Matemáticas/Álgebra Conmutativa/Anillos conmutativos
Definicion
editarSea A un conjunto no vacío, y sean y las dos operaciones binarias en A. Se dice que el conjunto es un anillo conmuntativo por que se cumple con las siguientes propiedades:
1. A es cerrado bajo la operación de la suma . 2. La operación es asociativa. 3. La operación tiene a n como elemento neutro. 4. Existe un elemento simétrico para .
Estas cuatro condiciones definen un grupo. Una quinta condición define un grupo abeliano:
5. La operación es conmutativa.
Para definir un anillo, es necesario agregar tres condiciones más que hablan acerca de la segunda operación binaria:
6. A es cerrado bajo la operación . 7. La operación es asociativa. 8. La operación es distributiva respecto de .
Y agregando una novena condición, se define un anillo conmutativo:
9. La operación es conmutativa.
Si un anillo cuenta con un elemento neutro para la segunda operación se llama anillo unitario. A dicho elemento se le suele llamar la unidad (1) para diferenciarlo del elemento neutro de la primera operación (usualmente el 0).
Definición sintética
editarUn anillo R es un conjunto con dos leyes de composición, llamadas adición y multiplicación, cumpliendo las condiciones siguientes:
- R1. R es grupo abeliano para la adición; el elemento neutro en esta adición se nombra cero del anillo, y se denota usualmente 0;
- R2. R es un semigrupo para la multiplicación;
- R3. La multiplicación ( ) es distributiva (por los dos lados) respecto de la adición.
Anillo Conmutativo Unitario
editarSe considera unitario a todo anillo que contenga un elemento neutro en la multiplicación
Ejemplos
editar- Todos los Números Racionales Q ,Reales R y Complejos C forman un anillo conmutativo unitario
Propiedades
editar- Si f : R → S es un homomorfismo de anillos entre R y S, S es conmutativo, y f es inyectiva (esto es, un monomorfismo), R también debe ser conmutativo, pues f(a·b) = f(a)·f(b) = f(b)·f(a) = f(b·a).
- Si f : R → S es un homomorfismo de anillos entre R y S, con R es conmutativo, la imagen f(R) de R será también conmutativa; en particular, si f es |sobreyectiva (esto es, un epimorfismo), S será conmutativo también.
El mayor interés de los anillos conmutativos está en cuando además son unitarios, es decir, los anillos conmutativos unitarios.