Por definición, f ( x ) = O ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)=O(g(x))} cuando x → ∞ {\displaystyle x\to \infty } , si y solo si:
lim x → ∞ f ( x ) g ( x ) < ∞ {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}<\infty }
Hallamos entonces el límite:
lim n → ∞ 3 ∗ ( n + 1 ) 7 + 2 n log n n 7 = {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {3*(n+1)^{7}+2n\log n}{n^{7}}}=}
= lim n → ∞ 3 ∗ ( n + 1 ) 7 + 2 n log n n 7 {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }{\frac {3*(n+1)^{7}+2n\log n}{n^{7}}}}
= lim n → ∞ 3 ∗ ( n + 1 ) 7 n 7 + lim n → ∞ 2 n log n n 7 {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }{\frac {3*(n+1)^{7}}{n^{7}}}+\lim _{n\to \infty }{\frac {2n\log n}{n^{7}}}}
Por ser polinomios del mismo grado:
= 3 + lim n → ∞ 2 log n n 6 {\displaystyle =3+\lim _{n\to \infty }{\frac {2\log n}{n^{6}}}}
Por regla de l'Hopital
= 3 + lim n → ∞ 2 6 n 6 ln 10 = 3 {\displaystyle =3+\lim _{n\to \infty }{\frac {2}{6n^{6}\ln 10}}=3}
3 < ∞ ⇒ {\displaystyle 3<\infty \Rightarrow } f ( x ) = O ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)=O(g(x))} cuando x → ∞ {\displaystyle x\to \infty }