Matemáticas/Geometría/Paralelogramos/Rombo

Rombo
Familia	Bipiramidal
Tipo	Cuadrilátero
Lados y vértices	4
Propiedades	convexo, isotoxal

El rombo es un paralelogramo (y por tanto un cuadrilátero) cuyos cuatro lados son de igual longitud y cuyas diagonales se cortan perpendicularmente.

Definiciones equivalentes

Un paralelogramo es un rombo si posee: todos los lados iguales, las diagonales respectivamente perpendiculares, las diagonales son bisectrices de los ángulos del paralelogramo. la recta que une los vértices opuestos es eje de simetría ( el cumplimiento de una de estas propiedades provee como corolario las otras tres restantes).

El rombo cuyos vértices son A, B, C y D, cumple las siguientes relaciones, respecto de sus lados:

• Sus cuatro lados: l, son iguales

${\overline {AB}}={\overline {BC}}={\overline {CD}}={\overline {DA}}=l$

• Sus dos diagonales de respectivas longitudes:

$D_{1}={\overline {AC}}$

$D_{2}={\overline {BD}}$

siendo:

$D_{1}\geq D_{2}$

Propiedades

• Las diagonales son ejes de simetría.

• El punto de intersección O de las diagonales es el incentro del rombo.

• Las diagonales del rombo son perpendiculares entre sí, y satisfacen la relación:

${D_{1}}^{2}+{D_{2}}^{2}=(2l)^{2}=4l^{2}$

• Las dos alturas: h, de un rombo tienen la misma longitud que el diámetro: d, de su circunferencia inscrita:

${\overline {EG}}={\overline {FH}}=h=d$

Si se observan los puntos de contacto de dicha circunferencia sobre dos lados opuestos cualesquiera de rombo se notará que los dos diámetros que unen a dichos puntos son cada uno de ellos paralelo a la respectiva altura y tienen medida exactamente igual a las mismas. Diámetro y alturas son la medida de la separación entre lados paralelos opuestos.

• Sean d₁ una diagonal,d₂ la otra diagonal, α el ángulo correspondiente, a lado del rombo, A el área del rombo, entonces se cumple:

$d_{1}=2asen{\frac {\alpha }{2}},d_{2}=2acos{\frac {\alpha }{2}},A=a^{2}sen\alpha$

• Si se unen los puntos medios H, I, J, K de sendos lados de un rombo usando segmentos de recta, resulta de la reunión de tales segmentos un rectángulo.
• Si se inscriben en los cuatro triángulos, determinados por las diagonales, sendas circunferencias, cada una de estas es tangente , exactamente, a otras dos de ellas. Los cuatro centros de sendas circunferencias determinan, como vértices, un cuadrado, . El radio es $r={\frac {D_{1}D_{2}}{2(2l+D_{1}+D_{2})}}$. El lado del cuadrado de vértices en los centros es 2r.

Área

Hay diversas maneras de calcular el área del rombo:

• El área del rombo es igual al semiproducto de sus diagonales (diagonal mayor y diagonal menor):

$A={\cfrac {{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}{2}}={\cfrac {D_{1}\cdot D_{2}}{2}}$

Viendo el triángulo OBC, rectángulo en O, su área es:

$A_{t}={\cfrac {{\overline {CO}}\cdot {\overline {OB}}}{2}}$

El rombo está formado por cuatro triángulos iguales:

$A_{r}=4\cdot A_{t}=4\;{\cfrac {{\overline {CO}}\cdot {\overline {OB}}}{2}}={\cfrac {2\;{\overline {CO}}\cdot 2\;{\overline {OB}}}{2}}$

Con lo que tenemos el área del rombo como el producto de sus dos diagonales dividido entre dos.

• El área también es igual al producto entre la base y la altura.

$A={\overline {CD}}\cdot {\overline {PB}}=l\cdot h$

siendo l el lado o la base; h la altura del rombo.

El rombo como paralelogramo, su área es el producto de la base por la altura.

• El área del rombo es igual al producto entre dos lados y el seno del ángulo comprendido entre estos.

$A=l^{2}\cdot \sin \alpha$

Partiendo del triángulo PBC rectángulo en P, siendo BC la hipotenusa y PB la altura del rombo, tenemos que:

${\overline {PB}}={\overline {CB}}\cdot \sin \alpha$

Equivalente a:

$h=l\cdot \sin \alpha$

Con lo que queda determinada el área del rombo:

$A=l\cdot h=l\cdot l\cdot \sin \alpha =l^{2}\cdot \sin \alpha$

• Otra forma de hallar el área es a través del producto entre el semiperímetro y el radio del círculo inscrito en el rombomeones

siendo 2l es el semiperímetro de rombo; r el radio del círculo inscrito.

Radio de la circunferencia inscrita

Cálculo del radio de la circunferencia inscripta

$r={\frac {A}{2l}}$

siendo A el área; l la base; r el radio de la circunferencia inscripta del rombo.

Dimensiones del rombo

En un rombo podemos distinguir las siguientes dimensiones:

El lado l:

$l={\overline {AB}}={\overline {BC}}={\overline {CD}}={\overline {DA}}$

Las diagonales: D y d:

$D=D_{1}={\overline {AC}}$

$d=D_{2}={\overline {BD}}$

La altura h:

$h={\overline {EG}}={\overline {FH}}$

El rombo en el comercio y cosas de marca particular

• El logotipo de Mitsubishi, son tres rombos unidos a un punto en común cualquiera.
• La marca de los autos Renault lleva un rombo sin puntas, pero el centro del logotipo está formado también por un rombo.
• En la Televisión Española se indicaba con uno o dos rombos que el programa que empezaba no era apto para menores de 14 o 21 años, respectivamente. Los rombos aparecían durante unos segundos en la esquina superior derecha de la pantalla. La práctica se mantuvo entre 1962 y 1985. También hay que mencionar que esta es la figura que forma las 9 lunetas del logotipo del Canal 9.
• Las pastillas Juanola tienen una reconocible forma romboidal que durante años también fue utilizado para el diseño de su caja contenedora.
• En el juego de naipes, algunas cartas se llaman diamantes , que no son sino figuras en forma de rombo en esquinas opuestas de la correspondiente carta.
• Hay una novela de Europa oriental, que lleva por título Los aviones avanzan en rombo.
• El rombo se puede observar y reflejar por ejemplo en algo sencillo como lo es una cometa o aún una lámpara.
• Sobre las puertas de madera se tallan, encima de las planchas entre los marcos, rombos sobresalientes.