Matemáticas/Álgebra Conmutativa/Anillos conmutativos

Definicion

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Sea A un conjunto no vacío, y sean   y   las dos operaciones binarias en A. Se dice que el conjunto   es un anillo conmuntativo por que se cumple con las siguientes propiedades:

1. A es cerrado bajo la operación de la suma  .  
2. La operación   es asociativa.  
3. La operación   tiene a n como elemento neutro.  
4. Existe un elemento simétrico para  .  

Estas cuatro condiciones definen un grupo. Una quinta condición define un grupo abeliano:

5. La operación   es conmutativa.  

Para definir un anillo, es necesario agregar tres condiciones más que hablan acerca de la segunda operación binaria:

6. A es cerrado bajo la operación  .  
7. La operación   es asociativa.  
8. La operación   es distributiva respecto de  .  

Y agregando una novena condición, se define un anillo conmutativo:

9. La operación   es conmutativa.  

Si un anillo cuenta con un elemento neutro para la segunda operación se llama anillo unitario. A dicho elemento se le suele llamar la unidad (1) para diferenciarlo del elemento neutro de la primera operación (usualmente el 0).

Definición sintética

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Un anillo R es un conjunto con dos leyes de composición, llamadas adición y multiplicación, cumpliendo las condiciones siguientes:

  • R1. R es grupo abeliano para la adición; el elemento neutro en esta adición se nombra cero del anillo, y se denota usualmente 0;
  • R2. R es un semigrupo para la multiplicación;
  • R3. La multiplicación ( ) es distributiva (por los dos lados) respecto de la adición.

Anillo Conmutativo Unitario

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Se considera unitario a todo anillo que contenga un elemento neutro en la multiplicación

 

Ejemplos

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  • Todos los Números Racionales Q ,Reales R y Complejos C forman un anillo conmutativo unitario

Propiedades

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  • Si f : RS es un homomorfismo de anillos entre R y S, S es conmutativo, y f es inyectiva (esto es, un monomorfismo), R también debe ser conmutativo, pues f(a·b) = f(af(b) = f(bf(a) = f(b·a).
  • Si f : RS es un homomorfismo de anillos entre R y S, con R es conmutativo, la imagen f(R) de R será también conmutativa; en particular, si f es |sobreyectiva (esto es, un epimorfismo), S será conmutativo también.

El mayor interés de los anillos conmutativos está en cuando además son unitarios, es decir, los anillos conmutativos unitarios.