Geometría Analítica con Matlab/Cónicas Rotadas

Cónicas Rotadas

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En esta sección se propone revisar en el plano, la rotación que sucede sobre una cónica, a través de los vectores propios asociados a la matriz de los coeficientes.

Se considera entonces una ecuación de la forma

 , (3.1a


bajo la condición

  y  . (3.1b


Los vectores propios por analizar están asociados a la matríz de los coeficientes

  (3.2a


la cual es simétrica; en consecuencia sus valores propios son reales y los respectivos vectores propios son ortogonales. Su determinante

 , (3.2b


y al número   se le denomina discriminante de la matriz M.

Valores y Vectores Propios

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Los valores propios se pueden obtener de la correspondiente ecuación característica, la cual es

 , (3.3


y de esta surge la relación

 . (3.4


Sus raíces dan los dos valores propios (reales puesto que M es simétrica):

 ,


o bien, en términos de la traza y el determinante

 .


De esta expresión junto con la condición (3.1b)

se concluye:
NOTA 1 los valores propios   jamás son iguales porque  .

Sea   el menor valor propio; este es

 . (3.5a


del cual resulta

 . (3.5b


Ahora, teniendo en cuenta que  , para todo real N

 ,


de lo cual:

NOTA 2  , con lo cual  . También  .

Ahora, de la relación con la traza de la matriz M, se tiene

 ,


de donde  .

Vector propio asociado al menor valor propio  
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De la relación (2.6)

los vectores propios X de la matriz M satisfacen
 ,


y con  , en función de las componentes

 


que da lugar a un sistema de ecuación equivalentes entre sí, de tal manera que resulta

  con  ,


para cualquier valor propio  . Entonces al considerar el valor propio  

 ,


obteniendo cada vector propio asociado a  

 , para todo  .


Tomando en particular el vector propio  

 , (3.6


el cual por la NOTA 2, tiene segunda componente negativa.

Vector propio asociado a  
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Puesto que el segundo valor propio   es distinto de   (NOTA 1), entonces siendo M una matriz simétria el vector propio   asociado a   es ortogonal a  .Así, se propone rotar   en el sentido antihorario el vector   quedando

 , (3.7


y por la NOTA 2, la primera componente es positiva. También  .

Siendo el propósito describir la rotación de la cónica, el ángulo correspondiente oscilará en el intervalo  , se elige el par de vectores propios siguiente:

  (3.8


Obsérvese que, de acuerdo a los signos de las componentes ya analizados, en el primer caso   está en el cuarto cuadrante del plano cartesiando,   está en el primer cuadrante y, en el segundo caso, los vectores están en el primero y segundo cuadrante respectivamente.

Ángulo de rotación
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Dados los vectores   su producto punto satisface

 


siendo   el ángulo formado por ellos. Entonces si   (en la dirección positiva del eje X), al tomar   y al reemplazar

 ,


el ángulo de rotación   queda definido por

  (3.9


Entonces, en el primer caso se presenta una rotación negativa y en el segundo, cuanbo  , la rotación es positiva.

Cambio de Coordenadas

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Antes de proceder a realizar un cambio de coordenadas, se revisan las opciones de signos de los valores propios.

Sobre los signos de los valores propios de la matria M
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Se plantea la pregunta:

¿Es posible que  ?

Supóngase que ambos valores propios son negativas; en tal caso  , es decir que   y siendo   entonces  . Con lo cual el determinante sería

 ,


NOTA 3 Sólo el valor propio   puede ser negativo.

Ahora, ¿es posible que el valor propio   sea nulo? En tal caso, el determinante   muestra que   y, del hecho

 


se tendría  , de lo cual  , contradiciendo la condición (3.1b)

. Así, se tiene

NOTA 4 El mayor valor propio   nunca se anula.

De la relación de los valores propios con la traza se puede decir:

NOTA 5 Si   y el valor propio  , entonces  .

Teniendo en cuenta que el valor propio   es el más pequeño se tiene:

NOTA 6 Si  , entonces   y  .
Matriz de rotación P
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La determinación de los vectores propios   permite replantear la ecuación cartesiana (3.1a)

en función de otras variables, con el fin de facilitar la identificación de la cónica que está describiendo. Así, se proponen las variables   y se define la transformación
  (3.10a


siendo P la matriz de orden 2, formada por los vectores propios normalizados

 ,


y por (3.6)

y (3.8)
se tiene  , con lo cual
 .


Matriz de rotación negativa

para el caso  ,

 . (3.10b


teniendo presente (3.6)

y (3.7)

.

Matriz de rotación positiva

Para el caso  , según (3.8)


 . (3.10c


En ambos casos se tiene en cuenta el resultado   (ver teoría), y al realizar la sustitución

 


en la ecuación de segundo grado dada al comienzo, escrita en la forma

 


se simplifica inicialmente en

 ,


y al desarrollar el primer producto

  (3.11


Está por resolver el producto   que contiene las coordenadas del centro de la cónica; se anulan cuando los coeficientes d y e son cero. Obsérvese que esta ecuación carece del término uv, indicando que la cónica correspondiente está en su forma normal.

Caso   (rotación negativa)
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 ,


obteniendo

  (3.12


y al reemplazarlo en la ecuación (3.11)


 

(3.13

Se procede a completar cuadrados:

CASO 1  .

Siendo cada valor propio distindo de 0, la expresión (3.13)

queda
  (3.14a


donde

 . (3.14b


Entonces, la ecuación (3.14a)

representa:
 


En los dos primeros casos, los centros están en

 . (3.14c


Las rectas coincidentes tienen ecuaciones

  (3.15


CASO 2  .

Por la NOTA 4, se presenta como única opción:  . Así, de la ecuación (3.13)

queda
  (3.16a


con

 , (3.16b


que representa

Una parábola, si  ,

con eje de simetría paralelo al eje y y vértice en el punto

 , (3.16c


Puede tenerse también

Dos rectas paralelas, si  ,

con ecuaciones

 . (3.16d


La ecuación (3.16a)

puede representar

Una recta, si  ,

Por último, puede representar

Ningún punto, si  .

Caso b<0 (rotación positiva)
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Ya que la matriz a considerar   difiere de la anterior   en el signo, los desarrollos y resultados presentados en la sección anterior son similares. De esta manera

  (3.17


al reemplazarlo en (3.11)

produce una ecuación ligeramente dintinta de (3.12)

 

(3.18

lo cual indica que se obtienen los resultados de la sección 3.2.3, con una diferencia:

las coordenadas del centro en el caso de la elipse y de la hipérbola, así como en el vértice para el caso de la parábola son los opuestos aditivos.
CASO 1  .

Siendo cada valor propio distinto de 0, la expresión (3.18)

queda
  (3.19a


donde

 , (3.19b


tal como el de (3.14b)


De esta manera, la ecuación (3.19a)

representa:
 


En los dos primeros casos sus centros están en

 . (3.19c


Las rectas coincidentes tienen ecuaciones

  (3.20


El caso del punto, sus coordenadas están dadas por (h,k).

CASO 2  .

Nuevamente, como en el baso b>0, por la Nota 4, se tiene la única opción:  . De la ecuación (3.18)

queda
  (3.21a


con   dado por (3.16b)

, la cual representa

Una parábola, si  ,

con eje de simetría paralelo al eje u y vértice en el punto

 , (3.21b


Puede tenerse también

Dos rectas paralelas, si  ,

con ecuaciones

 . (3.21c


y tal como (3.21a)

puede representar

Una recta, si  ,

con ecuación

  (3.21d


paralela al eje u. Por último, puede suceder que (3.21a)

represente

Ningún punto, si  .