Geometría Analítica con Matlab/Texto completo

Introducción

Fue el propósito de proyecto elaborar un software como soporte de aprendizaje en el estudio de cónicas rotadas; a este software se le ha llamado FORCUSC.

La idea nació al observar que programas de computación como Derive, Matlab, Mathematica, MathCad, Scientific WorkPlace, Magma, Calypso entre otros, a partir de la ecuación cartesiana permiten visualizar las gráficas de las cónicas, sin embargo a pesar de que algunos de ellos poseen excelentes herramientas para tener una magnífica gráfica, no muestras los ejes con respecto a los cuales la cónica presente la denominada ecuación normal, es decir la carente de términos de la forma xy; tampoco muestran la correspondiente ecuación normal ni calculan el ángulo de rotación.

La base del desarrollo del software ha sido el estudio de la matriz simétrica asociada a la ecuación cuadrática

$ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0,\;\;b\neq 0$

, como habitualmente lo presentan los textos de Àlgebra Lineal. Los vectores propios de la matriz muestran los ejes del nuevo plano cartesiano, en el cual la cónica presenta la denominada ecuación normal.

Es importante tener en cuenta que la ecuación anterior, además de describir cónicas, también describe rectas, puntos o ningún punto. Este análisis se presenta en la sección tres (3) y, los resultados giran alrededor del signo del menor valor propio.

A pesar de la potencia de las herramientas gráficas del programa Derive, se encontró que realiza la gráfica de las rectas paralelas descritas por la ecuación $x^{2}+8xy+16y^{2}-4x-16y=0$, pero no muestra la gráfica de la recta descrita por la ecuación $x^{2}+8xy+16y^{2}-4x-16y+4=0$, cuya diferencia con la anterior es tan sólo en la constante $f=4.$

Con el software FORCUSC no hay este tipo de dificultad. Ha sido diseñado para mostrar la gráfica, junto con los ejes de rotación de cualquier caso contenido en la ecuación cuadrática, con $b\neq 0$, y brindar información sobre el ángulo de rotación así como los valores y vectores propios.

Para el diseño y creación del software FORCUSC, se consultó MARCHAND, Patrick. Graphics and GUIs with Matlab. 2nd. edition. New York: CRC Press, 1999, junto con las ayudas ofrecidas por el programa Matlab. En la sección 4, se presenta el código fuente respectivo. FORCUSC fue diseñando enteramente en GNU/Linux y actualmente se encuentra lista la versión 2.5 que corre como cualquier aplicativo de Matlab, agregando sus respectivas librerías al Path de Matlab, la versión compilada como aplicación independiente de instalación de Matlab se encuentra en etapa de compilado y pruebas.

En las sección dos y tres se presenta un desarrollo matemático sobre Álgebra Lineal elemental que comprende el estudio de valores y vectores propios, incluyendo específicamente el caso de matrices simétricas buscando la aplicación a la rotación en el caso cartesiano. Un hecho importante lo constituye el que, desde el software FORCUSC se puede acceder al presente documento como medio de consulta sobre los resultados allí presentados.

Etapas posteriores del proyecto FORCUSC buscarán implementar nuevos módulos que permitan desarrollar entre otros, el estudio de las superfícies cuádricas.

Matrices

Matrices

Luego de la fundamentación de la teoría de matrices al final del sigo XIX, se observó que muchas nociones matemáticas que fueron consideradas ligeramente diferentes de las matrices, eran en efecto, similares. Por ejemplo, objetos tales como puntos en el plano bidimensional, puntos en el espacio tridimensional, polinomios, funciones continuas, funciones diferenciables satisfacen las mismas propiedades aditivas y propiedades de multiplicación por escalares. Por lo cual se pensó que era más eficiente y productivo estudiar muchos tópicos a la vez, al analizar las propiedades comunes que ellos satisfacen; este hecho condufo a la definición axiomática de espacio vectorial. La primera publicación sobre el tema se debe al polaco Hermann Grassmann (1808 - 1887), en 1844; en su trabajo dejó planteados los conceptos que se refieren a dependencia lineal, bases y dimensión.

El italiano Giuseppe Peano (1858 - 1932) dio una axiomatización similar a la que actualmente se usa y que fue propuesta posteriormente por el alemán Hermann Weyl (1885 - 1955) ignorando el trabajo de Peano. El éxito de Weyl radicó en el manejo geométrico del espacio vectorial.

Espacio Vectorial

Un espacio vectorial involucra cuatro (4) "objetos": dos (2) conjuntos V y F, y dos operaciones algebraicas llamadas adición vectorial y multiplicación escalar; V es un conjunto no vacío de objetos llamados vectores. F es un campo escalar, ya se el campo de los número reales, o bien el campo de los números complejos.

La adición vectorial (denotada como $x+y$) es una operación entre elementos de V. La multiplicación escalar (denotada como $\alpha x$) es una operación entre elementos de F y de V. Entonces, el conjunto V es llamado espacio vectorial sobre F cuando la adición vectorial y la multiplicación escalar satisfacen las propiedades que se enuncian a continuación:

Para la adición de vectores

${\begin{cases}(A1)\;\;\forall x,y\in V,\;\;x+y\in V;&{\text{(Propiedad clausurativa).}}\\(A2)\;\;\forall x,y,z\in V,\;\;(x+y)+z=x+(y+z);&{\text{(Propiedad asociativa).}}\\(A3)\;\;\forall x,y\in V,\;\;x+y=y+x;&{\text{(Propiedad conmutativa).}}\\(A4)\;\;\forall x\in V,\;\exists e\in V,\;\;x+e=x;&{\text{(Existencia de módulo).}}\\(A5)\;\;\forall x\in V,\exists x^{-1}\in V,\;x+x^{-1}=e;&{\text{(Existencia de inversos).}}\end{cases}}$

Propiedades para la multiplicación escalar:

${\begin{cases}(M1)\;\;\forall \alpha \in F\;y\;\forall x\in V,\;\;\alpha x\in V.&{\text{(Propiedad clausurativa).}}\\(M2)\;\;\forall \alpha ,\beta \in F,\;y\;\forall x\in V,\;\;(\alpha \beta )x=\alpha (\beta x).&{\text{(Propiedad asociativa).}}\\(M3)\;\;\forall \alpha \in F,\;y\;\forall x,y\in V,\;\;\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y.&{\text{(Propiedad distributiva escalar sobre la adicion vectorial).}}\\(M4)\;\;\forall \alpha \beta \in F\;y\forall x\in V,\;\;(\alpha +\beta )x=\alpha x+\beta x.&{\text{(Propiedad distributiva vectorial sobre la adicion escalar).}}\\(M5)\;\;\forall x\in V,\;\;1x=x.&{\text{(Existencia de modulo).}}\end{cases}}$

Si al módulo $e$ mencionadao en (A4) se le denomina vector nulo y se denota por O, y teniendo en cuenta que cualquier escalar t multiplicado por él da nuevamente el vector nulo, $tO=O$, se puede decir:

NOTA 1 Si x es un vector no nulo y $kx=O$, entonces el escalar K es 0.

Esto resulta al suponer que $k\neq O$, entonces $x={\tfrac {1}{k}}(kx)=O$, lo cual es absurdo.

Independencia Lineal

Dados los vectores $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{r}\in V$ y los escalares $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{r}\in F$, una expresión de la forma

$\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}+\ldots +\alpha _{r}v_{r}$

es llamada uan combinación lineal de ellos.

Un conjunto de vectores se dice linealmente independiente, o que es un sistema libre si la única combinación lineal igual al vector nulo es aquella en que todos los escalares son cero. En caso contrario, se dice que es linealmente dependiente o que es un sistema ligado.

Subespacio

Si V es un espacio vectorial sobre F y si $W\subset V$, entonces W es un subespacio de V si bajo las operaciones de V, W mismo forma un espacio vectorial sobre F.

Para establecer la estructura de subespacio no es necesario revisar todas las 10 condiciones definidas para determinar si un subconjunto es también un subespacio. Para tal fin se plantean dos caracterizaciones:

atención

'Caracterización 1: Sea $W\subseteq V$ un conjunto no vacío. Entonces W es un subespacio de V si y solo si

$w_{1},w_{2}\in W,\;\alpha ,\beta \in F\;\;{\text{implica}}\;\;\alpha w_{1}+\beta w_{2}\in W$

Prueba

Sólo si se quiere probar que W es subespacio de V.

Con $\alpha =\beta =1$, resulta (A1). Las propiedades asociativa y conmutativa [(A2), (A3)] las conserva el subconjunto W. Con $\alpha =0=\beta$ se obtiene $O\in W$, y con ello se cumple (A4). Ahora, dado $w_{1}\in W$, tomando $\alpha =-1,\beta =0$ se concluye que el opuesto $-w_{1}\in W$ y en consecuencia por (A1) satisface (A4). Si $\alpha =1$ y $\beta =0$ se tiene (M5).

Las restantes propiedades (M2), (M3), (M4) son consecuencia por ser W subconjunto del espacio vectorial V.

Una segunda caracterización tiene en cuenta únicamente las condiciones clausurativas (A1) y (M1):

atención

'Caracterización 2: Sea $W\subseteq V$ un conjunto no vacío. Entonces W es un subespacio de V si y solo si

${\begin{cases}(A1)\;\forall x,y\in W,\;x+y\in W\;\;{\text{y}}\\(M1)\;\forall x\in W,\;\forall \alpha \in F,\;\alpha x\in W.\end{cases}}$

Prueba

Sólo se requiere establecer que (A1), (M1) implican que W es subespacio de V.

Siendo W subconjunto de V, salvo las propiedades (A4) y (A5) de manera inmediata se satisfacen las restantes. (A4) y (A5) se obtienen de (A1), (M1) al escribir $-x=(-1)x$, dado cualquier elemento $x\in W$.

La caracterización 2 permite deducir que para un conjunto $W={v_{1},v_{2},\ldots ,v_{r}}$ de vectores del espacio V, el espacio formado con todas las combinaciones lineales de sus elementos $gen(W)={\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}+\ldots +\alpha _{r}v_{r}}$, es un subespacio vectorial de V. Este subespacio es llamado el espacio generado por W.

La dimensión de un espacio vectorial V se refiere al máximo número de vectores, o bien al mínimo número de vectores linealmente independientes necesario para generar V. Y se denomina base todo conjunto de vectores, linealmente independientes, que genera el espacio V.

Producto Interior

Al considerar F el campo de los número reales o el de los complejos, al espacio vectorial se le asocia un producto interior denotado $u\cdot v$, que a cada par de vectores asocia un único escalar, y cumple las propiedades.

${\begin{array}{ll}(P1)&v\cdot v\geq 0,\;\;{\text{para todo}}\;v\in V,\;\;{\text{y}}\\&v\cdot v=0\;\;{\text{si y solo si}}\;v=O;\\(P2)&v\cdot w=w\cdot v,\;\;{\text{para todo par}}\;v,w\in V;\\(P3)&u\cdot (\alpha v+\beta w)=\alpha (u\cdot v)+\beta (u\cdot w),\;\;{\text{para cualesquier}}\;u,v,w\in V,\\&{\text{y todo par}}\;\alpha ,\beta \in F.\end{array}}$

En el caso del espacio vectorial real de la forma $\mathbb {R} ^{n}$ (con $F=\mathbb {R}$), un producto punto es el correspondiente a la suma de los productos de las respectivas componentes. Es decir, dados los vectores

$u=\left[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right],\;\;v=\left[y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}\right]$

se toma

$u\cdot v=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}$.

Al utilizar la notación matricial, los vectores habitualmente se toman en columna y, en este caso el producto anterior se desarrolla como $u^{t}v$, donde $u^{t}$ indica la transpuesta de u.

En el caso de vectores con componentes complejas, el producto interno debe ser modificado para tener la definición de longitud, y la modificación habitual es conjugar el primer vector en el producto interno. Esto significa que x es reemplazado por ${\bar {x}}$, y el producto interno de x y y resulta:

${\bar {x}}^{t}y={\bar {x}}_{1}y_{1}+\ldots +{\bar {x}}_{n}y_{n},$

Y se toma el producto interno de x con él mismo, se tiene el cuadrado de su longitud: ${\bar {x}}^{t}x=\|x\|^{2}$.

Puesto que en el caso complejo ${\bar {y}}^{t}x$ no siempre coincide con ${\bar {x}}^{t}y$, se debe tener en cuenta el orden de los vectores para el producto interno. Hay otra novedad: si x es cambiada por cx, entonces el producto interno de x y y es multiplicado por ${\bar {c}}$.

Nótese que si se tomara en el caso complejo tal como se desarrolla el caso real, con el vector $u=\left[i,1,0,\ldots ,0\right]$ aparecería por ejemplo el resultado

$u\cdot u=i^{2}+1=0$,

incumpliendo la segunda parte de la propiedad (P1).

Una norma para un espacio vectorial V, real o complejo, es la función $\|\;\|$ definida sobre V que satiface:

${\begin{array}{l}\|x\|>0\;{\text{y,}}\;\;\|x\|=0\;{\text{si y solo si}}\;\;x=O,\\\\\|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|\;{\text{para cualquier escalar}}\;\;\alpha ;\\\\\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|\end{array}}$.

En un espacio V con producto interior $\cdot$, dos vectores x, y son ortogonales si $x\cdot y=0$. En $\mathbb {R} ^{n}$ el producto interios habitual es $x\cdot y=x^{t}y$. En el espacio $\mathbb {C} ^{n}$, como se restringió antes, el producto interior usual es $x\cdot y={\bar {x}}^{t}y$.

Si los dos vectores ortogonales tiene norma o longitud 1, se dice que son ortonormales.

Matrices

Arthur Cayley

Suma y multiplicación

Recuérdese que una matriz es un arreglo rectangular de número que pueden ser reales o complejos y se representa normalmente entre paréntesis. El orden o tamaño de una matrz está dado por el número de filas y el de columnas.

Los elementos de una matriz general de tamaño $m\times n$ se representan normalmente utilizando un doble subíndice; el primer subíndice, j, indica el número de fila y el segundo, k, el número de columna. Así pues, el elemento, $m_{23}$ está en la segunda fila, tercera columna de la matriz M; se puede representar de forma abreviada como $M=\left(m_{jk}\right)$. También se usa la notación $M_{m\times n}$.

La suma de dos matrices sólo está definida si ambas tienen el mismo tamaño. Así, dadas $A=\left(a_{jk}\right)$ y $B=\left(b_{jk}\right)$, entonces la suma $C=A+B$ se define como la matriz $\left(c_{jk}\right)$, en la que $c_{jk}=a_{jk}+b_{jk}$; es decir, para sumar dos matrices de igual tamaño basta con sumar los elementos correspondientes.

En el conjunto de todas las matrices de un determinado tamaño, la adición tiene las propiedades asociativa y conmutativa. Además hay una matriz única O, denominada matriz cero o nula, tal que para cualquier matriz A, se cumple $A+O=O+A=A$ y, para la matriz dada A existe una matriz única B tal que $A+B=B+A=O$.

La multiplicación de una matriz A por un escalar t (número real o complejo), da una matriz formada por todos los términos de A multiplicados por el escalar t, conservando su posición inicial.

De esta manera, el conjunto de todas las matrices de orden $m\times n$, con la operación suma y la multiplicación por escalares tiene estructura de espacio vectorial.

La multiplicación o producto AB de dos matrices, A y B, está definido sólo si el número de columnas del factor izquierdo, A, es igual al número de filas del factor derecho, B; si $A=\left(a_{jk}\right)$ es de tamaño $m\times n$ y $B=\left(b_{jk}\right)$ es de mañaño $n\times p$, el producto $AB=C=\left(c_{jk}\right)$ es de tamaño $m\times n$ y $c_{jk}$ está dado por

$c_{jk}=\sum _{h=1}^{n}a_{jh}b_{hk}$

.

Es decir, el elemento de la fila j y la columna k des producto, es la suma de los productos de cada uno de los elementos de la fila j de factor izquierdo multiplicado por el correspondiente elemento de la columna k del factor derecho.

Para el caso de una matriz cuadrada, se adopta la notación $A^{2}$ para representar el producto AA.

La multiplicación de matrices no es conmutativa, pero si cumple la propiedad asociativa. Esto es

$(AB)C=A(BC)$.

(1.1)

El caso particular de la multiplicación de una matriz de orden $m\times n$ por una matriz de orden $n\times 1$, es una matriz de orden $m\times 1$ (vector columna). De acuerdo con la definición es

$\left[{\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\&\vdots &\ddots &\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}\\\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{array}}\right]$

la cual puede expresarse en la forma

$\left[{\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\&\vdots &\ddots &\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\right]=x_{1}\left[{\begin{array}{c}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{array}}\right]+x_{2}\left[{\begin{array}{c}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{m2}\end{array}}\right]+\cdots +x_{n}\left[{\begin{array}{c}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots \\a_{mn}\end{array}}\right]$

(1.2a)

es decir, es una combinación lineal de las columnas de la matriz de orden $m\times n$, y los escalares corresponden a las componentes del vector columna.

Cuando se tiene la multiplicación de una matriz $M=\left(a_{ij}\right)$ de orden $m\times n$, por otra formada por dos (o más) columnas (dos vectores columna), se puede plantear en la forma

$\left[{\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\&\vdots &\ddots &\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\\\vdots &\vdots \\x_{n}&y_{n}\end{array}}\right]=\left[M\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\right]M\left[{\begin{array}{c}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{array}}\right]\right]$,

o brevemente, denotanto X el vector columna $\left[{\begin{array}{cccc}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\end{array}}\right]^{t}$ y Y el vector $\left[{\begin{array}{cccc}y_{1}&y_{2}&\cdots &y_{n}\end{array}}\right]^{t}$

$M\left[{\begin{array}{cc}\vdots &\vdots \\X&Y\\\vdots &\vdots \end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}\vdots &\vdots \\MX&MY\\\vdots &\vdots \end{array}}\right]_{m\times 2}$.

(1.2b)

Matriz inversa

La matriz unidad, es una matriz cuadrada en la cual todos los elementos son cero, excepto los de la diagonal principal, que son 1 y es el elemento neutro para la multiplicación de matrices. Si A y B son dos matrices cuadradas de forma que $AB=BA=I$, la matriz B se llama inversa de A y se denota $B=A^{-1}$.

Si una matriz no posee inversa se dice singular; en caso contrario se le dice no singular o regular (es inversible).

Si se supone que dos matrices B, C cumplen

$AB=BA=I,\;\;AC=CA=I,$

de $C=CI=C(AB)=(CA)B=IB=B$, se tiene que la inversa, si existe es única. En particular $I^{-1}=I$.

Sobre dos matrices M y N, inversibles, si son de igual tamaño se cumple

$\left(MN\right)^{-1}=N^{-1}M^{-1}$.

(1.3)

Esto se sigue de la asociatividad de la multiplicación:

${\begin{array}{cll}\left(MN\right)\left(N^{-1}M^{-1}\right)&=\left(\left(MN\right)N^{-1}\right)M^{-1}&=\left(M\left(NN^{-1}\right)\right)M^{-1}\\&=(MI)M^{-1}&=MM^{-1}=I,\end{array}}$

y de manera análoga se obtiene $\left(M^{-1}N^{-1}\right)\left(MN\right)=I$, verificándose la propiedad (1.3)

.

En el caso sencillo de una matriz A de orden 2

$A=\left[{\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right]$,

su inversa, si existe, es de la forma

$A^{-1}={\frac {1}{ab-cb}}\left[{\begin{array}{cc}d&-b\\-c&a\end{array}}\right]$,

con $ad-cb\neq 0$.

Además de la matriz nula y la matriz identidad, se tienen otras matrices. Matriz escalar es la matriz obtenida de multiplicar la identidad I por un escalar (real o complejo).

La matriz A es involutiva si ella es su propia inversa; es decir si $A^{2}=I$. Una matriz A se dice idempotente si $A^{2}=A$.

La matriz transpuesta de una matriz A de orden $m\times n$ es la matriz de orden $n\times m$, denotada $A^{t}$ (transpuesta de A), que se obtiene permutando las filas por las columnas. La fila j de $A^{t}$ es la columna j de A, y la columna j de $A^{t}$ es la fila j de A. En particular la transpuesta de la matriz unidad es ella misma, esto es $I^{t}=I$. También $\left(A^{t}\right)^{t}=A$.

Con la multiplicación se cumple:

$\left(AB\right)^{t}=B^{t}A^{t}$,

(1.4)

y con esta propiedad se establece una relación entre la inversa de la transpuesta con la inversa de la matriz dada. Esto es:

$\left(A^{-1}\right)^{t}=\left(A^{t}\right)^{-1}$,

(1.5)

ya que $I=I^{t}=\left(A^{-1}A\right)^{t}=A^{t}\left(A^{-1}\right)^{t}$; y de la misma forma $\left(A^{-1}\right)^{t}A^{t}=I$.

En el caso de tener sólo números reales, la matriz se llama ortogonal si cumple

$AA^{t}=A^{t}A=I$,

que equvale a

$A^{t}=A^{-1}$

(1.6)

lo cual significa que la inversa de la matriz, simplemente es la transpuesta.

Con esto se puede decir:

NOTA 2 Una matriz A es regular si y solo si $A^{t}$ lo es. O también, A es singular si y solo si $A^{t}$ lo es.

Una matriz real A es simétrica si ella es igual a su transpuesta; es decir si $A^{t}=A.$. Una matriz B es antisimétrica (hemisimétrica) si $B=-B^{t}$; en este caso los elementos de la diagonal principal son nulos. Resulta del hecho $a_{hh}=-a_{hh}$, y esto implica $a_{hh}=0$.

Una matriz cuadrada A de orden n se llama unitaria si:

$\left({\bar {A}}\right)^{t}A=A\left({\bar {A}}\right)^{t}=I$,

o sea, si

$\left({\bar {A}}\right)^{t}=A^{-1}$.

(1.7)

La matriz ${\bar {A}}$ se denomina matriz conjugada de A y se obtiene tomando el conjugado de cada elemento. En el producto se cumple ${\bar {AB}}={\bar {A}}{\bar {B}}$

En el caso de tener sólo números reales, es el caso de la matriz ortogonal.

Los Cuatro Subespacios Fundamentales

Asociado a una matriz A de orden $m\times n$ se tienen cuatro subespacios vectoriales fundamentales. Dos de ellos, subespacios de $\mathbb {R} ^{n}$ y los otros dos de $\mathbb {R} ^{n}$.

La conexión entre funciones lineales y matrices surgió de la observación de Cayley que la composición de dos funciones lineales puede representarse mediante la multiplicación de dos matrices. En general una función o transformación lineal relaciona dos espacios vectoriales U y V sobre el mismo cuerpo F, cumpliendo:

$\left[i\right]T(x+y)=T(x)+T(y),\;\;{\text{para todo par de vectores}}\;x,y\in U$.

$\left[ii\right]T(\alpha x)=\alpha T(x),\;\;{\text{para todo escalar}}\;\alpha \in F,\;\;{\text{todo vector}}\;x\in U$.

Así que, dada una matriz A de orden $m\times n$, la función $f$ de $\mathbb {R} ^{n}$ en $\mathbb {R} ^{m}$ definida por $f(x)=Ax$ es una aplicación lineal

Espacio columna, espacio fila

Sea A una matriz real de tamaño $m\times n$

$A=\left[{\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\&\vdots &\vdots &\vdots &\\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots &a_{mn}\end{array}}\right]$.

El espacio columna de A, es el subespacio de $\mathbb {R} ^{m}$ generado por las n columnas de A y coincide con el recorrido de la aplicación lineal (o transformación lineal) $f(x)=Ax$. Este subespacio se simboliza por $\Re (A)$. Es decir,

$\Re (A)=\left\{Ax|x\in \mathbb {R} ^{n}\right\}\subseteq \mathbb {R} ^{m}$

Observando el producto Ax, en la forma (1.2)

, se observa efectivametne que $\Re (A)$ es el espacio generado por las columnas de A. Su dimensión es el número de columnas linealmente independientes.

Ahora, si a cambio de la matriz A se considera su transpuesta $A^{t}$, el recorrido de la aplicación lineal $g(x)=A^{t}x$ constituye el espacio columna de $A^{t}$, el cual equivale al espacio generado por las filas de A.

NOTA 3 En esta sección se habla en términos de matrices reales y espacio real, pero todos los resultados obtenidos son análogos en matrices complejas, basta reemplazar $A^{t}$ por ${\bar {A}}^{t}$.

En resumen, dada una matriz $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$, por el momento hay dos espacios vectoriales asociados a ella:

a) $\Re (A)$ el espacio determinado por las columnas de A (Espacio Columna). Es decir $b\in \Re (A)\Longleftrightarrow b=Ax\;\;{\text{para algun}}\;x\in \mathbb {R} ^{n}$. b) $\Re (A^{t})$ el espacio determinado por las filas de A (espacio fila): $a\in \Re (A^{t})\Longleftrightarrow a^{t}=y^{t}A\;\;{\text{para algun}}\;y\in \mathbb {R} ^{m}$.

Luego de obtener una matriz escalonada a través de la eliminación gaussiana, se puede calcular el rango r de la matriz escalonada, que corresonde precisamente a la dimensión del espacio fila de A.

Dicho de otra forma, la dimensión del espacio fila de A corresponde al número de filas distintas de cero que tenga la nueva matriz escalonada.

Algunas veces se desea saber si dos matrices tienen o no el mismo espacio fila o el mismo rango. El siguiente teorema, conocido como Teorema de Rangos iguales, establece una solución. Se hace uso de la notación $A{\stackrel {row}{\thicksim }}B$ para indicar que existe una matriz regular P tal que $PA=B$. Análogamente $A{\stackrel {col}{\thicksim }}B$ significa que existe una matriz regular Q, tal que $AQ=B$.

Para dos matrices A y B de orden $m\times n$:

$\left[i\right]\;\;\Re \left(A^{t}\right)=\Re \left(B^{t}\right)\;\;{\text{si y solo si}}\;A{\stackrel {row}{\thicksim }}B$.

(1.8)

$\left[ii\right]\;\;\Re \left(A\right)=\Re \left(B\right)\;\;{\text{si y solo si}}\;A{\stackrel {col}{\thicksim }}B$.

(1.9)

Prueba

Para verificar (1.8)

, primero se asume $A{\stackrel {row}{\thicksim }}B$, esto es, existe una matriz regular P tal que $PA=B$. Para ver que $\Re \left(A^{t}\right)=\Re \left(B^{t}\right)$, se sigue de:

${\begin{array}{lcl}a\in \Re \left(A^{t}\right)&\Longleftrightarrow &a^{t}=y^{t}A=y^{t}P^{-1}\;\;{\text{para algun}}\;\;y\in \mathbb {R} ^{m},\\&\Longleftrightarrow &a^{t}=z^{t}B\;\;{\text{con}}\;\;z^{t}=y^{t}P^{-1},\;\;{\text{pues}}\;\;PA=B,\\&\Longleftrightarrow &a\in \Re \left(B^{t}\right).\end{array}}$

Ahora, para el recíproco, si $\Re \left(A^{t}\right)=\Re \left(B^{t}\right)$ entonces los espacios vectoriales generados por las filas de A y las filas de B coinciden. Esto es

$span\left\{A_{1*},A_{2*},\ldots ,A_{m*}\right\}=span\left\{B_{1*},B_{2*},\ldots ,B_{m*}\right\}$,

por lo tanto cada fila de B es una combinación de las filas de A y viceversa. Con base en este hecho se puede decir que es posible reducir A a B usando solamente operaciones de filas, y de esta manera $A{\stackrel {row}{\thicksim }}$. La prueba de B se sigue, reemplazando A y B con $A^{t}$ y $B^{t}$.

Espacio nulo, espacio nulo a izquierda

A partir de la transformación lineal $f$ de $\mathbb {R} ^{n}$ en $\mathbb {R} ^{m}$, definida por $f(x)=Ax$, con A una matriz de orden $m\times n$, el conjunto $N(f)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\;|\;f(x)=O\right\}$ es llamado espacio nulo de $f$. También se le representa como $N(A)$ haciendo referencia a la matriz que genera la transformación.

Este espacio nulo es un subespacio vectorial del dominio $\mathbb {R}$. Para ello se revisa que se cumplen las propiedades A1, M1 enunciadas en la sección 1.1, Caracterización 2:

$\left[A1\right]$ Sean $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$, con $x,y\in N(f)$. Entonces la imagen de la suma

$f(x+y)=A(x+y)=Ax+Ay$,

ya que la multiplicación de matrices es distributiva respecto de la suma, y puesto que $Ax=f(x)=O,\;\;Ay=f(y)=O$, resulta que $x+y\in N(f)$.

$\left[M1\right]$ Sea $x\in N(f)$, y $\alpha$ cualquier escalar del cuerpo F. Entonces

$f(\alpha x)=A(\alpha x)=\alpha Ax=\alpha f(x)$

.

Si se sigue el proceso de eliminación para simplificar un sistema de ecuaciones lineales, el sistema $Ax=O$ se reduce a $Ux=O$, siendo U la matriz escalonada obtenida de A, al aplicar la eliminación gaussiana, y este proceso es reversible. En este caso. Los elementos de este espacio son las soluciones del sistema homogéneo

$Ax=O,\;\;\;O\in \mathbb {R} ^{m}$.

(1.10)

Ya que el espacio nulo de A, es el conjunto de vectores que satisfacen $Ax=O$, es el mismo espacio nulo de U y, de las m restricciones impuestas por las m ecuaciones de $Ax=O$, solo r son independientes, que corresponden a las r filas de A linealmente independientes, o también por las r filas no nulas de U.

De esta manera, el espacio nulo $N(A)$, también llamado el kernel de A, es de dimensión $n-r$. Una base puede construirse reduciendo a $Ux=O$, que tiene $n-r$ variables libres correspondientes a las columnas de U que no contienen pivotes. Entonces, seguidamente, se da a cada variable libre el valor 1, a las otras variables libres el valor 0, y se resuelve $Ux=O$ sustituyendo en reversa las variables (básicas) faltantes; los $n-r$ vectores producidos de esta forma son una base para $N(A)$.

Siendo $N(A)$ un subespacio vectorial, contiene el vector nulo $O\in \mathbb {R} ^{n}$; es decir, $O$ satisface el sistema (1.1)

, y se dice habitualmente que $O$ es solución trivial.

NOTA 4 La condición necesaria y suficientes para que $Ax=O$ tenga solución distinta de la trivial es que la característica de A sea $r<n$

NOTO 5 Si la característica de $Ax=O$ es $r<n$, el sistema tiene, exactamente $n-r$ soluciones linealmetne independientes de forma que cada solución es combinación lineal de estas $n-r$, y cada una de estas combinaciones lineales es una solución.

Si ahora se halla el espacio nulo para el operador generado por $A^{t}$, entonces $N\left(A^{t}\right)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{m}\;|\;A^{t}x=O\right\}$ con $O\in \mathbb {R} ^{n}$, es llamado el espacio nulo izquierdo de A porque es el conjunto de todas las soluciones del sistema homogéneo izquierdo

$x^{t}A=O^{t},\;\;O\in \mathbb {R} ^{n}$.

En resumen, dada una matriz $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$, hay dos espacios nulos asociados a ella:

$\left[c\right]\;\;N\left(A\right)$ el espacio nulo de A. Es decir: $d\in N\left(A\right)\Longleftrightarrow Ab=O\in \mathbb {R} ^{m}.$ $\left[b\right]\;\;N\left(A^{t}\right)$ el espacio nulo izquierdo de A. Es decir: $b\in N\left(A^{t}\right)\Longleftrightarrow A^{t}b=O\in \mathbb {R} ^{n}.$

Matriz Orgotonal

Ya en la sección 1.2.2 se estableció que una matriz es ortogonal si su inversa es su propia transpuesta. En función de sus líneas, acudiendo al producto escalar de vectores, se puede decir que una matriz ortogonal es simplemente una matriz cuadrada con columna (filas) ortonormales.

Si Q es matriz ortogonal y $q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}$ sus columnas las cuales satisfacen: $q_{i}^{t}q_{j}=0\;\;(i\neq j)$ y $q_{i}^{t}q_{i}=1$, se puede visualizar de la siguiente manera:

$Q^{t}Q=\left[{\begin{array}{c}\leftarrow q_{1}^{t}\rightarrow \\\leftarrow q_{2}^{t}\rightarrow \\\vdots \\\leftarrow q_{n}^{t}\rightarrow \end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cccc}\uparrow &\uparrow &&\uparrow \\q_{1}&q_{2}&\cdots &q_{n}\\\downarrow &\downarrow &&\downarrow \end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccc}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\&\vdots &\vdots \\0&0&0&1\end{array}}\right]$.

A partide de la conexión entre la norma y el producto interior para vectores reales o complejos, pueden establecerse dos propiedades sobre las matrices orgonales:

atención

$\left[1\right]$ Una matriz ortogonal preserva longitudes. Esto significa

$\|Qx\|=\|x\|$.

(1.11a)

$\left[2\right]$ Una matriz ortogonal preserva productos internos y ángulos:

$\left(Qx\right)^{t}\left(Qy\right)=x^{t}y$.

(1.11b)

Prueba de 1

De la definición de norma (sección 1.1.3),

$\|Qx\|^{2}=\left(Qx\right)^{t}\left(Qx\right)=x^{t}Q^{t}Qx=x^{t}Ix=x^{t}x=\|x\|^{2}$.

Prueba de 2

Dados dos vectores x,y al tomar el producto punto entre sus imágenes mediante Q

$\left(Qx\right)^{t}\left(Qy\right)=x^{t}Q^{t}Qy=x^{t}Iy=x^{t}y$.

Cuando A es una matriz ortogonal, la ecuación $Ax=b$ se soluciona fácilmente ya que resulta $A^{t}Ax=A^{t}b$, de donde $x=A^{t}b$.

Inversa y multiplicación de matrices ortogonales

Sobre este tipo de matrices se tiene que su inversa (transpuesta), también es matriz ortogonal; así mismo el producto de dos matrices ortogonales es otra matriz ortogonal. Se procede a verificar estas afirmaciones:

atención

Si A es ortogonal, entonces $A^{-1}$ es ortogonal.

Basta ver $A^{-1}\left(A^{-1}\right)^{t}=I$. Lo cual se deduce de aplicar (1.5)

y la propiedad asociativa

$A^{-1}\left(A^{-1}\right)^{t}=A^{-1}\left(A^{t}\right)^{-1}$,

y puesto que A es ortogonal

$A^{-1}\left(A^{-1}\right)=A^{t}\left(A^{t}\right)^{-1}=I$.

atención

Si A,B son ortogonales, entonces AB es ortogonal.

Se debe probar $(AB)(AB)^{t}=(AB)^{t}(AB)=I$. Aplicando (1.4)

y la propiedad asociativa

$(AB)(AB)^{t}=(AB)\left(B^{t}A^{t}\right)=\left((AB)B^{t}\right)A^{t}=\left(A\left(BB^{t}\right)\right)A^{t}$,

ahora por ser A, B ortogonales

$\left(AB\right)(AB)^{t}=(AI)A^{t}=AA^{t}=I$.

De forma similar, se obtiene $(AB)^{t}(AB)=I$.

Matriz hermitiana

Una matriz cuadrada $A=\left(a_{jk}\right)$ tal que ${\bar {A}}^{t}=A$ se llama hermitiana o autoadjunta. Este es el análogo complejo de simetría. Los elementos de la diagonal principal de una matriz hermitiana han de ser números reales, puesto que deben cumplir ${\bar {a}}_{hh}=a_{hh}$. Si la matriz es además unitaria, significa que $A^{-1}=A$, es decir es involutiva. Si todos los elementos son reales, es una matriz simétrica, como se ha mencionado anteriormente.

Con la notación ${\bar {A}}^{t}=A^{H}$, se tiene que A es hermitiana si $A=A^{H}$. Si A es de orden $m\times n$ entonces $A^{H}$ es de orden $n\times m$.

Sobre una matriz hermitiana sucede:

atención

Si H es hermitiana no siempre $H^{t}$ lo es.

Se deriva del hecho ${\overline {\left(\left(H^{t}\right)^{t}\right)}}={\bar {H}}$, que puede no coincidir con H.

Así mismo,

atención

Si H, T son hermitianas, entonces no siempre el producto HT lo es.

Se debe a que ${\overline {(HT)^{t}}}={\overline {T^{t}H^{t}}}={\bar {T}}^{t}{\bar {H}}^{t}?=TH$, que no siempre es igual a $HT$.

Una matriz cuadrada $A=\left(a_{jk}\right)$ tal que ${\overline {A^{t}}}=-A$ se llama hemi-hermitiana. Este es el análogo complejo de antisimetría. Los elementos de la diagonal principal de una matriz hemi-hermitiana han de ser números nulos o imaginarios puros. Es consecuencia del hecho ${\bar {a}}_{hh}=-a_{hh}$, puesto que ${\bar {a}}_{hh}+a_{hh}=2RE\left(a_{hh}\right)=0$, y esto implica $a_{hh}=0+iIm\left(a_{hh}\right)$.

Entonces, si una matriz hermitiana H, se multiplica por un escalar k, resulta:

${\begin{cases}kH\;\;{\text{es hermitiana si}}\;\;k\;\;{\text{es un real, y}}\\kH\;\;{\text{es hemi-hermitiana si}}\;\;k\;\;{\text{es un imaginario puro.}}\end{cases}}$

También a una matriz hermitiana se le denomina matriz hermitica.

Valores y Vectores Propios

Valores y Vectores Propios

Se plantea una revisión del propiedades sobre determinantes, a partir de la definición propuesta en el libro de matrices de Frank Ayres, página 20, que hace uso del número de inversiones en una permutación.

Inicialmente, considérese una matriz de orden 3. Sea

$B=\left[{\begin{array}{lcr}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{array}}\right]$

y un producto de la forma

$b_{1j_{1}}b_{2j_{2}}b_{3j_{3}}$

(2.3)

de tal manera que se tome un único elemento de cada línea (fila y columna). Los primeros subíndices se han tomado en el orden creciente 1, 2, 3, y con respecto a este orden los segundos subíndices forman el arreglo

$j_{1}j_{2}j_{3}$

(2.2)

con lo cual hay seis (6) posibles elecciones para los j's; estas son

123, 132, 213, 231, 321, 312.

Ahora, con relación al orcen creciente tomado para los primeros subíndices, en las elecciones o permutaciones posibles para los segundos subíndices, pueden haber las denominadas inversiones. En una permutación dada existe una inversión cuando un entero precede a otro menor que el. De esta forma, por ejemplo la permutación 321 contiene tres (3) inversiones.

A cada permutación se asocia un signo + o -, de acuerdo a si el número de inversiones presente es par o impar respectivamente. Para el caso de la matriz B anterior, se tienen los seis productos siguientes:

$b_{11}b_{22}b_{33},b_{11}b_{23}b_{32},b_{12}b_{21}b_{32},b_{12}b_{23}b_{31},b_{13}b_{22}b_{31},b_{31}b_{21}b_{32},$

y los signos respectivos asociados a las permutaciones de los segundos subíndices, son:

+, -, -, +, -, +.

Con la información anterior, al tomar el determinante de B (notado $\det B$ o |B|) como la suma de los seis (6) productos precedidos de los respectivos signos, resulta

$\det B=b_{11}b_{22}b_{33}-b_{11}b_{23}b_{32}-b_{12}b_{21}b_{33}+b_{12}b_{23}b_{31}-b_{13}b_{22}b_{31}+b_{13}b_{21}b_{32}.$

(2.3)

Este desarrollo permite deducir de manera inmediata propiedades básicas aplicables a matrices cuadradas de cualquier tamaño.

NOTA 1 Para una matriz de orden 2, por ejemplo $A=\left[{\begin{array}{lcr}a&b\\c&d\end{array}}\right]$, la permutación asociada al producto $bc$ contiene una inversión; en tal caso $detA=ad-bc$.

Propiedades de Determinantes

Las tres primeras propiedades se observan directamente de (2.3)

, y todas ellas las cumplen matrices cuadradas de cualquier tamaño.

atención

'D-1' Si B tiene una fila nula, entonces $detB=0$

Se sigue del hecho que cada producto en (2.3)

contiene un cero de dicha fila nula.

atención

'D-2' Si B es triangular, entonces $detB$ es el producto de las entradas de la diagonal principal.

En particular si B es triangular inferior, el desarrollo (2.3)

inicialmente se reduce a los dos primeros sumandos pero, en el segundo de ellos el término $b_{23}$ es nulo; por consiguiente

$detB=b_{11}b_{22}b_{b33}$.

De esta propiedad resulta inmediatamente,

atención

'D-3 El determinante de la matriz identidad es 1'

Para revisar el determinante cuando se intercambian dos líneas paralelas o, cuando dos de ellas son iguales, se puede reescribir (2.3)

en las formas alternativas:

$detB=b_{11}(b_{22}b_{33}-b_{23}b_{32})-b_{12}(b_{21}b_{33}-b_{23}b_{31})+b_{13}(b_{21}b_{32}-b_{22}b_{31})$,

(2.4a)

$detB=-b_{21}(b_{12}b_{33}-b_{13}b_{32})+b_{22}(b_{11}b_{33}-b_{13}b_{31})-b_{23}(b_{11}b_{32}-b_{12}b_{31})$

(2.4b)

$detB=b_{31}(b_{12}b_{23}-b_{13}b_{22})-b_{32}(b_{11}b_{23}-b_{13}b_{21})+b_{33}(b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21})$

(2.4c)

De esta manera, se sigue:

atención

'D-4' Si dos filas de B son iguales, entonces $detB=0$.

Puesto que se anulan los factores que involucran restas nulas.

atención

'D-5'La transpuesta de B tiene el mismo determinante de B: $detB^{t}=detB$.

En consecuencia al aplicar (2.4a)

a la matriz

$B^{t}=\left[{\begin{array}{lcr}b_{11}^{*}&b_{12}^{*}&b_{13}^{*}\\b_{21}^{*}&b_{22}^{*}&b_{23}^{*}\\b_{31}^{*}&b_{32}^{*}&b_{33}^{*}\end{array}}\right]$ con $b_{jk}^{*}=b_{kj}$

resultando

$detB^{t}=b_{11}^{*}(b_{22}^{*}b_{33}^{*}-b_{23}^{*}b_{32}^{*})-b_{12}^{*}(b_{21}^{*}b_{33}^{*}-b_{23}^{*}b_{31}^{*})+b_{13}^{*}(b_{21}^{*}b_{32}^{*}-b_{22}^{*}b_{31}^{*})$,

y en términos de los $b_{jk's}$, queda

$detB^{t}=b_{11}(b_{22}b_{33}-b_{32}b_{23})-b_{21}(b_{12}b_{33}-b_{32}b_{13})+b_{31}(b_{12}b_{23}-b_{22}b_{13})$,

$detB^{t}=b_{11}(b_{22}b_{33}-b_{32}b_{23})-b_{12}(b_{21}b_{33}-b_{31}b_{23})+b_{13}(b_{21}b_{32}-b_{31}b_{22})$,

el cual coincide con (2.4a)

. Esto permite extender las propiedades en las filas a las columnas.

atención

'D-6' El determinante depende linealmente de la primera fila.

Cuando cada término de una fila es suma de otros dos, de la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, aplicado a una de las tres expresiones (2.4a)

- (2.4c)

, el determinante es suma de dos determinantes como en la manera siguiente:

$\left|{\begin{array}{ccc}a_{11}+d_{11}&a_{12}+d_{12}&a_{13}d_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{array}}\right|=\left|{\begin{array}{lcr}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{array}}\right|+\left|{\begin{array}{lcr}d_{11}&d_{12}&d_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{array}}\right|$.

(2.5a)

También, si una fila tiene un factor común,

$\left|{\begin{array}{ccc}kb_{11}&kb_{12}&kb_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{array}}\right|=k\left|{\begin{array}{lcr}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{array}}\right|$.

(2.5b)

De manera similar, tomando el desarrollo adecuado, se tiene:

atención

'D-7' El determinante cambia de signo cuando dos filas se intercambian.

atención

'D-8' La operación elemental de sustraer un múltiplo de una fila a otra no modifica el valor del determinante.

La siguiente propiedad se refiere a la multiplicación.

atención

'D-9' Para cualquier par de matrices A, B de orden 3, el determinante del producto AB es el producto de los determinantes: $det(AB)=detAdetB.$

Una consecuencia de esta propiedad, junto con el hecho $detI=1$, relaciona el determinante de la inversa: $detB^{-1}={\frac {1}{detB}}$. Es decir, si B es regular entonces $detB\neq 0$, la matriz inversa $B^{-1}$ está dada por

$B^{-1}={\frac {1}{\left|B\right|}}AdjB$,

donde $AdjB$ es la matriz adjunta de B, constituida por los cofactores de esta.

Con lo anterior, se dice

atención

'D-10' B es inversible si y solo si $detB\neq 0$. También es equivalente a: B es singular si y solo si $detB=0$.

Valores y Vectores Propios

Dada una matriz cuadrada A (de valores reales o complejos), de orden n, se dice que $\lambda$ (real o complejo) es valor propio si existe un vector no nulo x tal que

$Ax=\lambda x$.

(2.6)

Al vector x anterior, se le denomina vector propio, y al par $(\lambda ,x)$ se le dice par propio. =====Algunas Consecuencias de la definición (2.6)

=

Si se multiplica la ecuación (2.6)

por A:

$A(Ax)=\lambda (Ax)$

(2.6a)

lo cual significa:

atención

'C-1' Si $\lambda$ es valor propio de A asociado al vector propio x, entonces $\lambda$ es valor propio de A asociado al vector propio Ax

Al multiplicar (2.6)

por cualquier escalar K

$A(kx)=\lambda (kx)$

(2-6b)

que implica:

atención

'C-2' Si x es un vector propio de A asociado a $\lambda$, cualquiera de sus vectores múltiplos kx, $k\neq 0$, también es vector propio.

Retomando la ecuación (2.6a)

, con el par propio $(\lambda ,x)$:

$A(Ax)=\lambda (Ax)$,

y aplicando (2.6)

se obtiene

$A^{2}x=\lambda ^{2}x$,

(2.6c)

lo cual indica que $\lambda ^{2}$ es valor propio de $A^{2}$, asociado al vector propio x. Si se multiplica sucesivamente por potencias de A, se deduce:

atención

'C-3' Si $\lambda$ es valor propio de A entonces $\lambda ^{n}$ es valor propio de $A^{n}$, para todo $n\in Z^{+}$

También se tiene lo siguiente:

atención

'C-4' Un vector no nulo, no puede ser vector propio asociado a dos valores propios distintos.

Prueba

Supóngase que y es un vector propio asociado a los dos valores propios $\lambda _{1},\;\lambda _{2}$. Entonces se cumple

$Ay=\lambda _{1}y,\;Ay=\lambda _{2}y,$,

de lo cual

$\lambda _{1}y=\lambda _{2}y$

o también

$(\lambda _{1}-\lambda _{2})y=0$

, y siendo y un vector no nulo, de la Nota 1 de la sección 1.1 se tiene $\lambda _{1}=\lambda _{2}$

atención

'C-5' Relación entre los valores propios de una matriz y su inversa.

Si A es no singular, y si $(\lambda ,x)$ es un par propio de A, entonces $\lambda ^{-1},x$ es un par propio de $A^{-1}$.

Prueba

Si $\lambda ,x$ es par propio de A, satisface

$Ax=\lambda x$,

y siendo A no singular, al multiplicar por $A^{-1}$ se tiene $x=\lambda A^{-1}x$ con lo cual $\lambda \neq 0$, ya que $x\neq 0$. Con esto, se plantea la relación

$A^{-1}x={\frac {1}{\lambda }}x$

que muestra precisamente que $(\lambda ^{-1},x)$ es par propio de la matriz inversa $A^{-1}$. De esta manera se obtiene:

NOTA 2 Si A es regular, ningún valor propio es nulo.

atención

'C-6' Para todo complejo $\alpha$ que no es valor propio de A, se tiene:

x es un vector propio de A si y solo si x es un vector propio de $(A-\alpha I)^{-1}$.

Prueba

$\Rightarrow$: Si x es un vector propio, existe un complejo $\lambda$ tal que

$Ax=\lambda x$.

Siendo $\alpha$ distinto de cualquier valor propio de A entonces $\lambda -\alpha \neq 0$, y sea el complejo $\delta$ definido por

$\delta ={\frac {1}{\lambda -\alpha }}$.

Con este valor se tiene $x=\delta (\lambda x-\alpha x)$ y usando el hecho de que $\lambda$ es valor propio

$x=\delta (Ax-\alpha x)$

de lo cual

$\delta (A-\alpha I)x$.

Ahora bien, si existiera un vector y no nulo tal que $(A-\alpha I)y=O$ la inversa $(A-\alpha I)^{-1}$ no existiría, pero en tal caso $Ay=\alpha y$ contrariando precisamente el hecho que $\alpha$ no es valor propio. Por lo tanto $(A-\alpha I)^{-1}$ existe y resulta

$(A-\alpha I)^{-1}x=\delta x$,

mostrando que x es vector propio de la matriz $(A-\alpha I)^{-1}$ con valor propio asociado $\delta$.

$\Leftarrow$: Si x es un vector propio de $(A-\alpha I)^{-1}$, existe un complejo $\phi$ tal que

$(A-\alpha I)^{-1}x=\phi x$.

Entonces

$x=\phi (A-\alpha I)x$,

de donde

$x+\phi \alpha x=\phi Ax$,

y como $\phi \neq 0$

$Ax={\frac {1}{\phi }}(1+\phi \alpha )x$,

es decir, x es vector propio de A con valor propio asociado ${\frac {1}{\phi }}(1+\phi \alpha )$.

atención

'C-7' Toda combinación lineal de vectores propios, correspondientes al mismo valor propio, es un vector propio asociado a dicho valor propio.

Prueba

Sean $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ vectores propios de a asociados al valor propio $\lambda$, y sea

$v=\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}$

una combinación lineal distinta de cero. Entonces al aplica A

$Av=A(\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n})=\alpha _{1}Ax_{1}+\alpha _{2}Ax_{2}+\cdots +\alpha _{n}Ax_{n}$,

$Av=\lambda (\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n})=\lambda v$.

Polinomio Característico

El polinómio característico de una n-matriz A, es

$p(\lambda )=det(A-\lambda I).$

(2.7a)

El grado de $p(\lambda )$ es n y el término líder en $p(\lambda )$ es $(-1)^{n}\lambda ^{n}$. Los coeficientes del polonómio están en función de las entradas de A.

La ecuación característica de A es

$p(\lambda )=0$,

(2.7b)

De la relación (2.6)

, se tiene que $\lambda$ es valor propio asociado al vector x si

$(A-\lambda I)x=O$,

y ya que $x\neq O$, la matriz $A-\lambda I$ es singular, y por la propiedad D-10, se tiene:

NOTA 3 $\lambda$ es valor propio para una matriz A si y solo si $det(A-\lambda I)=0$. (2.8)

Por consiguiente, de (2-7a)

y (2.8)

se tiene que los valores propios de A son las soluciones de la ecuación característica; por lo tanto, A tiene n valores propios, y algunos de ellos pueden ser complejos (aún si las entradas de A son números reales), y algunos valores propios pueden ser repetidos.

Ahora, tomando el conjugado en (2.6)

,

${\bar {A}}{\bar {x}}={\bar {\lambda {\bar {x}}}}$

permite concluír:

NOTA 4 Si A tiene solamente números reales, entonces sus valores propios complejos ocurren en pares conjugados.

Con el fin de expresar el determinante y la traza de una matriz en términos de sus valores propios, se acude a una relación dada en ------ entre las raíces y los coeficientes de un polinómio, para aplicarla por supuesto al polinomio característico.

consejo

Relación entre las raíces y los coeficientes de un polinómio.

Sea $f(x)$ un polinomio con coeficientes complejos, $f(x)\in C[x]$, con grado $degf(x)=n\geqslant 1$ y

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$,

(2.9a)

y sean $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}$ las raices de $f(x)$, no necesariamente diferentes, es decir

$f(x)=a_{n}(x-c_{1})(x-c_{2})\cdots (x-c_{n})$.

(2.9b)

Observe que $a_{0}=f(0)$. Del desarrollo de alguno productos

$x-c_{1}=x-c_{1}$,

$(x-c_{1})(x-c_{2})=x^{2}-(c_{1}+c_{2})x+c_{1}c_{2}$,

$(x-c_{1})(x-c_{2})(x-c_{3})=x^{3}-(c_{1}+c_{2}+c_{3})x^{2}+(c_{1}c_{2}+c_{1}c_{3}+c_{2}c_{3})x-c_{1}c_{2}c_{3}$,

$(x-c_{1})(x-c_{2})(x-c_{3})(x-c_{4})=x^{4}-(c_{1}+c_{2}+c_{3}+c_{4})x^{3}+(c_{1}c_{2}+c_{1}c_{3}+c_{1}c_{4}+c_{2}c_{3}+c_{2}c_{4}+c_{3}c_{4})x^{2}-(c_{1}c_{2}c_{3}+c_{1}c_{2}c_{4}+c_{1}c_{3}C_{4}+c_{2}c_{3}c_{4})x+c_{1}c_{2}c_{3}c_{4}$,

inductivamente se sigue que

$(x-c_{1})(x-c_{2})\ldots (x-c_{n})=x^{n}-(c_{1}+c_{2}+\ldots +c_{n})x^{n-1}+(c_{1}c_{2}+\ldots )x^{n-2}-(c_{1}c_{2}c_{3}+\ldots )x^{n-3}+\ldots +(-1)^{k}(c_{1}c_{2}\cdots c_{k}+\ldots )x^{n-k}+\ldots +(-1)^{n}c_{1}c_{2}\cdots c_{n}$.

para abreviar, sean

$s_{1}$ la suma de las raices $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}$ tomando dos a la vez, $s_{2}$ la suma de los productos de las raíces $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}$ tomando tres a la vez, $s_{3}$ la suma de los productos de las raíces $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}$ tomando k a la vez, $\vdots$ $\vdots$ $\vdots$ $s_{k}$ el producto de las raices $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}$.

De lo anterior se sigue que

$f(x)=a_{n}\left[x^{n}-s_{1}x^{n-1}+s_{2}x^{n-2}-\cdots +(-1)^{k}s_{k}x^{n-k}+\cdots +(-1)^{n}s_{n}\right]$,

(2.9c)

por lo tanto

$f(x)=a_{n}x^{n}-a_{n}s_{1}x^{n-1}+a_{n}s_{2}x^{n-2}-\cdots +(-1)^{k}a_{n}s_{k}x^{n-k}+\cdots +(-1)^{n}a_{n}s_{n}$,

y comparando con (2.9a)

, se surge la relación

$a_{n-1}=-a_{n}s_{1},\;a_{n-2}=a_{n}s_{2},\;\cdots ,\;a_{n-k}=(-1)^{k}a_{n}s_{k},\;\cdots ,\;a_{0}=(-1)^{n}a_{n}s_{n}$,

de lo cual

$s_{1}=-{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}},\;s_{2}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}},\;\cdots ,s_{k}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}},\;\cdots ,s_{n}=(-1)^{n}{\frac {a_{0}}{a_{n}}}$.

Estas últimas relaciones se conocen como fórmulas de Viète.

Para el caso del polinomio característico asociado a una n-matriz A: al aplicar (2.5b)

en cada una de las filas con $k=-1$, se tiene $det(A-\lambda I)$ en la forma

$det(A-\lambda I)=(-1)^{n}det\left[{\begin{array}{cccc}\lambda -a_{11}&0-a_{12}&\cdots &0-a_{1n}\\0-a_{21}&\lambda -a_{22}&\cdots &0-a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0-a_{n1}&0-a_{n2}&\cdots &\lambda -a_{nn}\end{array}}\right]$,

y teniendo en cuenta la definición de determinante, el término $\lambda ^{n}$ precisamente surge del producto que involucra los términos de la diagonal principal. Con esto, para el polinomio característico $p(\lambda )$, su coeficiente líder $a_{n}$ es $(-1)^{n}$ y usando (2.9c)

$p(\lambda )=det(A-\lambda I)=(-1)^{n}\left[\lambda ^{n}-s_{1}\lambda ^{n-1}+s_{2}\lambda ^{n-2}+\ldots +(-1)^{n-1}s_{n-1}\lambda +(-1)^{n}p(0)\right]$,

(2.9d)

en donde los coeficientes $s_{m},\;(m=1,2,\ldots ,n-1)$ están dados por las fórmulas de Viète.

A partir de la relación sobre $s_{n}$, junto con (2.9d)

evaluada en $\lambda =0$ se concluye:

NOTA 5 El determinante $detA$ es el producto de sus valores propios. Es decir, $detA=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}$. (2.10a)

Nuevamente la definición de determinante, el término $\lambda ^{n-1}$ aparece solamente del producto $(\lambda -a_{11})(\lambda -a_{22})\cdots (\lambda -a_{nn})$ y en este caso tiene como coeficiente el valor $-(a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn})$. Puesto que $s_{1}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}$, siguiendo (2.9d)

se tiene en función de la traza de A:

$tr(A)=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}$

(2.10b)

A partir de esta relación: sobre una matriz nilpotente sucede:

atención

'C-8 Traza de una matriz nilpotente:

Si A es nilpotente $(A^{k}=O$ para algún k), $tr(A)=0$.

Prueba

De la propiedad C-3,

$A^{k}x=\lambda ^{k}x$,

puesto que $A^{k}=O$, y como x no es vector nulo resulta $\lambda =0$. Quiere decir que tan sólo 0 es valor propio, y ya que $tr(A)=\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}$, queda $tr(A)=0$.

Espectro de una Suma y Producto de Matrices

El conjunto de todos los vectores propios asociados al mismo valor propio es denominado el espacio propio del valor $\lambda$. El conjunto de todos los valores propios de una matriz A es denominado el espectro de A y se denota $\sigma (A)$.

Para dos matrices dadas A y B, se puede responder la inquietud:

¿Si $\lambda \in \sigma (A)$ y $\alpha \in \sigma (B)$ entonces $\lambda +\alpha \in \sigma (A+B)$?, ¿Si $\lambda \in \sigma (A)$ y $\mu \in \sigma (B)$ entonces $\lambda \mu \in \sigma (AB)$?.

Al considerar dos matrices sencillas

$A=\left[{\begin{array}{lr}1&0\\0&0\end{array}}\right],\;\;B=\left[{\begin{array}{lr}0&0\\0&1\end{array}}\right]$,

se tiene que $1\in \sigma (A)$ y también $1\in \sigma (B)$ pero, $2\notin \sigma (A+B)$. Para el producto, puesto que $AB=O$ inmediatamente la respuesta a la segunda inquietud también es negativa.

Sin embargo, para una matriz muy particular, de la forma

$T=\left[{\begin{array}{lr}A&B\\O&C\end{array}}\right]$,

donde A, B, C y la matriz nula O son matrices cuadradas del mismo orden, se cumple que

$det(T-\lambda I)=det(A-\lambda I)det(C-\lambda I)$

(2.11)

ya que la presencia de ceros, al plantear todos los productos posibles en el desarrollo de $det(T-\lambda I)$ sólo quedan los que dan lugar a $det(A-\lambda I)$ simultáneamente con los que corresponden a $det(C-\lambda I)$. Con esto se cuncluye que $\sigma (T)=\sigma (A)\cup \sigma (C)$.

=====Otras consecuencias de la definición (2.6)

=

A la lista inicial de propiedades dada en la sección 1.1.3.2.1^[1], basadas exclusivamente en la definición (2.6)

sobre valor y vector propio, se agregan algunas otras teniendo en cuenta ahora el uso del determinante.

atención

'C-9 Cuando el espectro contiene el cero:

$0\in \sigma (A)$ si y solo si A es una matriz singular.

Prueba

$\Rightarrow$: Si 0 es valor propio de A, satisface $|A-0I|=0$, es decir $|A|=0$. Así, A es singular.

$\Leftarrow$: Si A es singular, $|A-0I|=|A|=0$, luego 0 es valor propio de A.

atención

'C-10' Matriz asociada a un polinomio

Si $p(y)=a_{0}+a_{1}y+a_{2}y^{2}+\ldots +a_{k}y^{k}$, es cualquier polinomio, entonces se define $p(A)$ como la matriz

$p(A)=a_{0}I+a_{1}A+a_{2}A^{2}+\ldots +a_{k}A^{k}$.

Si $(\lambda ,x)$ es un par propio para A, entonces $(p(\lambda ),x)$ es un par propio para $p(A)$.

prueba

Con la propiedad C-3, se tiene

$p(A)x=a_{0}Ix+a_{1}Ax+a_{2}A^{2}x+\ldots +a_{k}A^{k}x$, $p(A)x=a_{0}x+a_{1}\lambda x+a_{2}\lambda ^{2}x+\ldots +a_{k}\lambda ^{k}x$, $p(A)x=(a_{0}+a_{1}\lambda +a_{2}\lambda ^{2}+\ldots +a_{k}\lambda ^{k})x$,

confirmando que $p(A)x=p(\lambda )x$.

NOTA 6 Si coinciden los espectros, no significa que coinciden los polinomios característicos. Por ejemplo para las matrices $A=\left[{\begin{array}{lr}1&0\\0&0\end{array}}\right],\;\;B=\left[{\begin{array}{lr}1&0\\0&1\end{array}}\right]$, los respectivos polinomios característicos son $p(\lambda )=\lambda ^{2}-\lambda ,\;\;q(\lambda )=\lambda ^{2}-2\lambda +1$.

atención

'C-11' Valores propios de una matriz triangular y de una matriz diagonal.

Dada la matriz triangular superior

$T=\left[{\begin{array}{cccc}t_{11}&t_{12}&\cdots &t_{1n}\\0&t_{22}&\cdots &t_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &t_{nn}\end{array}}\right]$,

la matriz $T-\lambda I$, es nuevamente una matriz triangular superior con diagonal principal

$t_{11}-\lambda ,t_{22}-\lambda ,\cdots ,t_{nn}-\lambda$,

de esta manera los valores propios de la matriz triangular superior T, son justamente los elementos de su diagonal principal.

Para el caso de la matriz diagonal, siendo una matriz triangular superior, entonces sus valores propios son los elementos de la diagonal principal.

atención

'C-12 Valores propios de una matriz y su transpuesta.

Las matrices A y $A^{t}$ tienen los mismos valores propios.

Prueba

Como una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante

$|A-\lambda I|=|(A-\lambda I)^{t}|=|A^{t}-\lambda I^{t}|=|A^{t}-\lambda I|$,

luego si $\lambda \in \sigma (A)$ entonces $\lambda \in \sigma (A^{t})$, y recíprocamente.

atención

'C-13' Polinomio característico de un producto.

Considere dos n-matrices A y B, siendo la primera de ellas una matriz regular. Entonces AB y BA tienen el mismo polinomio característico.

Prueba

Reescribiendo el determinante $det(\lambda I-AB)$, junto con la propiedad D-9

$det(\lambda I-AB)=det(\lambda AA^{-1}-ABAA^{-1})=det(A(\lambda I-BA)A^{-1})=det(A)det(\lambda I-BA)det(A^{-1})$,

quedando

$det(\lambda I-AB)=det(\lambda I-BA)$,

de esa manera se obtiene el mismo polinomio característico.

Multiplicidad geométrica y algebraica

Sea $\lambda$ un valor propio de A. Entonces, la multiplicidad algebraica de $\lambda$ es el número de veces que se repite como raíz del polinómio característico. Cuando la multiplicidad algebraica es 1, $\lambda$ es llamado valor propio simple.

La multiplicidad geométrica de $\lambda$ es la dimensión del espacio nulo $N(A-\lambda I)={x\in C^{n}|(A-\lambda I)x=O}$. En otras palabras, es el número máximo de vectores propios asociados con $\lambda$, linealmente independientes.

Las dos multiplicaciones pueden ser distintas. Por ejemplo, al considerar la matriz

$A=\left[{\begin{array}{lr}0&1\\0&0\end{array}}\right]$,

su polinomio característico es $p(\lambda )=\lambda ^{2}$, con lo cual el valor propio $\lambda =0$ se repite dos veces, así su multiplicidad algebraica es 2. En cuanto a su multiplicidad geométrica, al buscar una base para el espacio nulo $N(A-0I)=N(A)$, al resolver el sistema

$A\left[{\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right]$,

resulta la ecuación $y=0$, y de esta manera las soluciones son de la forma

$\left[{\begin{array}{c}x\\0\end{array}}\right],\;x\in R$

mostrando que sólo hay un vector linealmente independiente, Es decir la multiplicidad geométrica es 1.

Para una matriz diagonal $D=diag(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})$, ya se conoce que los valores propios coinciden con los de su diagonal. Ahora, para el espacio propio asociado a uno de ellos. por ejemplo $\lambda _{k}$, la k-ésima fila de la matriz $D-\lambda _{k}I$ es nula. En consecuencia el sistema

$(D-\lambda _{k}I)X=O,\;X\in R^{n}$

tiene como solución vectores con componentes 0 salvo la k-ésima. Así la base contiene sólo un vector linealmente independiente, y con ello la multiplicidad geométrica es 1. Entonces, el espacio propio asociado a $\lambda _{k}$ es

{$X\in R^{n}|$ i-ésima componente es 1 y si $i=k$, 0 en otro caso}

Matrices Simétricas

En la sección 1.4 se planteó que una matriz ortogonal preserva longitudes y productos internos como se muestra en las relaciones (1.11a)

, (1.11b)

. A partir de ellas se obtienen conclusiones sobre valores y vectores propios.

Los valores propios de una matriz simétrica son reales

Sea A una n-matriz simétrica y $(\lambda ,x)$ un par propio; esto es

$Ax=\lambda x$.

Para establecer que el valor propio $\lambda$ es real, se sigue el desarrollo propuesto en ----. Entonces, se considera el valor propio $\lambda$ en la forma compleja

$\lambda =a+bi$, con $a,b\in R$,

con el propósito de concluir que $b=0$. Para ello se define la matriz

$B=(\lambda I-A)({\bar {\lambda }}I-A)$

la cual es una matriz real, hecho que se observa al realizar el producto

$B=|\lambda |^{2}I-(\lambda +{\bar {\lambda }})A+A^{2}$

ya que $\lambda +{\bar {\lambda }}$ es el real 2a, con lo que se suman matrices reales para dar lugar a B. Además B es matriz singular puesto que $\lambda I-A$ lo es; de esta manera existe un vector x no nulo, tal que $Bx=O\in R^{n}$. Ahora con $|\lambda |^{2}=a^{2}+b^{2}$, queda

$x^{t}Bx=x^{t}(aI-A)^{2}x+b^{2}x^{t}x$,

y siendo A simétrica también $(aI-A)^{t}=(aI-A)$, con ello

$x^{t}Bx=x^{t}(aI-A)^{t}(aI-A)x+b^{2}\|x\|^{2}$, $x^{t}Bx=\left[(aI-A)x\right]^{t}(aI-A)x+b^{2}\|x\|^{2}$, $x^{t}Bx=\|(aI-A)x\|^{2}+b^{2}\|x\|^{2}$.

y puesto que $x^{t}Bx=0$, se concluye que $b=0$; es decir, cada valor propio de la matriz simétria A es real.

Los vectores propios de una matriz simétrica asociada a distintos valores propios son ortogonales

Sean $\lambda ,\mu$ dos valores propios distintos de la matriz simétrica A, y sean x,y sus respectivos valores vectores propios. Entonces

$Ax=\lambda x,\;\;Ay=\mu y$,

de donde

$y^{t}Ax=\lambda y^{t}x,\;\;x^{t}Ay=\mu x^{t}y$,

y al tomar la transpuesta de la primera, siendo A simétrica, da $x^{t}Ay=\lambda x^{t}y$ que al relacionarla con la segunda proporciona

$\lambda x^{t}y=\mu x^{t}y,$

y puesto que $\lambda \neq \mu$ implica que $x^{t}y=0$, confirmando que los vectores propios son ortogonales.

Los valores propios de una matriz orgonal tienen valor absuoluto 1

Sea Q una n-matriz ortogonal y $(\lambda ,x)$ un par propio. Al tomar su norma en (2.6)

$\|Qx\|=|\lambda |\|x\|$,

y por (1.11a) $\|Qx\|=\|x\|$, con lo cual

$\|x\|=|\lambda |\|x\|$,

es decir $|\lambda |=1$. Así, el especto $\sigma (Q)$ está contenido en la circunferencia de centro el origen y radio 1.

Matrices Hermitianas

En la sección 1.4.2 se mencionó que una matriz A es hermitiana si $A=A^{H}$ $(A^{H}={\bar {A}}^{t})$, es decir, cuando $a_{ij}={\bar {a_{ji}}}$. También, A es una matriz anti hermitiana cuando $A=-A^{H}$, es decir, cuando $a_{ij}=-{\bar {a_{ji}}}$.

En la verificación de la naturaleza de los valores propios de una matriz hermitiana, se utilizan dos hechos sencillos:

$(AB)^{H}=B^{H}A^{H},\;\;x^{H}y\in C$.

Para el primero, $(AB)^{H}=({\bar {AB}})^{t}=({\bar {A}}{\bar {B}})^{t}={\bar {B}}^{t}{\bar {A}}^{t}=B^{H}A^{H}$. Con esto,

atención

'C-14' Si $A=A^{H}$, entonces para todo vector complejo x, el número $x^{H}Ax$ es real.

Para una prueba, a partir del complejo $x^{H}Ax$ al efectuar el desarrollo de $(x^{H}Ax)^{H}$, resulta

$(x^{H}Ax)^{H}=x^{H}A^{H}(x^{H})^{H}$, $(x^{H}Ax)^{H}=x^{H}Ax$,

con lo cual éste debe ser un real.

Cónicas Rotadas

Cónicas Rotadas

En esta sección se propone revisar en el plano, la rotación que sucede sobre una cónica, a través de los vectores propios asociados a la matriz de los coeficientes.

Se considera entonces una ecuación de la forma

$ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0$,

(3.1a)

bajo la condición

$a>0,$ y $b\neq 0$.

(3.1b)

Los vectores propios por analizar están asociados a la matríz de los coeficientes

$M=\left[{\begin{array}{cc}a&{\frac {b}{2}}\\{\frac {b}{2}}&c\end{array}}\right]$

(3.2a)

la cual es simétrica; en consecuencia sus valores propios son reales y los respectivos vectores propios son ortogonales. Su determinante

$detM={\frac {1}{4}}(4ac-b^{2})$,

(3.2b)

y al número $b^{2}-4ac$ se le denomina discriminante de la matriz M.

Valores y Vectores Propios

Los valores propios se pueden obtener de la correspondiente ecuación característica, la cual es

$4\lambda ^{2}-4(a-c)\lambda -(b^{2}-4ac)=0$,

(3.3)

y de esta surge la relación

$4(\lambda -a)^{2}=4(c-a)\lambda +4a^{2}+b^{2}-4ac$.

(3.4)

Sus raíces dan los dos valores propios (reales puesto que M es simétrica):

$\lambda _{1,2}={\frac {1}{2}}\left[(a+c)\pm {\sqrt {(a-c)^{2}+b^{2}}}\right]$,

o bien, en términos de la traza y el determinante

$\lambda _{1,2}={\frac {1}{2}}\left[(a+c)\pm {\sqrt {tr^{2}M-4detM}}\right]$.

De esta expresión junto con la condición (3.1b)

se concluye:

NOTA 1 los valores propios $\lambda _{1},\;\;\lambda _{2}$ jamás son iguales porque $b^{2}>0$.

Sea $\lambda _{1}$ el menor valor propio; este es

$\lambda _{1}={\frac {1}{2}}\left[(a+c)-{\sqrt {(a-c)^{2}+b^{2}}}\right]$.

(3.5a)

del cual resulta

$2(\lambda _{2}-a)=-\left[(a-c)+{\sqrt {(a-c)^{2}+b^{2}}}\right]$.

(3.5b)

Ahora, teniendo en cuenta que $b\neq 0$, para todo real N

$N^{2}<N^{2}+b^{2}$,

de lo cual:

NOTA 2 $(a-c)+{\sqrt {(a+c)^{2}+b^{2}}}>0$, con lo cual $2(\lambda _{1}-a)<0$. También $\lambda _{1}<a$.

Ahora, de la relación con la traza de la matriz M, se tiene

$2(\lambda _{2}-c)=-2(\lambda _{1}-a)$,

de donde $\lambda _{2}>c$.

Vector propio asociado al menor valor propio $\lambda _{1}$

De la relación (2.6)

los vectores propios X de la matriz M satisfacen

$(M-\lambda I)X=O$,

y con $X^{t}=[x,y]$, en función de las componentes

$\left[{\begin{array}{cc}a-\lambda &{\frac {b}{2}}\\{\frac {b}{2}}&c-\lambda \end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\0\end{array}}\right]$

que da lugar a un sistema de ecuación equivalentes entre sí, de tal manera que resulta

$y={\frac {2}{b}}(\lambda -a)x$ con $b\neq 0$,

para cualquier valor propio $\lambda$. Entonces al considerar el valor propio $\lambda _{1}$

$by=2(\lambda _{1}-a)x$,

obteniendo cada vector propio asociado a $\lambda _{1}$

$\left[{\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right]={\frac {1}{b}}\left[{\begin{array}{c}bx\\by\end{array}}\right]={\frac {x}{b}}\left[{\begin{array}{c}b\\2(\lambda _{1}-a)\end{array}}\right]$, para todo ${\frac {x}{b}}\neq 0$.

Tomando en particular el vector propio $v_{1}$

$v_{1}=\left[{\begin{array}{c}b\\2(\lambda _{1}-a)\end{array}}\right]$,

(3.6)

el cual por la NOTA 2, tiene segunda componente negativa.

Vector propio asociado a $\lambda _{2}$

Puesto que el segundo valor propio $\lambda _{2}$ es distinto de $\lambda _{1}$ (NOTA 1), entonces siendo M una matriz simétria el vector propio $v_{2}$ asociado a $\lambda _{2}$ es ortogonal a $v_{1}$.Así, se propone rotar $90^{o}$ en el sentido antihorario el vector $v_{1}$ quedando

$v_{2}=\left[{\begin{array}{c}-2(\lambda _{1}-a)\\b\end{array}}\right]$,

(3.7)

y por la NOTA 2, la primera componente es positiva. También $\|v_{1}\|=\|v_{2}\|$.

Siendo el propósito describir la rotación de la cónica, el ángulo correspondiente oscilará en el intervalo $\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)$, se elige el par de vectores propios siguiente:

${\begin{cases}v_{1},\;\;v_{2}&{\text{cuando }}b>0{\text{ (rotacion negativa)}},\\-v_{1},\;\;-v_{2}&{\text{cuando }}b<0{\text{ (rotacion positiva)}},\end{cases}}$

(3.8)

Obsérvese que, de acuerdo a los signos de las componentes ya analizados, en el primer caso $v_{1}$ está en el cuarto cuadrante del plano cartesiando, $v_{2}$ está en el primer cuadrante y, en el segundo caso, los vectores están en el primero y segundo cuadrante respectivamente.

Ángulo de rotación

Dados los vectores ${\vec {A}},\;\;{\vec {B}}$ su producto punto satisface

${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=\|{\vec {A}}\|\|{\vec {B}}\|\cos \theta$

siendo $\theta \in [0,\pi ]$ el ángulo formado por ellos. Entonces si ${\vec {A}}=\langle 1,0\rangle$ (en la dirección positiva del eje X), al tomar ${\vec {B}}=v_{1}$ y al reemplazar

$b=\|v_{1}\|\cos \theta$,

el ángulo de rotación $\phi \in \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)$ queda definido por

${\begin{cases}\phi =-\arccos \left({\frac {b}{\|v_{1}\|}}\right),&b>0\\\phi =\pi -\arccos \left({\frac {b}{\|v_{1}\|}}\right),&b<0\end{cases}}$

(3.9)

Entonces, en el primer caso se presenta una rotación negativa y en el segundo, cuanbo $b<0$, la rotación es positiva.

Cambio de Coordenadas

Antes de proceder a realizar un cambio de coordenadas, se revisan las opciones de signos de los valores propios.

Sobre los signos de los valores propios de la matria M

Se plantea la pregunta:

¿Es posible que $\lambda _{1}<0,\;\;\lambda _{2}<0$?

Supóngase que ambos valores propios son negativas; en tal caso $trM<0$, es decir que $a+c<0$ y siendo $a>0$ entonces $c<0$. Con lo cual el determinante sería

$detM=ac-{\frac {b^{2}}{4}}<0$,

NOTA 3 Sólo el valor propio $\lambda _{1}$ puede ser negativo.

Ahora, ¿es posible que el valor propio $\lambda _{2}$ sea nulo? En tal caso, el determinante $detM=0$ muestra que $ac={\tfrac {b^{2}}{4}}$ y, del hecho

$\lambda _{2}={\frac {1}{2}}\left[(a+c)+{\sqrt {(a-c)^{2}+b^{2}}}\right]$

se tendría $a+c<0$, de lo cual $a<0$, contradiciendo la condición (3.1b)

. Así, se tiene

NOTA 4 El mayor valor propio $\lambda _{2}$ nunca se anula.

De la relación de los valores propios con la traza se puede decir:

NOTA 5 Si $trM<0$ y el valor propio $\lambda _{1}<0$, entonces $0<\lambda _{2}<-\lambda _{1}$.

Teniendo en cuenta que el valor propio $\lambda _{1}$ es el más pequeño se tiene:

NOTA 6 Si $\lambda _{1}>0$, entonces $trM>0$ y $detM>0$.

Matriz de rotación P

La determinación de los vectores propios $v_{1},\;\;v_{2}$ permite replantear la ecuación cartesiana (3.1a)

en función de otras variables, con el fin de facilitar la identificación de la cónica que está describiendo. Así, se proponen las variables $u,\;v$ y se define la transformación

$\left[{\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right]=P\left[{\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right]$

(3.10a)

siendo P la matriz de orden 2, formada por los vectores propios normalizados

$P=\left[{\begin{array}{lr}{\frac {1}{\|v_{1}\|}}v_{1}&{\frac {1}{\|v_{2}\|}}v_{2}\end{array}}\right]$,

y por (3.6)

y (3.8)

se tiene $\|v_{1}\|=\|v_{2}\|$, con lo cual

$P={\frac {1}{\|v_{1}\|}}\left[{\begin{array}{lr}v_{1}&v_{2}\end{array}}\right]$.

Matriz de rotación negativa

para el caso $b>0$,

$P_{1}={\frac {1}{\|v_{1}\|\left[{\begin{array}{lr}v_{1}&v_{2}\end{array}}\right]}}$.

(3.10b)

teniendo presente (3.6)

y (3.7)

.

Matriz de rotación positiva

Para el caso $b<0$, según (3.8)

$P_{2}=-{\frac {1}{\|v_{1}\|}}\left[{\begin{array}{lr}v_{1}&v_{2}\end{array}}\right]$.

(3.10c)

En ambos casos se tiene en cuenta el resultado $P^{t}MP=\left[{\begin{array}{cc}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{array}}\right]$ (ver teoría), y al realizar la sustitución

$\left[{\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right]=P\left[{\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right]$

en la ecuación de segundo grado dada al comienzo, escrita en la forma

$\left[{\begin{array}{lr}x&y\end{array}}\right]M\left[{\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right]+f=0$

se simplifica inicialmente en

$\left[{\begin{array}{lr}u&v\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{lr}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]P\left[{\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right]+f=0$,

y al desarrollar el primer producto

$\lambda _{1}u^{2}+\lambda _{2}v^{2}+\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]P\left[{\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right]+f=0$

(3.11)

Está por resolver el producto $\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]P\left[{\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right]$ que contiene las coordenadas del centro de la cónica; se anulan cuando los coeficientes d y e son cero. Obsérvese que esta ecuación carece del término uv, indicando que la cónica correspondiente está en su forma normal.

Caso $b>0$ (rotación negativa)

$\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]P_{1}\left[{\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right]={\frac {1}{\|v_{1}\|}}\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{lr}v_{1}&v_{2}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right]$,

obteniendo

$\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]P_{1}\left[{\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right]={\frac {1}{\|v_{1}\|}}\left\{\left(\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}\right)u+\left(\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}\right)v\right\}$

(3.12)

y al reemplazarlo en la ecuación (3.11)

$\lambda _{1}u^{2}+{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}{\|v_{1}\|}}u+\lambda _{2}v^{2}+{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}}{\|v_{1}\|}}v+f=0$

(3.13)

Se procede a completar cuadrados:

CASO 1 $detM\neq 0$.

Siendo cada valor propio distindo de 0, la expresión (3.13)

queda

$\lambda _{1}\left(u+{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}{2\lambda _{2}\|v_{1}\|}}\right)^{2}+\lambda _{2}\left(v+{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}{2\lambda _{2}\|v_{2}\|}}\right)^{2}=T_{1}-f$

(3.14a)

donde

$T_{1}={\frac {1}{4\|v_{1}\|^{2}}}\left[{\frac {\left(\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}\right)^{2}}{\lambda _{1}}}+{\frac {\left(\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]\right)^{2}}{\lambda 2}}\right]$.

(3.14b)

Entonces, la ecuación (3.14a)

representa:

${\begin{cases}{\text{Una elipse,}}&si\;\;\lambda _{1}>0\;\;y\;\;T_{1}>f,\\{\text{Una hipérbola,}}&si\;\;\lambda _{1}<0\;\;y\;\;T_{1}\neq f,\\{\text{Dos rectas coincidentes,}}&si\;\;\lambda _{1}<0\;\;y\;\;T_{1}=f,\\{\text{Un punto,}}&si\;\;\lambda _{1}>0\;\;y\;\;T_{1}=f,\\{\text{Ningún punto,}}&si\;\;\lambda _{1}>0\;\;y\;\;T_{1}<f.\end{cases}}$

En los dos primeros casos, los centros están en

$(h,k)=\left({\frac {-\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}{2\lambda _{1}\|v_{1}\|}},{\frac {-\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}{2\lambda _{2}\|v_{1}\|}}\right)$.

(3.14c)

Las rectas coincidentes tienen ecuaciones

$v+{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}}{2\lambda _{2}\|v_{1}\|}}=\pm {\sqrt {\frac {-\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}}\left(u+{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}{2\lambda _{1}\|v_{1}\|}}\right)$

(3.15)

CASO 2 $detM=0$.

Por la NOTA 4, se presenta como única opción: $\lambda _{1}=0\;\;(\lambda _{2}>0)$. Así, de la ecuación (3.13)

queda

${\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}{\|v_{1}\|}}u+\lambda _{2}\left(v+{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}}{2\lambda _{2}\|v_{1}\|}}\right)^{2}=T_{2}-f$

(3.16a)

con

$T_{2}={\frac {\left(\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}\right)^{2}}{4\lambda _{2}\|v_{1}\|^{2}}}$,

(3.16b)

que representa

Una parábola, si $\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}\neq 0$,

con eje de simetría paralelo al eje y y vértice en el punto

$\left({\frac {\|v_{1}\|}{\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}}(T_{2}-f),{\frac {-\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}}{2\lambda _{2}\|v_{1}\|}}\right)$,

(3.16c)

Puede tenerse también

Dos rectas paralelas, si $\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}=0\;\;y\;\;T_{2}-f>0$,

con ecuaciones

$v={\frac {-\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}}{2\lambda _{2}\|v_{1}\|}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{\lambda _{2}}}(T_{2}-f)}}$.

(3.16d)

La ecuación (3.16a)

puede representar

Una recta, si $\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}=0\;\;y\;\;T_{2}-f=0$,

Por último, puede representar

Ningún punto, si $\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}=0\;\;y\;\;T_{2}-f<0$.

Caso b<0 (rotación positiva)

Ya que la matriz a considerar $P_{2}$ difiere de la anterior $P_{1}$ en el signo, los desarrollos y resultados presentados en la sección anterior son similares. De esta manera

$\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]P_{2}\left[{\begin{array}{c}u\\v\end{array}}\right]={\frac {-1}{\|v_{1}\|}}\left\{\left(\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}\right)u+\left(\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}\right)v\right\}$

(3.17)

al reemplazarlo en (3.11)

produce una ecuación ligeramente dintinta de (3.12)

$\lambda _{1}u^{2}-{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}{\|v_{1}\|}}u+\lambda _{2}v^{2}-{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}}{\|v_{1}\|}}v+f=0$

(3.18)

lo cual indica que se obtienen los resultados de la sección 3.2.3, con una diferencia:

las coordenadas del centro en el caso de la elipse y de la hipérbola, así como en el vértice para el caso de la parábola son los opuestos aditivos.

CASO 1 $detM\neq 0$.

Siendo cada valor propio distinto de 0, la expresión (3.18)

queda

$\lambda _{1}\left(u-{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}{2\lambda _{1}\|v_{1}\|}}\right)^{2}+\lambda _{2}\left(v-{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}}{2\lambda _{2}\|v_{1}\|}}\right)^{2}=T_{1}-f$

(3.19a)

donde

$T_{1}={\frac {1}{4\|v_{1}\|^{2}}}\left[{\frac {\left(\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}\right)^{2}}{\lambda _{1}}}+{\frac {\left(\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}\right)^{2}}{\lambda _{2}}}\right]$,

(3.19b)

tal como el de (3.14b)

De esta manera, la ecuación (3.19a)

representa:

${\begin{cases}{\text{Una elipse,}}&si\;\;\lambda _{1}>0\;\;y\;\;T_{1}>f,\\{\text{Una hipérbola,}}&si\;\;\lambda _{1}<0\;\;y\;\;T_{1}\neq f,\\{\text{Dos rectas coincidentes,}}&si\;\;\lambda _{1}<0\;\;y\;\;T_{1}=f,\\{\text{Un punto,}}&si\;\;\lambda _{1}>0\;\;y\;\;T_{1}=f,\\{\text{Ningún punto,}}&si\;\;\lambda _{1}>0\;\;y\;\;T_{1}<f.\end{cases}}$

En los dos primeros casos sus centros están en

$(h,k)=\left({\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}{2\lambda _{1}\|v_{1}\|}},{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}{2\lambda _{2}\|v_{1}\|}}\right)$.

(3.19c)

Las rectas coincidentes tienen ecuaciones

$v-{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}}{2\lambda _{2}\|v_{1}\|}}=\pm {\sqrt {\frac {-\lambda _{1}}{\lambda _{2}}}}\left(u-{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}{2\lambda _{1}\|v_{1}\|}}\right)$

(3.20)

El caso del punto, sus coordenadas están dadas por (h,k).

CASO 2 $detM=0$.

Nuevamente, como en el baso b>0, por la Nota 4, se tiene la única opción: $\lambda _{1}=0\;(\lambda _{2}>0)$. De la ecuación (3.18)

queda

${\frac {-\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}{\|v_{1}\|}}u+\lambda _{2}\left(v-{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}}{2\lambda _{2}\|v_{1}\|}}\right)^{2}=T_{2}-f$

(3.21a)

con $T_{2}$ dado por (3.16b)

, la cual representa

Una parábola, si $\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}\neq 0$,

con eje de simetría paralelo al eje u y vértice en el punto

$\left({\frac {-\|v_{1}\|}{\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}}}(T_{2}-f),{\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}}{2\lambda _{2}\|v_{1}\|}}\right)$,

(3.21b)

Puede tenerse también

Dos rectas paralelas, si $\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}=0\;\;y\;\;T_{2}-f>0$,

con ecuaciones

$v={\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}}{2\lambda _{2}\|v_{1}\|}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{\lambda _{2}}}(T_{2}-f)}}$.

(3.21c)

y tal como (3.21a)

puede representar

Una recta, si $\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}=0\;\;y\;\;T_{2}-f=0$,

con ecuación

$v={\frac {\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{2}}{2\lambda _{2}\|v_{1}\|}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{\lambda _{2}}}(T_{2}-f)}}$

(3.21d)

paralela al eje u. Por último, puede suceder que (3.21a)

represente

Ningún punto, si $\left[{\begin{array}{lr}d&e\end{array}}\right]v_{1}=0\;\;y\;\;T_{2}-f<0$.