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Una observación en la repetición j del nivel i,
y
i
j
{\displaystyle y_{ij}}
μ
{\displaystyle \mu }
α
i
{\displaystyle \alpha _{i}}
e
i
j
{\displaystyle e_{ij}}
y
i
j
=
μ
+
α
i
+
e
i
j
{\displaystyle y_{ij}=\mu +\alpha _{i}+e_{ij}}
El efecto es el impacto que tiene el factor en determinado nivel en el valor de la respuesta. La suma de todos los efectos será 0.
∑
i
=
1
n
α
i
=
0
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=0}
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Sea un experimento unifactorial con n niveles y r repeticiones.
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
y
i
j
=
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
μ
+
α
i
+
e
i
j
{\displaystyle \sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}y_{ij}=\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}\mu +\alpha _{i}+e_{ij}}
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
y
i
j
=
∑
j
=
1
r
n
.
μ
+
∑
i
=
1
n
α
i
+
∑
i
=
1
n
e
i
j
=
∑
j
=
1
r
n
.
μ
+
0
+
∑
i
=
1
n
e
i
j
{\displaystyle \sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}y_{ij}=\sum _{j=1}^{r}n.\mu +\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}+\sum _{i=1}^{n}e_{ij}=\sum _{j=1}^{r}n.\mu +0+\sum _{i=1}^{n}e_{ij}}
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
y
i
j
=
n
.
r
.
μ
+
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
e
i
j
=
n
.
r
.
μ
+
0
{\displaystyle \sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}y_{ij}=n.r.\mu +\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}e_{ij}=n.r.\mu +0}
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
y
i
j
=
n
.
r
.
μ
{\displaystyle \sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}y_{ij}=n.r.\mu }
μ
=
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
y
i
j
n
.
r
{\displaystyle \mu ={\frac {\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}y_{ij}}{n.r}}}
(Notar que n.r es el número total de experimentos)
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Sea
y
i
¯
{\displaystyle {\overline {y_{i}}}}
y
i
¯
=
1
r
∑
j
=
1
r
y
i
j
{\displaystyle {\overline {y_{i}}}={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{r}y_{ij}}
y
i
¯
=
1
r
∑
j
=
1
r
μ
+
α
i
+
e
i
j
{\displaystyle {\overline {y_{i}}}={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{r}\mu +\alpha _{i}+e_{ij}}
y
i
¯
=
1
r
(
r
.
μ
+
r
.
α
i
+
∑
j
=
1
r
e
i
j
)
{\displaystyle {\overline {y_{i}}}={\frac {1}{r}}(r.\mu +r.\alpha _{i}+\sum _{j=1}^{r}e_{ij})}
Asumiendo que la sumatoria de errores es nula
y
i
¯
=
μ
+
α
i
{\displaystyle {\overline {y_{i}}}=\mu +\alpha _{i}}
α
i
=
y
i
¯
−
μ
{\displaystyle \alpha _{i}={\overline {y_{i}}}-\mu }
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Habiendo ya calculado todos los datos anteriores, se puede obtener el error de cada muestra
e
i
j
=
y
i
j
−
μ
−
α
i
{\displaystyle e_{ij}=y_{ij}-\mu -\alpha _{i}}
Un estadístico importante es la suma de los errores al cuadrado SSE
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
e
i
j
2
{\displaystyle \sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}e_{ij}^{2}}
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La variación de la respuesta tiene dos causas posibles:
El efecto del factor.
El efecto del error. Esto significa que la variación total SST estará compuesta por la variación entre grupos SSA (efecto del factor) y la variación dentro del grupo SSE (efecto del error).
Si cada respuesta se eleva al cuadrado
y
i
j
2
=
(
μ
+
α
i
+
e
i
j
)
2
{\displaystyle y_{ij}^{2}=(\mu +\alpha _{i}+e_{ij})^{2}}
y
i
j
2
=
μ
2
+
α
i
2
+
e
i
j
2
+
2
μ
.
α
i
+
2
μ
.
i
e
i
j
+
2
α
i
.
e
i
j
{\displaystyle y_{ij}^{2}=\mu ^{2}+\alpha _{i}^{2}+e_{ij}^{2}+2\mu .\alpha _{i}+2\mu .ie_{ij}+2\alpha _{i}.e_{ij}}
Para las r repeticiones y n tratamientos
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
y
i
j
2
=
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
(
μ
+
α
i
+
e
i
j
)
2
{\displaystyle \sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}y_{ij}^{2}=\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}(\mu +\alpha _{i}+e_{ij})^{2}}
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
y
i
j
2
=
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
(
μ
2
+
α
i
2
+
e
i
j
2
+
2
μ
.
α
i
+
2
μ
.
e
i
j
+
2
α
i
.
e
i
j
)
{\displaystyle \sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}y_{ij}^{2}=\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}(\mu ^{2}+\alpha _{i}^{2}+e_{ij}^{2}+2\mu .\alpha _{i}+2\mu .e_{ij}+2\alpha _{i}.e_{ij})}
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
y
i
j
2
=
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
μ
2
+
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
α
i
2
+
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
e
i
j
2
+
{\displaystyle \sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}y_{ij}^{2}=\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}\mu ^{2}+\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}+\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}e_{ij}^{2}+}
+
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
2
μ
.
α
i
+
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
2
μ
.
e
i
j
+
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
2
α
i
.
e
i
j
{\displaystyle +\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}2\mu .\alpha _{i}+\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}2\mu .e_{ij}+\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}2\alpha _{i}.e_{ij}}
Teniendo en cuenta que
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
2
μ
.
α
i
=
∑
j
=
1
r
(
2
μ
∑
i
=
1
n
α
i
)
{\displaystyle \sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}2\mu .\alpha _{i}=\sum _{j=1}^{r}(2\mu \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i})}
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
2
μ
.
α
i
=
∑
j
=
1
r
(
2
μ
.0
)
=
0
{\displaystyle \sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}2\mu .\alpha _{i}=\sum _{j=1}^{r}(2\mu .0)=0}
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
2
μ
.
e
i
j
=
2
μ
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
e
i
j
{\displaystyle \sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}2\mu .e_{ij}=2\mu \sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}e_{ij}}
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
2
μ
.
e
i
j
=
2
μ
.0
=
0
{\displaystyle \sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}2\mu .e_{ij}=2\mu .0=0}
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
2
α
i
.
e
i
j
=
0
{\displaystyle \sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}2\alpha _{i}.e_{ij}=0}
Queda entonces la expresión final
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
y
i
j
2
=
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
(
μ
2
+
α
i
2
+
e
i
j
2
)
{\displaystyle \sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}y_{ij}^{2}=\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}(\mu ^{2}+\alpha _{i}^{2}+e_{ij}^{2})}
S
S
Y
=
S
S
O
+
S
S
A
+
S
S
E
{\displaystyle SSY=SSO+SSA+SSE}
Donde
S
S
Y
=
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
y
i
j
2
{\displaystyle SSY=\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}y_{ij}^{2}}
S
S
O
=
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
μ
2
=
r
.
n
.
μ
2
{\displaystyle SSO=\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}\mu ^{2}=r.n.\mu ^{2}}
S
S
A
=
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
α
i
2
=
r
.
∑
i
=
1
n
α
i
2
{\displaystyle SSA=\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}=r.\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}}
S
S
E
=
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
e
i
j
2
{\displaystyle SSE=\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}e_{ij}^{2}}
La variación total de y será
S
S
T
=
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
(
y
i
j
−
μ
)
2
{\displaystyle SST=\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}(y_{ij}-\mu )^{2}}
S
S
T
=
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
y
i
j
2
−
∑
j
=
1
r
∑
i
=
1
n
μ
2
{\displaystyle SST=\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}y_{ij}^{2}-\sum _{j=1}^{r}\sum _{i=1}^{n}\mu ^{2}}
S
S
T
=
S
S
Y
−
S
S
O
=
S
S
A
+
S
S
E
{\displaystyle SST=SSY-SSO=SSA+SSE}
