Hidrosistemas/Hidráulica

Estados de flujo en canales abiertos

Parte de la temática que estudia la mecánica de fluidos comprende el tema relacionado con la modelación y análisis dimensional; en esta teoría se definen una serie de elementos, conocidos como números adimensionales, los que facilitan la comprensión y el análisis de algunos fenómenos y la forma en cómo éstos afectarán, en nuestro caso, al flujo de agua.

Es posible tener flujo de agua en dos tipos de canales, los abiertos y los cerrados; en el caso de canales abiertos se hace uso de uno de estos parámetros adimensionales. Con base en éste número es posible distinguir o encasillar el flujo en tres fases, tipos o estados: el flujo crítico, el subcrítico y el supercrítico. Este parámetro es el número de Froude y, básicamente, relaciona dos tipos de fuerzas, las de gravedad y las inerciales, que dependen de la masa. El comportamiento del flujo se ve delimitado por dos elementos, la viscosidad y la gravedad. El número de Froude se usa cuando el estado de flujo se desea clasificar en función de la acción que sobre él ejerce la gravedad.

Tipos de flujo

Los tres tipos de flujo son:

Flujo crítico

Este tipo de flujo presenta una combinación de fuerzas inerciales y gravitacionales que lo hacen inestable, convirtiéndolo en cierta manera en un estado intermedio y cambiante entre los otros dos tipos de flujo. Debido a esto es bastante inaceptable, y poco recomendable, usarlo en el diseño de estructuras hidráulicas. Para éste tipo de flujo el número de Froude es igual a 1 y en esta condición no se generan resaltos hidráulicos (disipadores de energía).

Flujo supercrítico

En este tipo de flujo las fuerzas inerciales presentan una influencia mucho mayor que las fuerzas gravitacionales. Además de esto, el flujo se presenta a velocidades y pendientes altas, y a profundidades más pequeñas. Cuando existe un flujo de este tipo en un canal un aumento en la cantidad de energía provoca una disminución de la profundidad de la lámina de agua. El número de Froude, en este caso, es mayor a 1. Este estado de flujo propicia la formación de resaltos hidráulicos; estos aumentan su capacidad de disipación de energía en ciertos intervalos, alcanzando la mayor capacidad para flujos con Froude mayores a 9.

Flujo subcrítico

Para este régimen de flujo las fuerzas inerciales son sobrepasadas en importancia por las gravitacionales; en el flujo se tienen velocidades y pendientes bajas, pero las profundidades de la lámina del agua, por el contrario, son mayores que las que se presentan en el flujo supercrítico. Para este tipo de flujo un aumento en la energía se traduce en un aumento en la profundidad de la lámina de agua. El número de Froude en este estado es menor a 1.

Para calcular el número de Froude y determinar el estado en que se encuentra el flujo se usa la siguiente relación:

$F={\dfrac {v}{\sqrt {g\cdot D_{H}}}}$

En ella se relaciona la velocidad $v$, gravedad $g$ y la profundidad hidráulica $D_{H}$; esta última está definida como el cociente entre el área mojada y el ancho de la superficie del canal.

Energía específica

La energía específica se define como la cantidad de energía por unidad de peso en cualquier sección, medida siempre con respecto al fondo de un canal abierto. La energía específica solo depende de la profundidad de flujo. $E=y+{\dfrac {v^{2}}{2\cdot g}}$

También se puede escribir en términos de caudal de la siguiente forma:

$E=y+{\dfrac {Q^{2}}{2\cdot g\cdot A^{2}}}$

Descripción de la curva de energía específica

Curva de energía específica. Se puede observar que uno de sus tramos es asintótica con la recta de 45 grados.

La curva de energía específica tiene forma de una parábola que abre hacia la derecha. La región subcrítica tiende asintóticamente a una recta de 45°. Las curvas de energía específica son útiles para resolver 3 tipos de problemas: problemas de continuidad, de elevaciones o presiones del fondo de un canal, o de contracciones. Se puede observar que con excepción de la profundidad crítica, para cada valor de energía corresponden dos valores de profundidad, una subcrítica (mayor que la profundidad crítica) y una supercrítica (por debajo de la profundidad crítica). A medida que el caudal aumenta, la curva se desplaza hacia la derecha.

Curva de energía específica. Se puede observar que todo lo que está por encima de la línea de flujo crítico es flujo subcrítico, y todo lo que está por debajo se considera fljo supercrítico.

Ejemplo:

Elaborar la curva de energia específica para una tuberia circular de diámetro $D=1.2m$ por la cual fluye un cadual de $Q=1.0m^{3}/s$

Para encontrar la curva se deben conocer la profundidad $y$ y el área $A$ que estan en función del ángulo, y luego procedemos a darle valores al ángulo $\alpha$ entre $0$ y $2\pi$ y por ultimo calculamos la energía, las ecuaciones para la profundidad, el área y la energía son:

$y={\dfrac {D}{2}}\cdot \left[1-\cos \left({\dfrac {\alpha }{2}}\right)\right]$

$A={\dfrac {D^{2}}{8}}\cdot \left(\alpha -\sin \left[\alpha \right]\right)$

$E=y+{\dfrac {Q^{2}}{2\cdot g\cdot A}}$

Al utilizar las anteriores ecuaciones para varios ángulos $\alpha$ se obtiene la siguiente tabla:

$\alpha$	$y$	$A$	$E$
$rad$	$m$	$m^{2}$	$m$
0.314159	0.007387	0.00201937	12498.9
0.942478	0.0653961	0.0524099	18.6209
1.5708	0.175736	0.224151	1.19016
2.19911	0.327606	0.54589	0.498643
2.82743	0.506139	0.98898	0.55825
3.45575	0.693861	1.47842	0.717179
4.08407	0.872394	1.92151	0.886199
4.71239	1.02426	2.24325	1.03439
5.34071	1.1346	2.41499	1.14334
5.96903	1.19261	2.46538	1.201

y de manera gráfica se tiene la figura Ejemplo: Curva de energía específica.

Ejemplo: Curva de energía específica.

Profundidad crítica y energía crítica

La energía crítica es la energía mínima que puede tener la lámina de agua para ser capaz de transportar el caudal que dio origen a la curva. La profundidad crítica es la profundidad que corresponde a ese valor de energía. En la profundidad crítica, el número de Froude se hace igual a 1.

$F=1={\dfrac {v}{\sqrt {g\cdot D_{H}}}}={\dfrac {Q}{A\cdot {\sqrt {g\cdot D_{H}}}}}$

Donde g es la aceleración de la gravedad y D es la profundidad hidráulica, definida como el área dividida entre el ancho superficial.

$E_{c}=y_{c}+{\dfrac {Q^{2}}{2\cdot g\cdot A^{2}}}$

Ejemplo de aplicación

Por un canal rectangular fluyen $6{\frac {m^{3}}{s}}$ de agua. El canal tiene un ancho de $2m$. Debido al paso de una tubería es necesario elevar el fondo $50cm$. La profundidad inicial del agua es $2m$.

a) ¿Cuál es la profundidad resultante de la zona elevada? b) ¿Cuál es la velocidad?

Esquema del problema.

Solución

Como se tiene un canal rectángular

$D_{H}={\dfrac {A}{T}}$

Donde:

$A:$ Corresponde a una sección transversal del canal y

$T:$ Ancho superficial del canal.

De esta manera se puede obtener:

$D_{H}={\dfrac {b\cdot y}{b}}=y$

En la profundidad crítica $\left(y_{c}\right)$, $F=1$, entonces:

$F=1={\dfrac {v}{\sqrt {g\cdot D_{H}}}}={\dfrac {v}{\sqrt {g\cdot y_{c}}}}={\dfrac {Q}{A\cdot {\sqrt {g\cdot y_{c}}}}}$

${\dfrac {Q}{A\cdot {\sqrt {g\cdot y_{c}}}}}=1$

${\dfrac {Q}{b\cdot y_{c}\cdot {\sqrt {g\cdot y_{c}}}}}=1$

Y despejando $y_{c}$

$y_{c}={\sqrt[{3}]{\dfrac {Q^{2}}{b^{2}\cdot g}}}$

La profundidad crítica es entonces:

$y_{c}={\sqrt[{3}]{\dfrac {6^{2}}{2^{2}\cdot 9.81}}}=0.97m$

Y la energía crítica es:

$E_{c}=y_{c}+{\dfrac {Q^{2}}{2\cdot g\cdot A^{2}}}=0.97+{\dfrac {6^{2}}{2\cdot 9.81\cdot \left(2\cdot 0.97\right)^{2}}}=1.46m$

Para hallar la energía antes del obstáculo:

$E_{1}=y+{\dfrac {Q^{2}}{2\cdot g\cdot \left(b\cdot y\right)^{2}}}=2+{\dfrac {6^{2}}{2\cdot 9.81\cdot \left(2\cdot 2\right)^{2}}}=2.11m$

La energía sobre el obstáculo es la resta de la energía inicial menos la altura del obstáculo:

E_2=E_1-h=2.11-0.5=1.61m Para hallar la profundidad sobre el obstáculo:

E=y+Q^2/(2gb^2 y^2 ) Despejando y resulta 0=y^3-Ey^2+0y+Q^2/(2b^2 g)=y^3-1.61y^2+Q^2/(2*2^2*9.81) De esta ecuación resultan 3 raíces, pero se desprecia la negativa, porque no tiene ningún significado en este problema. y=0.72m o y=1.36m Se escoge 1.36m. V=Q/A=6/(2*1.36)=2.21m/s

Curva de energía especfica correspondiente al ejercicio.

Fuerza específica y cantidad de movimiento

Cuando se examina la aplicación de la segunda ley de Newton en los problemas básicos de flujo permanente en canales abiertos, es conveniente comenzar con el caso de un problema general, como se muestra esquemáticamente el la figura 2.1. Dentro del volumen de control definido en esta figura, hay una perdida desconocida de energía o una fuerza actuante sobre el flujo entre las secciones 1 y 2; el resultado es un cambio en la cantidad de movimiento lineal del flujo. En muchos casos, este cambio en la cantidad de movimiento se asocia con un cambio en el tirante de flujo. La aplicación de la segunda ley de newton en una forma unidimensional para este volumen de control es:

Donde

• F’1 y F’2= componentes horizontales de la presión que actúan en las secciones 1 y 2, respectivamente
• F’3= componentes horizontales de W sen θ
• γ = peso especifico del fluido
• θ= ángulo de la pendiente del canal

= sumatoria de las componentes horizontales de las velocidades promedio del flujo en la secciones 1 y 2, respectivamente

= componente horizontal de la fuerza desconocida que actúa entre las secciones 1 y 2

= coeficiente de correspondencia de la cantidad de movimiento.

Si se supone primero, que θ es pequeña y, por tanto, sen θ=0 y cos θ=1; segundo, , y tercero, = 0, la ecuación 2.1 será:

Donde = distancia a los centroides de las respectivas áreas hidráulicas A1 y A2 desde la superficie libre.

Al sustituir en la ecuación 2.1.2 y después reagrupamos, se obtiene

y M se conoce como la función de “momentum” o fuerza específica.

Cuando se gráfica el tirante del flujo y contra M se produce una curva de momentum que tiene dos ramas (fig 2.2). El tramo de abajo AC se aproxima asintóticamente al eje horizontal cuando el tramo superior BC se extiende indefinidamente hacia arriba y la derecha. Así, en analogía con el concepto de energía específica y para un valor dado de M, la curva M-y determina dos posibles tirantes de flujo. Estos tirantes, que se muestran en la figura 2.2, se denominan los tirantes conjugados o alternos de un salto hidráulico.

Figura 2.2 curva de momentum y tirantes conjugados y1 y y2 de un salto hidráulico.

El valor mínimo de la función momentum puede calcularse si se supone que existen un flujo paralelo y una distribución uniforme de velocidad, al tomar la primera derivada de M con respecto a y al igualar expresión a cero o

Y cuando se asuma que (dy)2 = 0. entonces, si sustituye dA/dy=T, u=Q/A y D=A/T en la ecuación 2.1.7

Si se tiene el mismo criterio desarrollado el para el valor mínimo de la energía especifica. Por tanto, para un gasto específico, el momentum mínimo ocurre con la energía especifica mínima y corresponde también al tirante crítico.