Al final del método, obtenemos una ecuación de la forma
r
0
+
∑
i
=
0
n
r
i
(
∏
j
=
0
i
−
1
(
x
−
x
j
)
)
{\displaystyle r_{0}+\sum _{i=0}^{n}r_{i}(\prod _{j=0}^{i-1}(x-x_{j}))}
, es decir
r
0
+
r
1
(
x
−
x
0
)
+
r
2
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
+
⋯
{\displaystyle r_{0}+r_{1}(x-x_{0})+r_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+\cdots }
Para obtener una ecuación de la forma
∑
i
=
0
n
C
i
x
i
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}C_{i}x^{i}}
, es decir
A
+
B
x
+
C
x
2
+
⋯
{\displaystyle A+Bx+Cx^{2}+\cdots }
a partir de la ecuación obtenida por diferencias divididas, hay que obtener la expresión de cada uno de los coeficientes.
Inducción de los coeficientes
editar
Con 3 puntos
editar
r
0
+
r
1
(
x
−
x
0
)
+
r
2
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
=
{\displaystyle r_{0}+r_{1}(x-x_{0})+r_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})=}
r
0
−
r
1
x
0
+
r
2
x
0
x
1
+
{\displaystyle r_{0}-r_{1}x_{0}+r_{2}x_{0}x_{1}+}
+
x
(
r
1
−
r
2
(
x
0
+
x
1
)
)
+
{\displaystyle +x(r_{1}-r_{2}(x_{0}+x_{1}))+}
+
x
2
r
2
{\displaystyle +x^{2}r_{2}}
Con 4 puntos
editar
r
0
+
r
1
(
x
−
x
0
)
+
r
2
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
+
r
3
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
=
{\displaystyle r_{0}+r_{1}(x-x_{0})+r_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+r_{3}(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})=}
r
0
−
r
1
x
0
+
r
2
x
0
x
1
−
r
3
x
0
x
1
x
2
+
{\displaystyle r_{0}-r_{1}x_{0}+r_{2}x_{0}x_{1}-r_{3}x_{0}x_{1}x_{2}+}
+
x
(
r
1
−
r
2
(
x
0
+
x
1
)
+
r
3
(
x
0
x
1
+
x
0
x
2
+
x
1
x
2
)
)
+
{\displaystyle +x(r_{1}-r_{2}(x_{0}+x_{1})+r_{3}(x_{0}x_{1}+x_{0}x_{2}+x_{1}x_{2}))+}
+
x
2
(
r
2
−
r
3
(
x
0
+
x
1
+
x
2
)
)
{\displaystyle +x^{2}(r_{2}-r_{3}(x_{0}+x_{1}+x_{2}))}
+
x
3
(
r
3
)
{\displaystyle +x^{3}(r_{3})}
Con 5 puntos
editar
r
0
+
r
1
(
x
−
x
0
)
+
r
2
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
+
r
3
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
+
r
4
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
(
x
−
x
3
)
=
{\displaystyle r_{0}+r_{1}(x-x_{0})+r_{2}(x-x_{0})(x-x_{1})+r_{3}(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})+r_{4}(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=}
r
0
−
r
1
x
0
+
r
2
x
0
x
1
−
r
3
x
0
x
1
x
2
+
r
4
x
0
x
1
x
2
x
3
+
{\displaystyle r_{0}-r_{1}x_{0}+r_{2}x_{0}x_{1}-r_{3}x_{0}x_{1}x_{2}+r_{4}x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}+}
+
x
(
r
1
−
r
2
(
x
0
+
x
1
)
+
r
3
(
x
0
x
1
+
x
0
x
2
+
x
1
x
2
)
−
r
4
(
x
0
x
1
x
2
+
x
0
x
1
x
3
+
x
1
x
2
x
3
)
)
+
{\displaystyle +x(r_{1}-r_{2}(x_{0}+x_{1})+r_{3}(x_{0}x_{1}+x_{0}x_{2}+x_{1}x_{2})-r_{4}(x_{0}x_{1}x_{2}+x_{0}x_{1}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{3}))+}
+
x
2
(
r
2
−
r
3
(
x
0
+
x
1
+
x
2
)
+
r
4
(
x
0
x
1
+
x
0
x
2
+
x
0
x
3
+
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
x
2
x
3
)
)
+
{\displaystyle +x^{2}(r_{2}-r_{3}(x_{0}+x_{1}+x_{2})+r_{4}(x_{0}x_{1}+x_{0}x_{2}+x_{0}x_{3}+x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}))+}
+
x
3
(
r
3
−
r
4
(
x
0
+
x
1
+
x
2
+
x
3
)
)
+
{\displaystyle +x^{3}(r_{3}-r_{4}(x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}))+}
+
x
4
(
r
4
)
{\displaystyle +x^{4}(r_{4})}
Coeficiente A
editar
Cantidad de puntos
Expresión del coeficiente
3
r
0
−
r
1
x
0
+
r
2
x
0
x
1
{\displaystyle r_{0}-r_{1}x_{0}+r_{2}x_{0}x_{1}}
4
r
0
−
r
1
x
0
+
r
2
x
0
x
1
−
r
3
x
0
x
1
x
2
{\displaystyle r_{0}-r_{1}x_{0}+r_{2}x_{0}x_{1}-r_{3}x_{0}x_{1}x_{2}}
5
r
0
−
r
1
x
0
+
r
2
x
0
x
1
−
r
3
x
0
x
1
x
2
+
r
4
x
0
x
1
x
2
x
3
{\displaystyle r_{0}-r_{1}x_{0}+r_{2}x_{0}x_{1}-r_{3}x_{0}x_{1}x_{2}+r_{4}x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}}
r
0
+
∑
i
=
1
p
(
(
−
1
)
i
r
i
(
∏
j
=
0
i
−
1
x
j
)
)
{\displaystyle r_{0}+\sum _{i=1}^{p}((-1)^{i}r_{i}(\prod _{j=0}^{i-1}x_{j}))}
Coeficiente B
editar
Cantidad de puntos
Expresión del coeficiente
3
r
1
−
r
2
(
x
0
+
x
1
)
{\displaystyle r_{1}-r_{2}(x_{0}+x_{1})}
4
r
1
−
r
2
(
x
0
+
x
1
)
+
r
3
(
x
0
x
1
+
x
0
x
2
+
x
1
x
2
)
{\displaystyle r_{1}-r_{2}(x_{0}+x_{1})+r_{3}(x_{0}x_{1}+x_{0}x_{2}+x_{1}x_{2})}
5
r
1
−
r
2
(
x
0
+
x
1
)
+
r
3
(
x
0
x
1
+
x
0
x
2
+
x
1
x
2
)
−
r
4
(
x
0
x
1
x
2
+
x
0
x
1
x
3
+
x
1
x
2
x
3
)
{\displaystyle r_{1}-r_{2}(x_{0}+x_{1})+r_{3}(x_{0}x_{1}+x_{0}x_{2}+x_{1}x_{2})-r_{4}(x_{0}x_{1}x_{2}+x_{0}x_{1}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{3})}
Coeficiente C
editar
Cantidad de puntos
Expresión del coeficiente
3
r
2
{\displaystyle r_{2}}
4
r
2
−
r
3
(
x
0
+
x
1
+
x
2
)
{\displaystyle r_{2}-r_{3}(x_{0}+x_{1}+x_{2})}
5
r
2
−
r
3
(
x
0
+
x
1
+
x
2
)
+
r
4
(
x
0
x
1
+
x
0
x
2
+
x
0
x
3
+
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
x
2
x
3
)
{\displaystyle r_{2}-r_{3}(x_{0}+x_{1}+x_{2})+r_{4}(x_{0}x_{1}+x_{0}x_{2}+x_{0}x_{3}+x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}
Coeficiente D
editar
Cantidad de puntos
Expresión del coeficiente
3
0
{\displaystyle 0}
4
r
3
{\displaystyle r_{3}}
5
r
3
−
r
4
(
x
0
+
x
1
+
x
2
+
x
3
)
{\displaystyle r_{3}-r_{4}(x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3})}
Como se ve, la ley es mucho más difícil de expresar en términos matemáticos, por lo que dejo ese trabajo pendiente. De todas maneras voy a tratar de describirlo en términos tan claros como me resulte posible:
Se puede ver que:
La cantidad de términos que describen a cada coeficiente depende de la cantidad de
x
i
{\displaystyle x_{i}}
El primer término de la expresión que calcula el coeficiente que corresponde a
x
n
{\displaystyle x^{n}}
r
n
{\displaystyle r_{n}}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
Para calcular el mismo coeficiente para un polinomio del grado mayor siguiente, se restará y sumará alternativamente el siguiente término.
El siguiente término será la multiplicación del siguiente r, por la sumatoria de los productos formados por una permutación de elementos del conjunto de
x
i
{\displaystyle x_{i}}
Para obtener la ley inductiva para conocer que permutaciones usar vemos:
colspan="2" | Coeficiente B
Coeficiente C
Coeficiente D
r
Elementos
Tomados de a
Elementos
Tomados de a
Elementos
Tomados de a
2
2
1
-
-
-
-
3
3
2
3
1
-
-
4
4
3
4
2
4
1
Como conclusión, se puede decir que al calcular cualquier coeficiente, el término que contiene
r
k
{\displaystyle r_{k}}
k
{\displaystyle k}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
Además, si el coeficiente corresponde a
x
n
{\displaystyle x^{n}}
m
=
k
−
n
{\displaystyle m=k-n}
