Manual del estudiante de Ingeniería en Sistemas de UTN/Investigación Operativa/Práctica/Solución Wolfe 4

• Primero pasamos a la forma que requiere el algoritmo:

Min $f({\underline {x}})=(x_{1}-4)^{2}+(x_{2}+1)^{2}+0x_{3}+0x_{4}$

s.a:

$x_{1}+x_{2}+x_{3}=3$

$x_{2}+x_{4}=2$

$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\geq 0$

Queda la matriz ${\underline {\underline {A}}}$ de la forma:

${\underline {\underline {A}}}=\left[\ {\begin{matrix}1&1&1&0\\0&1&0&1\end{matrix}}\right]\$

Además, $\nabla f({\underline {x}})=\left(\ {\begin{matrix}2(x_{1}-4)\\2(x_{2}+1)\\0\\0\end{matrix}}\right)\$

Despejando en las restricciones podemos obtener los valores de las variables dependientes:

$x_{1}+x_{2}+x_{3}=3$

$0+2+x_{3}=3$

$x_{3}=1$

$x_{2}+x_{4}=2$

$2+x_{4}=2$

$x_{4}=0$

De manera que el punto inicial para el problema así planteado queda:

${\underline {x}}^{(0)}=\left(\ {\begin{matrix}0\\2\\1\\0\end{matrix}}\right)\$

Podemos entonces seccionar ${\underline {\underline {A}}}$ y ${\underline {x}}^{(0)}$ en básicos y no básicos, tomando como no básicos los componentes iguales a cero en el punto (los básicos deben corresponder a m columnas l.i. cuyos valores sean mayores que cero -se toman los más positivos):

${\underline {x}}_{B}^{(0)}=\left(\ {\begin{matrix}x_{2}\\x_{3}\end{matrix}}\right)\ =\left(\ {\begin{matrix}2\\1\end{matrix}}\right)\$

${\underline {x}}_{N}^{(0)}=\left(\ {\begin{matrix}x_{1}\\x_{4}\end{matrix}}\right)\ =\left(\ {\begin{matrix}0\\0\end{matrix}}\right)\$

${\underline {\underline {B}}}=\left[\ {\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]\$

${\underline {\underline {N}}}=\left[\ {\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}}\right]\$

Calculando la inversa:

${\underline {\underline {B^{-1}}}}=\left[\ {\begin{matrix}0&1\\1&-1\end{matrix}}\right]\$

Se obtiene a continuación la componente básica y la no básica del gradiente:

$\nabla _{N}f({\underline {x}}^{(0)})=\left(\ {\begin{matrix}2(x_{1}-4)\\0\end{matrix}}\right)\ =\left(\ {\begin{matrix}-8\\0\end{matrix}}\right)\$

$\nabla _{B}f({\underline {x}}^{(0)})=\left(\ {\begin{matrix}2(x_{2}+1)\\0\end{matrix}}\right)\ =\left(\ {\begin{matrix}6\\0\end{matrix}}\right)\$