Matemáticas/Precálculo/Derivadas, reglas y teoremas

Reglas de derivación

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Regla de derivación general:

 

Derivada de una suma:

 

Derivada de un producto:

 

Derivada de un cociente:

 

Derivada de una constante

 

Regla de la cadena:

 

Resultados previos utilizados

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Linealidad

 

Regla de Leibniz

 

Regla de la cadena

 

Polinomios

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Por linealidad la derivación de un polinomio puede realizarse término a término.

Sea   Empleando el desarrollo del binomio de Newton obtenemos un término en potencia 0 de h, uno en potencia h y el resto iguales o superiores a  .

 

Efectuando el límite obtenemos el resultado buscado.

 

Exponencial

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Una de las posibles definiciones de   es:

 

Dejando de lado cuestiones de convergencia, si efectuamos la derivación término a término extendiéndola a los infinitos términos tenemos que:

 

Obteniendo por tanto:

 

Exponencial en base arbitraria

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Sea  . Aplicando logaritmo y exponenciación sucesivamente tenemos que  , de modo que derivando obtenemos:

 

Logaritmo natural

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Por definición de logaritmo natural tenemos que:

 

Efectuamos el cambio de variable  , derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena obtenemos:

 

Dado que  

 

Sustituyendo en la penúltima expresión:

 

Funciones trigonométricas

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Límites empleados

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  • El primer límite que emplearemos es:
 

Demostración Para ángulos en el primer cuadrante se verifica que:

 

Elevando al cuadrado y dividiendo por x:

 

De modo que tenemos:

 

El segundo límite es trivial y da 0 de modo que:

 
  • El segundo límite es:
 

Demostración Empleando la misma desigualdad que en caso anterior para ángulos del primer cuadrante:

 

Dividiendo por sin(x) tenemos:

 

Aplicando límite a los tres términos:

 

Obteniendo:

 

Aplicando la definición de derivada y aplicando el seno de la suma:

 

Separando en dos límites

 

El primero de los límites resulta ser 0 mientras que el segundo es 1 obteniendo por tanto:

 

Coseno

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El procedimiento será análogo al anterior.

Aplicando la definición de derivada y aplicando el coseno de la suma:

 

Separando en dos límites

 

El primero de los límites es 0 mientras que el segundo es 1 obteniendo por tanto:

 

Tangente

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La tangente viene definida como:

 

Aplicando la derivada del producto (podemos entender el cociente como el producto de una función por la otra elevada a -1).

 

Funciones trigonométricas inversas

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Arcoseno

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Por definición de arcoseno:

 

Efectuando el cambio de variable  , derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena tenemos:

 

Teniendo en cuenta que:

 

Sustituyendo

 

Arcocoseno

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Por definición de arcocoseno:

 

De nuevo efecttuando el cambio de variable  , derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena tenemos:

 

Análogamente (en este caso hemos de coger la raiz negativa para conservar el signo):

 

Sustituyendo

 

Arcotangente

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Por definición de arcotangente:

 

Efectuando el cambio de variable  , derivando respecto a t y aplicando la regla de la cadena tenemos:

 

Teniendo en cuenta que:

 

Sustituyendo