Geometría Analítica/Parábola/Ecuaciones de la parábola

Parábolas tipo y = ax2, con a = 4, 1, 1/4 y 1/10.

Parabolas con vértice en el origenEditar

Estudiaremos la ecuación de la parábola para los 4 casos en que su vértice esté en el origen (coordenadas (0, 0) del Plano Cartesiano) , y según esto, tenemos cuatro posibilidades de ecuación y cada una es característica.

Para iniciar nuestra explicación empezaremos con la parábola cuyo vértice está en el origen, su eje focal o de simetría coincide con el eje de las X (abscisas) y que está orientada (se abre) hacia la derecha.

 
Análisis de una Parábola para su ecuación

De lo anterior resulta:

PQ = PF (trazo PD igual al trazo PF)

El trazo PD nace en el punto (x, y) y termina en el punto (–p, y) y podemos usar la fórmula para calcular distancia entre dos puntos :

PQ =  

PQ =  

El trazo PF nace en el punto (x, y) y termina en el punto (p, 0) , y también podemos usar la fórmula para calcular la distancia entre ellos:

PF =  

PF =  

Sustituyendo en la expresión de las distancias resulta:

  =  

Elevando ambos miembros de la ecuación al cuadrado y desarrollando, se tiene:

  =  

  =  

  =  

Simplificando términos semejantes y reordenando la expresión, se obtiene:

 

 

que es ecuación de la parábola en su forma ordinaria o canónica .

Esta ecuación tiene leves variaciones según sea la orientación de la parábola (hacia donde se abre).

Segunda posibilidad

Cuando la parábola se abre hacia la izquierda (sentido negativo) del eje de las abscisas “X”.

Ecuación de la parábola  

Ecuación de la directriz  

Tercera posibilidad

Cuando la parábola se abre hacia arriba (sentido positivo) en el eje de las ordenadas “Y” .

Ecuación de la parábola  

Ecuación de la directriz  

Cuarta posibilidad

Cuando la parábola se abre hacia abajo (sentido negativo) en el eje de las ordenadas “Y”.

Ecuación de la parábola  

Ecuación de la directriz  

Ecuaciones de las coordenadasEditar

Vértice:  

Focos:

  • Derecha  
  • Izquierda  
  • Arriba  
  • Abajo  

Línea Recta:

  • Derecha  
  • Izquierda  
  • Arriba  
  • Abajo  

Parábolas con vértice fuera del origenEditar

Ecuación involucrando la distancia focalEditar

Por definición, sabemos que, en una parábola la distancia entre un punto “P” (no confundir con el “parámetro p” ), cualquiera de coordenadas (x, y), y el foco “F” será igual a la distancia entre la directriz (D) y dicho punto, como vemos en la figura:

 
Ecuación de una parábola vertical.

Cuando comenzamos a proyectar una parábola pero su vértice es distinto de cero se considera que hay traslación de ejes.

 
Traslación de Ejes de la parábola

 

La ecuación de una parábola con vértice en (h,k) y foco en (h,k + p) es  .

La ecuación de una parábola con vértice en (h,k) y foco en (h,k - p) es  .

La ecuación de una parábola con vértice en (h,k) y foco en (h + p,k) es  .

La ecuación de una parábola con vértice en (h,k) y foco en (h- p,k) es  .

Ecuaciones de las coordenadasEditar

Vértice:  

Focos:

  • Derecha  
  • Izquierda  
  • Arriba  
  • Abajo  

Línea Recta:

  • Derecha  
  • Izquierda  
  • Arriba  
  • Abajo  

Ecuación general de una parábolaEditar

La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es:

 

si y solo si

 

y los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente nulos.

Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar un sistema de referencia en el que la ecuación anterior se exprese mediante una fórmula algebraica de la forma ax2 + bx’ + c = 0, donde a es distinto de cero.