dv en la integración de $\int f(x)\cdot g(x)dx$, para comenzar podemos tener en cuenta la siguiente clasificación de funciones: Logaritmica, Inversa trigonométrica, Algebraica, Trascendente, Exponencial.

Cada función de la clasificación LIATE tiene su derivada en una posterior, así que hemos de tomar "u" lo más a la izquierda posible en dicha clasificación y el resto será dv.

Ejemplo: $\int x\cdot e^{x}dx$

x es algebraica y $e^{x}$ es exponencial, por tanto, hemos de tomar $u=x;dv=e^{x}dx$ diferenciando la primera e integrando la segunda, tendremos: $du=dx,v=e^{x}$, y la integral es:

$\int x\cdot e^{x}dx=x\cdot e^{x}-\int e^{x}dx=x\cdot e^{x}-e^{x}+C$