Matemáticas/Geometría Analítica/Parábola/Ecuaciones de la parábola

Parabolas con vértice en el origen

Estudiaremos la ecuación de la parábola para los 4 casos en que su vértice esté en el origen (coordenadas (0, 0) del Plano Cartesiano) , y según esto, tenemos cuatro posibilidades de ecuación y cada una es característica.

Para iniciar nuestra explicación empezaremos con la parábola cuyo vértice está en el origen, su eje focal o de simetría coincide con el eje de las X (abscisas) y que está orientada (se abre) hacia la derecha.

Análisis de una Parábola para su ecuación

De lo anterior resulta:

PQ = PF (trazo PD igual al trazo PF)

El trazo PD nace en el punto (x, y) y termina en el punto (–p, y) y podemos usar la fórmula para calcular distancia entre dos puntos :

PQ = ${\sqrt {(x-(-p))^{2}+(y-y)^{2}}}$

PQ = ${\sqrt {(x+p)^{2}}}$

El trazo PF nace en el punto (x, y) y termina en el punto (p, 0) , y también podemos usar la fórmula para calcular la distancia entre ellos:

PF = ${\sqrt {(x-p)^{2}+(y-0)^{2}}}$

PF = ${\sqrt {(x-p)^{2}+y^{2}}}$

Sustituyendo en la expresión de las distancias resulta:

${\sqrt {(x+p)^{2}+(x-y)^{3}}}$ = ${\sqrt {(x-p)^{2}+y^{2}}}$

Elevando ambos miembros de la ecuación al cuadrado y desarrollando, se tiene:

$(x+p)^{2}$ = $(x-p)^{2}+y^{2}$

$x^{2}+2px+p^{2}$ = $x^{2}-2px+p^{2}+y^{2}$

$x^{2}+2px+p^{2}-x^{2}+2px-p^{2}$ = $y^{2}$

Simplificando términos semejantes y reordenando la expresión, se obtiene:

$y^{2}=4px$

$x+p=0$

que es ecuación de la parábola en su forma ordinaria o canónica .

Esta ecuación tiene leves variaciones según sea la orientación de la parábola (hacia donde se abre).

Segunda posibilidad

Cuando la parábola se abre hacia la izquierda (sentido negativo) del eje de las abscisas “X”.

Ecuación de la parábola $y^{2}=-4px$

Ecuación de la directriz $x-p=0$

Tercera posibilidad

Cuando la parábola se abre hacia arriba (sentido positivo) en el eje de las ordenadas “Y” .

Ecuación de la parábola $x^{2}=4py$

Ecuación de la directriz $y+p=0$

Cuarta posibilidad

Cuando la parábola se abre hacia abajo (sentido negativo) en el eje de las ordenadas “Y”.

Ecuación de la parábola $x^{2}=-4py$

Ecuación de la directriz $y-p=0$

Ecuaciones de las coordenadas

Vértice: $(h,k)=0,0$

Focos:

Derecha $(p,0)$
Izquierda $(-p,0)$
Arriba $(0,p)$
Abajo $(0,-p)$

Línea Recta:

Derecha $L(p,2p),R(p,-2p)$
Izquierda $L(-p,2p),R(-p,-2p)$
Arriba $L(2p,p),R(-2p,p)$
Abajo $L(-2p,-p),R(2p,-p)$

Parábolas con vértice fuera del origen

Ecuación involucrando la distancia focal

Por definición, sabemos que, en una parábola la distancia entre un punto “P” (no confundir con el “parámetro p” ), cualquiera de coordenadas (x, y), y el foco “F” será igual a la distancia entre la directriz (D) y dicho punto, como vemos en la figura:

Ecuación de una parábola vertical.

Cuando comenzamos a proyectar una parábola pero su vértice es distinto de cero se considera que hay traslación de ejes.

Traslación de Ejes de la parábola

$x'=x-h,y'=y-k$

La ecuación de una parábola con vértice en (h,k) y foco en (h,k + p) es $\,(x-h)^{2}=4p(y-k)$ .

La ecuación de una parábola con vértice en (h,k) y foco en (h,k - p) es $\,(x-h)^{2}=-4p(y-k)$ .

La ecuación de una parábola con vértice en (h,k) y foco en (h + p,k) es $\,(y-k)^{2}=4p(x-h)$ .

La ecuación de una parábola con vértice en (h,k) y foco en (h- p,k) es $\,(y-k)^{2}=-4p(x-h)$ .

Ecuaciones de las coordenadas

Vértice: $(x-h,y-k)$

Focos:

Derecha $(h+p,k)$
Izquierda $(h-p,k)$
Arriba $(h,k+p)$
Abajo $(h,k-p)$

Línea Recta:

Derecha $L(h+p,k+2p),R(h+p,k-2p)$
Izquierda $L(h-p,k+2p),R(h-p,k-2p)$
Arriba $L(h+2p,k+p),R(h-2p,k+p)$
Abajo $L(h-2p,k-p),R(h+2p,k-p)$

Ecuación general de una parábola

La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es:

\,ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0

si y solo si

\,b^{2}-4ac=0

y los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente nulos.

Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar un sistema de referencia en el que la ecuación anterior se exprese mediante una fórmula algebraica de la forma ax’² + bx’ + c = 0, donde a es distinto de cero.