Matemáticas/Geometría/Triángulos/Texto completo

Concepto

Un triángulo, es un polígono de tres segmentos que determinan tres puntos del plano y su limitación. Cada punto dado pertenece a dos segmentos.

Los puntos comunes a cada par de segmentos se denominan vértices del triángulo y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo.

Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo. Un triángulo es una figura estrictamente convexa.

Un triángulo tiene tres ángulos interiores, tres pares congruentes de ángulos exteriores, tres lados y tres vértices entre otros elementos.

Clasificación

Clasificación de los ángulos

Para más información, véase el artículo «ángulo» en Wikipedia.

${\mbox{ ÁNGULOS}}{\begin{cases}\mathbb {} &{\mbox{NULO ( exactamente 0º)}}\\&{\mbox{CONVEXOS}}{\begin{cases}\mathbb {} &{\mbox{AGUDOS( entre 0 y 90º)}}\\&{\mbox{ }}\\&{\mbox{RECTO (exactamente 90º)}}\\&{\mbox{ }}\\&{\mbox{OBTUSOS(entre 90 y 180º)}}\end{cases}}\\&{\mbox{ }}\\&{\mbox{LLANO (exactamente 180º)}}\\&{\mbox{ }}\\&{\mbox{CÓNCAVOS( ENTRE 180 Y 360º)}}\\&{\mbox{ }}\\&{\mbox{COMPLETO O DE UNA VUELTA (exactamente 360º)}}\\\end{cases}}$

Otra clasificación de los ángulos

Complementarios: Son aquellos que su suma resultados 90º.

Complemento de ángulo: Es la medida que le falta al ángulo agudo para completar 90º.

Suplementarios: Son aquellos ángulos que su suma resultados 180º.

Suplemento de ángulo: Es la medida que le falta al ángulo agudo para completar 180º.

Ángulos consecutivos o contigüos: Son aquellos que tienen un lado en común.

Adyacentes: Son aquellos ángulos que tienen un lado en común y el otro lado sobre una misma recta. Dos ángulos adyacentes son son siempre suplementarios, su suma resultados 180º.

Opuestos por el vértice : Los dos ángulos son opuestos por el vértice cuando al prolongar los lados de un ángulo se forman los vértices de otro ángulo.

Coplenarios: Un ángulo convexo se prolonga mediante rayos opuestos por sus lados, el ángulo así formado está en una región limitada por un ángulo cóncavo. Estos ángulos suman 360º. Se les denomina coplenarios. El interior del cóncavo es el exterior del convexo, y el interior de este es el exterior del ángulo convexo.

Coplenado: Es la medida que le falta a un ángulo para igualar a 360º

Importancia: con los avances de la geometría computacional, el estudio de los polígonos simples, que conllevan ángulos cóncavos, exige un viraje en el enfoque ortodoxo de la geometría plana.

Clasificación de los triángulos

Clasificación de los triángulos

Para más información, véase el artículo «Triángulo» en Wikipedia.

Los triángulos se pueden clasificar considerando sus ángulos y/o sus lados. Considerando la longitud de sus lados tenemos:

• Triángulo equilátero: que tiene sus tres lados de igual longitud.
• Triángulo isósceles: que tiene solamente dos lados iguales y el tercero es diferente a los otros dos.
• Triángulo escaleno: que tiene sus tres lados de diferente longitud.

Considerando la amplitud de sus ángulos tenemos:

• Triángulo obtusángulo: El que posee un ángulo obtuso. (y los otros dos resultan agudos)
• Triángulo rectángulo: El que posee un ángulo recto. ( y los otros dos resultan agudos)
• Triángulo acutángulo: El que posee los tres ángulos agudos.

Referencias

Tipos de Triángulos=

Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.

Por las longitudes de sus lados

en función de sus lados, todo triángulo se clasifica:

• Como triángulo equilátero, cuando los tres lados del triángulo tienen una misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados o $\pi /3\,$ radianes).

• Como triángulo isósceles (del griego ἴσος "igual" y σκέλη "piernas", es decir, "con dos piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales).

Un triángulo es isósceles cuando tiene dos lados iguales; esto no descarta que los tres lados sean iguales, de modo que todo triángulo equilátero sea isósceles, pero no se cumple el enunciado recíproco.

Sea el triángulo ABC isósceles, donde b = c entonces los ángulos opuestos son iguales, i.e B = C. También se cumple que B' = C' siendo estos los ángulos externos.Además se cumplen las igualdades

A + 2B = A +2C = 180º;

A^' + 2B^' = A^' + 2C^' = 360º; A^' = 2C = 2B; B^'=C^'=A+B= A+C

$m_{a}=h_{a}=v_{A}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4b^{2}-a^{2}}}$ donde $m_{a},h_{a},v_{A}$ son la mediana, altura del lado a y bisectriz de su ángulo A opuesto.

• Como triángulo escaleno (del griego σκαληνός "desigual"), si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).

Equilátero	Isósceles	Escaleno

Por la amplitud de sus ángulos

Por la amplitud de sus ángulos los triángulos se clasifican en:

• Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

• Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores es recto (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.Cualquier triángulo o bien es rectángulo o bien oblicuángulo.

• Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).
• Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°.

Rectángulo	Obtusángulo	Acutángulo
	$\underbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } _{}$
	Oblicuángulos

Clasificación según los lados y los ángulos

Los triángulos acutángulos pueden ser:

• Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura sobre el lado distinto.
• Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene eje de simetría.
• Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales. Las tres alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos triángulos iguales).

Los triángulos rectángulos pueden ser:

• Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto.
• Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos pueden ser:

• Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que estos dos.
• Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.

Triángulo	equilátero	isósceles	escaleno
acutángulo
rectángulo
obtusángulo

Criterios

En matemáticas, es la variación en tamaño entre dos objetos o cuerpos pero sus formas son idénticas. Se dice que dos figuras geométricas son semejantes si tienen la misma forma pero sus tamaños son diferentes. Por ejemplo, dos mapas a escalas distintas son semejantes, pues la forma del contenido no cambia, pero si el tamaño.

• Criterio AA (Ángulo, Ángulo). Si dos de sus ángulos son semejantes.
• Criterio LAL (Lado, Ángulo, Lado). Si dos de sus lados son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente.
• Criterio LLL (Lado, Lado, Lado). Si sus tres lados son proporcionales.

Semejanza de triángulos rectángulos

Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumplen con al menos uno de los criterios siguientes:

• Si uno tiene un ángulo agudo de igual amplitud que un ángulo agudo del otro.
• Si uno tiene los dos catetos proporcionales con los del otro.
• Si uno tiene un cateto y la hipotenusa proporcionales con los del otro.

Corona triangular

Se consideran dos triángulos semejantes con lados paralelos y con circuncentro común ( centro de la circunferencia circunscrita). La intersección del exterior del triángulo de menor área con el interior del triángulo de mayor área unida con los dos triángulos forma una región en el plano que se llama corona triangular.

Introducción

Una semejanza es la composición de una materia (una rotación y una posible reflexión o simetría axial) con una homotecia. En la semejanza se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma.

Por lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma.

En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos (no así en el caso de un rectángulo, por ejemplo, donde uno de sus ángulos es recto pero cuya forma puede ser más o menos alargada, es decir que depende del cociente base / altura).

Ecuación

Se reúnen estas dos propiedades equivalentes en la siguiente ecuación:

$(ABC\sim A'B'C')\Longleftrightarrow {\begin{Bmatrix}{\widehat {A}}={\widehat {A}}'\\{\widehat {B}}={\widehat {B}}'\\{\widehat {C}}={\widehat {C}}'\end{Bmatrix}}\Longleftrightarrow \left({\frac {\overline {A'B'}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {A'C'}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {B'C'}}{\overline {BC}}}\right)$

Corolarios

• Todos los triángulos equiláteros son semejantes.
• Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales.

Una semejanza es la composición de una isometría con una homotecia. En la semejanza se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma.

Por lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma.

En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos. Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales uno a uno.

En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Para denotar que dos triángulos ABC y ABC son semejantes se escribe ABC ~ ABC, donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con A', B' y C', respectivamente. Una similitud tiene la propiedad de multiplicar todas las longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos semejantes: Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son congruentes.

Propiedad reflexiva, refleja o idéntica

Todo triángulo es semejante a sí mismo.

Propiedad idéntica o simétrica

Si un triángulo es semejante a otro, aquel es semejante al primero.

Propiedad transitiva

Si un triángulo es semejante a otro, y éste a su vez es semejante a un tercero, el primero es semejante al tercero.

Estas tres propiedades implican que la relación de semejanza entre dos triángulos es una relación de equivalencia.

Teorema fundamental de la semejanza de triángulos

Todas las paralelas a un lado de un triángulo que no pase por el vértice opuesto, determina con las rectas a las que pertenecen los otros dos lados, un triángulo semejante al dado.

H)

ABC; r || AC

r corta AB en L

r corta BC en M

T) $(BLM\sim BAC)$

D)

Casos

Podrán presentarse 3 casos:

Primer caso

r corta a los lados AB y BC por puntos interiores a ellos.

Haremos una primera consideración, referida a los ángulos, y la llamaremos (1):

$\wedge B=\wedge B$ por carácter reflejo

$\wedge BLM=\wedge A$ por ser correspondientes entre r || AC, secante AB

$\wedge BML=\wedge C$ por ser correspondientes entre r || AC, secante BC

Por otra parte, en virtud del corolario del Teorema de Tales se tiene:

${\frac {BL}{BA}}={\frac {BM}{BC}}\qquad \bigotimes$

Si por M se traza una paralela al lado AB, esta interseca al lado AC en un punto N, y nuevamente por el corolario del Teorema de Tales tenemos:

${\frac {BM}{BC}}={\frac {AN}{AC}}\qquad \bigoplus$

Pero dado que AN = LM, por ser lados opuestos del paralelogramo ALMN, reemplazando en $\bigoplus$ se obtiene:

${\frac {BM}{BC}}={\frac {LM}{AC}}\qquad \bigodot$

De $\bigotimes$ y $\bigodot$ se obtiene la consideración que llamaremos (2):

${\frac {BL}{BA}}={\frac {BM}{BC}}={\frac {LM}{AC}}$

Luego de (1) y (2), resulta:

$BLM\sim BAC$ por definición de semejanza.

Segundo caso

r corta a las rectas de los lados AB y BC por puntos exteriores a ellos, sobre las semirrectas de origen B que los contienen.

Consideramos BLM como si fuera el triángulo dado, y BAC el triángulo nuevo, y por el caso I de la demostración, es:

$(BAC\sim BLM)\Rightarrow (BLM\sim BAC)$ por carácter simétrico.

Tercer caso

r marca a las semejantes de los lados AB y BC en puntos que pertenecen a las semirrectas opuestas a las que sirven de sostén a dichos lados.

Sobre la semirrecta de origen B que contiene al punto A, se construye BN=BL y por el extremo N del segmento construido, una paralela a AC (s) que corta la recta de BC por O.

Quedan entonces $BNO\sim BAC$ por el caso I, semejanza que llamaremos $\otimes$.

Teniendo en cuenta los triángulos BNO y BLM, se observa:

• BN=BM por construcción
• α=α' por ser opuestos por el vértice.
• β=β' por ser alternos internos entre r || s, secante LN

Y siendo BNO=BLM es BNO ~ BLM $\oplus$ por el primer corolario de la definición.

De $\otimes$ y $\oplus$, y por carácter transitivo:

BAC ~ BLM $\Rightarrow$ BLM ~ BAC

La frontera de esta región es la unión de los dos triángulos. Un punto es interior si está entre las intersecciones que determina un rayo con origen en el circuncentro con los lados homólogos. El conjunto de los puntos interiores es el interior de la región. Un punto está en el exterior de la región si no está en la frontera ni en el interior. El interior es convexo, abierto y conexo. La frontera es la unión disjunta de dos poligonales cerradas. El exterior es un conjunto desconexo, abierto y no convexo. La corona triangular es un conjunto cerrado, conexo y convexo. La corona triangular es homeomorfa con la corona circular, tienen las mismas propiedades topológicas.

Trigonometría

La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es 'la medición de los triángulos'. Deriva de los términos griegos τριγωνοϛ trigōnos 'triángulo' y μετρον metron 'medida'.

Ver Trigonometría