Matemáticas/Geometría Analítica/Circunferencia/Ecuaciones de la circunferencia
Ecuación en coordenadas cartesianas
editarEn un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
- .
Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica a
- .
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
De la ecuación general de una circunferencia se deduce que:
resultando:
Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: , la ecuación de la circunferencia es:
Ecuación vectorial de la circunferencia
editarEn el espacio vectorial R2, la circunferencia con centro en el origen y radio R, viene dada por la ecuación vectorial:
- ,
donde es el parámetro de la curva, además cabe destacar que . Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que la componente x y la componente y, al cuadrado y sumadas deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio vectorial R3 esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro z libre.
De manera más general, si c es un punto fijo, x un punto variable cualquiera (ambos de R2) y r un real positivo, la ecuación vectorial
representa una circunferencia de centro c y radio r.[1] La doble barra vertical representa la norma vectorial; en este caso corresponde a la distancia euclidiana constante de valor r.
Ecuación en coordenadas polares
editarCuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto y el radio es , la ecuación se transforma en:
Ecuación paramétrica de la circunferencia
editarLa circunferencia con centro en (a, b) y radio r se parametriza con funciones trigonométricas como:
donde t es el parámetro, que varía en el rango indicado. También se puede parametrizar con funciones funciones racionales como
donde t no solo recorre todos los valores reales, sino también un punto en el infinito.[2]
Ecuación en el plano complejo
editarEn el plano complejo, una circunferencia con centro c y radio (r) tiene como ecuación . En forma paramétrica puede ser escrita como .