Geometría Analítica/Circunferencia/Ecuaciones de la circunferencia

Ecuación en coordenadas cartesianasEditar

 
circunferencia de radio dos en un sistema de coordenadas

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación

 .

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica a

 .

La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.

De la ecuación general de una circunferencia se deduce que:

 

resultando:

 
 
 

Si conocemos los puntos extremos de un diámetro:  , la ecuación de la circunferencia es:

 

Ecuación vectorial de la circunferenciaEditar

En el espacio vectorial R2, la circunferencia con centro en el origen y radio R, viene dada por la ecuación vectorial:

 ,

donde   es el parámetro de la curva, además cabe destacar que  . Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que la componente x y la componente y, al cuadrado y sumadas deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio vectorial R3 esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro z libre.

De manera más general, si c es un punto fijo, x un punto variable cualquiera (ambos de R2) y r un real positivo, la ecuación vectorial

 

representa una circunferencia de centro c y radio r.[1] La doble barra vertical representa la norma vectorial; en este caso corresponde a la distancia euclidiana constante de valor r.

Ecuación en coordenadas polaresEditar

Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como  

 

Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto   y el radio es  , la ecuación se transforma en:

 

Ecuación paramétrica de la circunferenciaEditar

La circunferencia con centro en (a, b) y radio r se parametriza con funciones trigonométricas como:

 

donde t es el parámetro, que varía en el rango indicado. También se puede parametrizar con funciones funciones racionales como

 

donde t no solo recorre todos los valores reales, sino también un punto en el infinito.[2]

Ecuación en el plano complejoEditar

En el plano complejo, una circunferencia con centro c y radio (r) tiene como ecuación  . En forma paramétrica puede ser escrita como  .

  1. Haaser, La Salle, Sulivan: Análisis Matemático I
  2. Consúltese para el caso en Geometría analítica de Pastor, Santaló y Balanzat, pág. 76