Matemáticas/Geometría Analítica/Tridimensional/Coordenadas Cilíndricas

El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o azimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana.

Un punto $P$ en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ,$z$), donde:

• ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto $P$ al eje $z$, o bien la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano $XY$
• φ: Coordenada azimutal, definida como el ángulo que forma con el eje $X$ la proyección del radiovector sobre el plano $XY$.
• $z$: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano $XY$.

Los rangos de variación de las tres coordenadas son

$0\leq \rho <\infty \qquad 0\leq \varphi <2\pi \qquad -\infty <z<\infty$

La coordenada azimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes.

Relación con otros sistemas de coordenadas

Relación con las coordenadas cartesianas

Coordenadas cilíndricas y ejes cartesianos relacionados.

Teniendo en cuenta la definición del ángulo φ, obtenemos las siguientes relaciones entre las coordenadas cilíndricas y las cartesianas:

$x=\rho \cos \varphi ,\qquad y=\rho \sin \varphi ,\qquad z=z$

Líneas y superficies coordenadas

Las líneas coordenadas son aquéllas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas cilíndricas, éstas son:

• Líneas coordenadas ρ: Semirrectas horizontales partiendo del eje $Z$.
• Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales.
• Líneas coordenadas $z$: Rectas verticales.

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

• Superficies ρ=cte.: Cilindros rectos verticales.
• Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales.
• Superficies $z$=cte.: Planos horizontales.

Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.