Matemáticas/Álgebra Lineal/Espacios Vectoriales

Definicion

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Un espacio vectorial   sobre un campo  , es un conjunto donde se cumplen 2 operaciones   y  

Donde:

 

Es una operacion binaria en el conjunto V conocida como suma de vectores

 

Es una operacion binaria del campo F y el conjunto V, al conjunto V conocida como multiplicacion por escalares


Y se cumplen las siguientes propiedades:

Propiedad 1.

 

Propiedad 2.

 

Propiedad 3.

 

Propiedad 4.

 .

Propiedad 5.

 

Propiedad 6.

 

Propiedad 7.

 

Propiedad 8.

 


Donde  y   son las dos operaciones del campo F


A los elementos de V se les llama Vectores y a los elementos de F se les llama escalares.


No confundir   con  , el primero es suma de vectores y el segundo es suma de escalares; y recordadr que   es producto de escalares por vectores y   es multiplicacion de escalares


Ejemplos

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1.   es un espacio vectorial sobre el campo  


2.   (el conjunto de matrices de   con entradas en  ) es un espacio vectorial sobre el campo  


3.   (los polinomios de grado menor o igual que   con coeficientes en  ) son un espacio vectorial sobre el campo  


4.

Teorema En un espacio vectorial siempre se cumplen las siguientes propiedades:

  1.  ,  

donde   es el neutro de la operacion suma en F

  1.  ,  
  2.  ,  


Demostración

  1.   y por cancelacion  .
  2.  . Como el simétrico (para la suma) de   es único, tenemos  .
  3.   y por cancelación  .