Fundamentos de la Matemática/Texto completo

Esta es la versión para imprimir de Fundamentos de la Matemática.
  • Si imprimes esta página, o eliges la opción de Vista preliminar de impresión de tu navegador, verás que desaparecen este cuadro y los elementos de navegación de arriba y de la izquierda, pues no son útiles en una versión impresa.
  • Pulsando antes en Refrescar esta página te asegurarás de obtener los últimos cambios del libro antes de imprimirlo.
  • Para más información, puedes ver Wikilibros:Versión para imprimir.


Fundamentos de la Matemática editar

Los fundamentos de las matemáticas[1][2][3], independientemente de las divisiones y subdivisiones de esta materia, e independientemente de la evolución histórica que ha tenido, se fundamenta claramente en la intuición, definiendo intuición como la capacidad para entender conceptos.

El concepto más básico en matemáticas es el concepto de conjunto[4][5], y entendido este concepto, es la relación y particularmente la relación binaria, lo que define la base de las matemáticas, las matemáticas no tiene que hablar de números necesariamente, si bien los números son una parte importante.

Referencias editar

  1. Restrepo Sierra, Guillermo (2003) (en español). Fundamentos de las matemáticas. Universidad del Valle. ISBN 958-670-215-4. 
  2. Gladys Aponte (1998) (en español). Fundamentos De Matematicas Basicas. Pearson Educación. 
  3. Juan Manuel Silva; Adriana Lazo (2005) (en español). Fundamentos De Matematicas (6 edición). Editorial Limusa. ISBN 968-18-5095-5. 
  4. Georg Cantor (2005) (en español). Fundamentos para una teoría general de conjuntos. Grupo Planeta. ISBN 84-8432-695-0. 
  5. Ralph P. Grimaldi (1998). «3» (en español). Matemáticas discretas y combinatoria. Pearson Educación. p. 43. ISBN 968-444-324-2. 

Teoría intuitiva de conjuntos editar

La teoría intuitiva de conjuntos, se basa en la capacidad intuitiva, innata, para poder entender esta parte de las matemáticas, según unos conceptos básicos sin una base teórica previa. La teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor[1] [2] entre otros autores, aquí no plantearemos teoría de ningún tipo, sino conceptos intuitivos.

Definiciones editar

 

Que es un conjunto: un conjunto es una agrupación de elementos hecho con cualquier criterio, por ejemplo: las cosas que hay encima de una mesa en un momento dado, los coches de una ciudad, las letras del alfabeto, las piezas de un motor, etc. son conjuntos.

Los conjuntos suelen representarse con letra mayúscula: A, B, C, ...

Que es un elemento: un elemento de un conjunto tiene carácter único, que tiene propiedades que lo hace diferénciale de los demás elementos del conjunto, puede haber propiedades que varios elementos de un mismo conjunto puede cumplir o no.

Los elementos suelen representarse con letras minúsculas: a, b, c ...

Que es el conjunto universal: el conjunto universal o de referencia es el conjunto que abarca todos los elementos que en cada caso podamos tratar, todos los conjuntos que en cada caso estemos tratando son subconjuntos de ese conjunto universal.

El conjunto universal suele representarse con la letra: U

Que es el conjunto vacío: el conjunto vacío es el que no tiene ningún elemento, suele representarse así:  

Definición por extensión editar

Un conjunto se define por extensión cuando se enumeran todos sus elementos, por ejemplo, podemos definir el conjunto de las vocales V:

 

o de días de la semana S:

 

Definición por comprensión editar

Cuando el conjunto se define por una o más propiedades o condiciones que los elementos del conjunto cumplen, el conjunto de las vocales V:

 

El conjunto V se define como el conjuntos x tal que x sea una vocal. El conjunto de días de la semana S:

 

El conjunto S se define como el de los elementos x, tal que x sea un día de la semana.

Diagramas de Venn editar

Un diagrama de Venn es una representación grafica plana en la cual define un conjunto por una superficie cerrada, un circulo, un ovalo, un rectángulo etc, que delimita el conjunto y la relación entre varios conjuntos.

 

Se define el conjunto universal U y los conjuntos A y B:

 

El conjunto A:

 

El conjunto B:

 

 

Con el conjunto universal U y los conjuntos A y B:

 

El conjunto A:

 

El conjunto B:

 

 

Otro ejemplo con el conjunto universal U y los conjuntos A y B:

 

El conjunto A:

 

El conjunto B:

 

Relaciones de conjuntos editar

 

Dado el conjunto universal U:

 

Que señala que el conjunto esta formado por los elementos: a, b, c, d, e, f. Los elementos del conjunto se representan ente llaves y se separan por comas.

Los conjuntos A y B se representan:

 
 
 

Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de él y se representa:

 

Que se puede leer: f es un elemento de U, f no es un elemento de A, f es un elemento de B.

Subconjunto, un conjunto A es subconjunto de otro B si todos los elementos de A pertenecen también a B. Todo conjunto es subconjunto de si mismo, el conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto.

 

Que se puede leer: U es un subconjunto de U, A es un subconjunto de U, B es un subconjunto de U, el conjunto vació es un subconjunto de U, B no es un subconjunto de A.

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.

 

Si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A, es equivalente a que A y B son iguales.

Operaciones entre conjuntos editar

Dados unos conjuntos se pueden definir algunas operaciones:

 

Complemento de un conjunto: Dado un conjunto universal U y un conjunto A de U, el complemento de A es el formado por los elementos de U que no perteneces a A. Que se representa:

 

Se puede ver también que:

 

El complemento del complemento de un conjunto es el mismo conjunto.

 

El complemento del conjunto universal es el conjunto vacío.

Del mismo modo:

 

El complemento del conjunto vacío es el conjunto universal.


 

La unión de dos conjuntos: A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B. y se representa:

 

La operación unión es conmutativa:

 

La unión de A con B es igual a la unión de B con A.

La unión del conjunto universal con otro conjunto da como resultado el conjunto universal:

 

La unión de un conjunto con el conjunto vacío da como resultado el mismo conjunto:

 

 

La intersección de dos conjuntos: A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B. y se representa:

 

La operación intersección es conmutativa:

 

La intersección de A con B es igual a la intersección de B con A.

La intersección del conjunto universal con otro conjunto da como resultado ese conjunto:

 

La intersección de un conjunto con el conjunto vacío da como resultado el conjunto vacío:

 

Producto cartesiano editar

El producto cartesiano de dos conjuntos: A y B es una operación, que da como resultado otro conjunto: A*B, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el primer elemento del par ordenado pertenezca al primer conjunto y el segundo elemento pertenezca al segundo conjunto.

Por ejemplo, dados los conjuntos:

 

y

 

su producto cartesiano es:

 

Que se expresa:

 

Cada uno de los elementos:

 

Un par ordenado: (x,y) de A*B, cumple que x pertenece a A e y pertenece a B.

El producto cartesiano no es conmutativo:

 

Y por tanto:

 

El par ordenado (a,b) es distinto del par ordenado (b,a).

Producto cartesiano, caso general editar

El caso general de producto cartesiano con n conjuntos, que designaremos como:

 

Cada uno de los elementos del producto cartesiano de n conjuntos se denomina tupla:

 

Referencias editar

  1. Georg Cantor (2005). «Introducción» (en español). Fundamentos para una teoría general de conjuntos. Grupo Planeta. p. 9. ISBN 84-8432-695-0. 
  2. Ferreirós, José (2004). «Introducción» (en español). Matemáticas y matemáticos (1 edición). Universidad de Sevilla. p. 9. ISBN 84-472-0810-9. 

Bibliografía editar

  1. Dávila Cervantes, Claudio Alberto; Pardo Montaño, Ana Melisa (2016) (en español). Teoría de conjuntos (1 edición). FLACSO. 

Enlaces externos editar

  1. Teoría de Conjuntos
  2. Capítulo 7: TEORIA DE CONJUNTOS

Relación matemática editar

Una relación matemática entre los elementos, de uno o más conjuntos, es el conjunto de las tuplas de elementos de esos conjuntos que cumplen una determinada condición.

El caso más general de relaciones matemáticas es el de relaciones binarias, donde intervienen dos elementos en la relación:

 

La relación   es el conjunto de pares ordenados (a,b) que pertenecen al producto   que cumplen la propiedad  [1]

Claramente:

 

La relación   es un subconjunto de  

Notación caso general editar

Dada una relación entre los elementos de n conjuntos:

 

La relación:   se define como las tuplas:  , del producto de conjuntos:  , que cumplen la condición:  .

Si una tupla es de la relación se expresa:

 

Si la tupla no es de la relación:

 

Tipos de relaciones por el número de elementos editar

En las relaciones se diferencian los tipos según el número de conjuntos en el producto cartesiano, que es el número de términos de la relación:

Relación unaria: un solo conjunto  
Relación binaria: con dos conjuntos  
Relación ternaria: con tres conjuntos  
Relación cuaternaria: con cuatro conjuntos  
Relación n-aria: caso general con n conjuntos  

Tipos de relaciones por la igualdad de los conjuntos editar

Si el producto cartesiano es del mismo conjunto:

 

La relación se denomina relación homogénea y se representa:

 

Si no todos los conjuntos son iguales, se denomina: relación heterogénea y se representa:

 

Referencias editar

  1. Campos Sandoval, Juan Manuel (2018). «4.1» (en español). Matemáticas discretas. Editorial Digital. 

Relación binaria editar

Un caso particular de relación matemática, y el más ampliamente estudiado y de mayor interés matemático en cuanto a su interés generalizado, el la relación binaria.

Una relación matemática es binaria si la relación es entre dos elementos[1], del mismo o de distintos conjuntos, si los dos elementos de la relación son del mismo conjunto[2] se dice homogénea, si los dos conjuntos son distintos o los tomamos como distintos la relación se dice heterogénea, que comúnmente se denomina correspondencia

 
 

Dado el conjunto A:

 

y la relación binaria homogénea definida entre sus elementos:

 

Que se representa en la figura de la derecha.

 

Esta misma relación puede representarse como heterogénea o correspondencia:

 

La relación R definida de A sobre A.

 

El producto cartesiano se puede representar como un cuadrante, y la relación se señala con un signo: +, y en blanco si no existe relación. Los elementos del primer conjunto se ponen en el eje horizontal y los elementos del segundo conjunto en el vertical.

 

Los conjuntos de una correspondencia no tienen que ser iguales, como se indica en la definición de relación binaria heterogénea, sino que pueden ser de distinto tipo, a la derecha se puede ver una correspondencia entre un conjunto de pinceles: P, con otro de caras pintadas: C, asociando cada pincel de P, con la cara de C, que esta pintada del mismo color.

Referencias editar

  1. Díaz Martín, José Fernando; Arsuaga Uriarte, Eider; Riaño Sierra, Jesús M. (2005). «2.3» (en español). Introducción al álgebra (1 edición). Netbiblo. p. 43. ISBN 84-9745-128-7. 
  2. Goberna, Miguel Ángel; Jornet, Valentín; Puente, Rubén (2000). «1.4» (en español). Álgebra y fundamentos (1 edición). Editorial Ariel, S.A.. p. 26. ISBN 84-344-8026-3. 

Relación binaria homogénea editar

 

En matemáticas, una relación binaria [1] homogénea es una relación matemática   entre dos elementos que pertenecen al mismo conjunto. Una relación   de   se puede representar mediante pares ordenados   para los cuales se cumple una propiedad  , de forma que  , y se anota:

 

Que se lee: la relación binaria   es el conjunto de pares ordenados   pertenecientes al producto cartesiano  , y para los cuales se cumple la propiedad   que los relaciona.

Por oposición a la relación binaria heterogenia, o correspondencia matemática donde los dos elementos de la relación binaria son de conjuntos diferentes.

Referencias editar

  1. Richard Johnsonbaugh (2005). «3» (en español). Matemáticas discretas (6 edición). Pearson Educación. p. 117. ISBN 9789702606376. 

Propiedades de las relaciones binarias homogéneas editar

 

Una relaciones binarias homogéneas, puede cumplir o no una determinada propiedad de la relación binaria homogénea según estas propiedades se determina una determinada estructura en el conjunto respecto a la relación binaria definida.

Dada la definición de relación binaria homogénea de un conjunto A y una propiedad P como el conjunto de pares ordenado R de A que cumple la propiedad P, ha de tenerse en cuenta que la relación binaria es ese conjunto de pares ordenados, que además puede cumplir otras propiedades, reflexiva, simétrica, transitiva, etc, normalmente se dice relación reflexiva, relación simétrica, etc.

Aquí diferenciaremos la relación de sus propiedades, y llamaremos relación al conjunto de pares ordenados de forma general o a sus subtipos, y llamaremos como propiedades a las que una relación puede o no cumplir, por lo tanto diremos: propiedad reflexiva, propiedad simétrica, propiedad transitiva, etc. Ayudando a diferenciar de este modo lo que una relación y sus subtipos de lo que son propiedades de una relación

Reflexividad editar

 

En una relación binaria homogénea la reflexividad determina la posible relación de un elemento con sigo mismo, en todos los casos, nunca o a veces.

Propiedad reflexiva editar

 

Una relación es reflexiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

 

Se dice que esta relación binaria homogénea es relación reflexiva, si cumple:

  • Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A está relacionado con sigo mismo.
 

Para todo a de A se cumple que (a,a) pertenece a R

Propiedad no reflexiva editar

 

Una relación es no reflexiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

 

Se dice que esta relación binaria homogénea es relación no reflexiva, si cumple:

  • Relación no reflexiva: la relación R es no reflexiva si existen elementos a de A que no está relacionados con sigo mismo.
 

Existe a de A que cumple que (a,a) no pertenece a R

Propiedad irreflexiva editar

 

Una relación es irreflexiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

 

Se dice que esta relación binaria homogénea es relación irreflexiva, si cumple:

  • Relación irreflexiva: la relación R es irreflexiva si ningún elemento a de A está relacionado con sigo mismo.
 

Para todo a de A se cumple que (a,a) no pertenece a R

Propiedad no irreflexiva editar

 

Una relación es no irreflexiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

 

Se dice que esta relación binaria homogénea es relación no irreflexiva, si cumple:

  • Relación no irreflexiva: la relación R es no irreflexiva si existen elementos a de A que están relacionados con sigo mismo.
 

Existen elementos a de A que cumplen que (a,a) pertenece a R

Propiedad arreflexiva editar

 

Una relación es arreflexiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

 

Se dice que esta relación binaria homogénea es relación arreflexiva, si cumple:

  • Relación arreflexiva: la relación R es arreflexiva si existen elementos a de A que están relacionados con sigo mismo y existen elementos b de A que no están relacionados con sigo mismo.
 

Existen elementos a de A que cumplen que (a,a) pertenece a R y existen elementos b de A que cumplen que (b,b) no pertenece a R

Simetría editar

 

En una relación binaria homogénea la simetría determina la posible de que si un elemento a esta relacionado con otro b el b este relacionado con el a, en todos los casos, nunca o a veces.

Propiedad simétrica editar

 

Una relación es simétrica si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

 

Se dice que una relación binaria homogénea es relación simética, si cumple:

  • Relación simétrica: la relación R es simétrica si el elemento a esta relacionado con b, entonces b esta relacionado con a.
 

Para todo a, b de A si cumple que (a,b) pertenece a R, entonces (b,a) también pertenece a R.

Propiedad no simétrica editar

 

Una relación es no simétrica si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

 

Se dice que una relación binaria homogénea es relación no simética, si cumple:

  • Relación no simétrica: la relación R es no simétrica si existe el elemento a que esta relacionado con b y b no esta relacionado con a.
 

Existen a, b de A que cumple que (a,b) pertenece a R y (b,a) no pertenece a R.

Propiedad antisimétrica editar

 

Una relación es antisimétrica si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

 

Se dice que una relación binaria homogénea es relación antisimética, si cumple:

  • Relación antesimétrica: la relación R es antisimetrica si el elemento a esta relacionado con b, entonces b no esta relacionado con a.
 

Para todo a, b de A si cumple que (a,b) pertenece a R, entonces (b,a) no pertenece a R.

Propiedad no antisimétrica editar

 

Una relación es no antisimétrica si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

 

Se dice que una relación binaria homogénea es relación no antisimética, si cumple:

  • Relación no antesimétrica: la relación R es no antisimetrica si existe el elemento a esta relacionado con b y b esta relacionado con a.
 

Existe a, b de A que cumple que (a,b) pertenece a R y (b,a) pertenece a R.

Propiedad asimétrica editar

 

Una relación es asimétrica si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

 

Se dice que una relación binaria homogénea es relación asimética, si cumple:

  • Relación asimétrica: la relación R es asimetrica si existe el elemento a que esta relacionado con b y b esta relacionado con a y existe el elemento c que esta relacionado con d y d no esta relacionado con c.
 

Existe a, b de A que cumple que (a,b) pertenece a R y (b,a) pertenece a R y existe c, d de A que cumple que (c,d) pertenece a R y (d,c) no pertenece a R.

Transitividad editar

 

En una relación binaria homogénea, la transitividad, determina la posible relación de un elemento con un segundo, la de este segundo con un tercero y la del primero con el tercero, en todos los casos, nunca o a veces.

Propiedad transitiva editar

 

Una relación es transitiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

 

Se dice que una relación binaria homogénea es relación transitiva, si cumple:

  • Relación transitiva: la relación R es transitiva si el elemento a esta relacionado con b y b esta relacionad con c, entonces a esta relacionado con c.
 

Para todo a, b, c de A si se cumple que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertecece a R, entonces (a,c) pertenece a R.

Propiedad no transitiva editar

 

Una relación es no transitiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

 

Se dice que una relación binaria homogénea es relación no transitiva, si cumple:

  • Relación no transitiva: la relación R es no transitiva si existen los elementos a que esta relacionado con b y b que esta relacionad con c y a no esta relacionado con c.
 

Existen a, b, c de A que cumple que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertecece a R y (a,c) no pertenece a R.

Propiedad intransitiva editar

 

Una relación es intransitiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

 

Se dice que una relación binaria homogénea es relación intransitiva, si cumple:

  • Relación intransitiva: la relación R es intransitiva si el elemento a esta relacionado con b y b esta relacionad con c, entonces a no esta relacionado con c.
 

Para todo a, b, c de A si se cumple que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertecece a R, entonces (a,c) no pertenece a R.

Propiedad no intransitiva editar

 

Una relación es no intransitiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

 

Se dice que una relación binaria homogénea es relación no intransitiva, si cumple:

  • Relación no intransitiva: la relación R es no intransitiva si existen los elementos a que esta relacionado con b y b que esta relacionad con c y a esta relacionado con c.
 

Existen a, b, c de A que cumple que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertecece a R y (a,c) pertenece a R.

Propiedad atransitiva editar

 

Una relación es atransitiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

 

Se dice que una relación binaria homogénea es relación atransitiva, si cumple:

  • Relación atransitiva: la relación R es atransitiva si existen los elementos: a que esta relacionado con b y b que esta relacionado con c y a esta relacionado con c, y existen los elementos d que esta relacionado con e y e esta relacionado con f y d no esta relacionado con f.
 

Existen a, b, c de A que cumplen que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertenece a R y (a,c) pertenece a R y existen d, e , f de A que cumplen que (d,e) pertenece a R y (e,f) pertenece a R y (d,f) no pertenece a R.

Relación parcial o total editar

 

Una relación binaria homogénea es parcial si existen un par de elementoa: a, b del conjnto A: a esta relacionado con b, o b esta relacionado con a.

La relación es total si todo par de elementos: a, b del conjunto A: a esta relacionado con b o b esta relacionado con a.

Relación parcial editar

 

Una relación binaria R en el conjunto A es una relación parcial cuando se cumple que existen al menos dos elementos a, b que estan relacionado:

 

Existen a, b de A que cumplen que a esta relacionada con b o b esta relacionada con a.

Los elementos a, b del conjunto A, que estan relacionados a con b o b con a se dicen comparables.
Los elementos a, b del conjunto A, que no estan relacionados ni a con b ni b con a se dicen no comparables.

Relación total editar

 

Una relación binaria R en un conjunto A es una relación total (o relación conexa) cuando se cumple que para cada dos elementos a y b de A, o a está relacionado con b o b está relacionado con a, esto es:

 

Para todo a, b de A, se cumple que a esta relacionado con b o b esta relacionado con a.

Tenga en cuenta que esto implica una relación reflexiva.

Si relación binaria R en un conjunto A es de orden total, todos los elementos a, b de A son comparables.

Relación parcial y total editar

 

Una relación binaria R en un conjunto A es parcial si existen un par de elementos a, b de A y a esta relacionado con b.

Una relación binaria R en un conjunto A es total si para todo par de elementos a, b de A y a esta relacionado con b.

Toda relación total es parcial, dado que la relación total es un caso particular de relación parcial.

Relación parcial y no total editar

 

Una relación binaria R en un conjunto A es parcial si existen un par de elementos a, b de A y a esta relacionado con b.

Una relación binaria R en un conjunto A es no total si no para todo par de elementos a, b de A y a esta relacionado con b.

Toda relación es solo parcial, al ser no total.

Conjunto parcialmente ordenado y acotado editar

 

Es necesario que   cumpla las propiedades: reflexiva, antisimétrica y transitiva, por lo tanto un conjunto parcialmente ordenado, para que el conjunto pueda estar acotado.

Dado un conjunto A y una relación binaria   definida entre el conjunto A, que expresaremos   y la relación se representa:

 

que se lee: siendo x e y elementos de A, x antecede a y.

La no relación se representa:

 

que se lee: siendo x e y elementos de A, x no antecede a y

Conjunto acotado inferior editar

 

Diremos que el conjunto A está acotado inferiormente respecto a   si:

 

se cumple que existe un z de A tal que z antecede a x para todo x de A.

A los elementos z del conjunto se les denomina minimales.

Conjunto no acotado inferior editar

 

Diremos que el conjunto A no está acotado inferiormente respecto a   si:

 

se cumple que no existe un z de A tal que z antecede a x para todo x de A.

Conjunto acotado superior editar

 

Diremos que el conjunto A está acotado superiormente respecto a   si:

 

se cumple que existe un y de A tal que x antecede a y para todo x de A.

A los elementos y del conjunto se les denomina maximales.

Conjunto no acotado superior editar

 

Diremos que el conjunto A no está acotado superiormente respecto a   si:

 

se cumple que no existe un y de A tal que x antecede a y para todo x de A.

Conjunto acotado editar

 

Diremos que un conjunto está acotado, si está acotado superior e inferiormente.

Comjunto no acotado editar

 

Diremos que un conjunto es no acotado, si no está acotado superior ni inferiormente.

Elemento maximal y minimal editar

 

Dado el conjunto A formado por los elementos:

 

en el que se ha definido una relación binaria   representada en la figura, siendo   un conjunto parcialmente ordenado, los elementos y de A que cumplen:

 

y de A es maximal si para todo x de A que cumple que y anteceda a x entonces y es igual a x.

Los elementos y de A se denominan maximales y definen una cuota superior en A, los elementos maximales no tiene porque ser únicos, en el ejemplo a, c y g son maximales de A.

Del mismo modo los elementos z de A que cumplen:

 

z de A es minimal si para todo x de A que cumpla que x anteceda a z entonces z es igual a x.

se denominan minimales y definen una cuota inferior en A, los elementos minimales no tiene porque ser únicos, en el ejemplo d, g y h son minimales de A.

Se puede ver que el elemento g es maximal y minimal en A. Un elemento que es maximal y minimal al mismo tiempo se un elemento aislado.

Elemento máximo y mínimo editar

 

Dado el conjunto A formado por los elementos:

 

en el que se ha definido una relación binaria   representada en la figura, siendo   un conjunto parcialmente ordenado.

El elemento y de A que cumple:

 

se denomina máximo y define una cuota superior en A, el elemento máximo es único, en el ejemplo c es el máximo de A. El elemento máximo de un conjunto es el maximal unico en ese conjunto.

Del mismo modo el elemento z de A que cumple:

 

se denomina mínimo y define una cuota inferior en A, el elemento mínimo es único, en el ejemplo g es mínimo de A. El elemento mínimo de un conjunto es el minimal unico en ese conjunto.

Referencias editar

Tipos de las relaciones binarias homogéneas editar

 

Una relación binaria homogéneas puede cumplir o no una serie de propiedades:

reflexiva o no reflexiva
simétrica o antisimétrica
transitiva
acotada
total

Esto da lugar a que se pueda clasificar por tipos según las propiedades que cumpla. Normalmente desde un punto de vista matemático se estudian unos tipos de relaciones binarias homogéneas muy concretas que podemos ver en el esquema.

 

Relaciones binarias homogéneas editar

 

Dado un conjunto A y una relación R entre los elementos de ese conjunto, dado que el conjunto inicial y final de esa relación es el mismo conjunto, esta relación se dice homogénea, a diferencia de la correspondencia (o relación binaria heterogenia) en las que los conjuntos inicial y final son diferentes o los consideramos como diferentes.

Partiendo de este tipo de relación matemática podemos considerar los siguientes casos:

Relación reflexiva editar

 

Una relación binaria homogénea, que cumple la propiedad reflexiva, se dice relación reflexiva.

Dado un conjunto A en el que se ha definido una relación binaria R, si se cumple que:

 

Para todo elemento x de A, se cumple que el par ordenado (x,x) pertenece a la relación, esta relación es reflexiva.

En el ejemplo, representado en el diagrama sagital de la derecha, tenemos el conjunto:

 

Y la relación:

 

Su representación cartesiana seria:

 

Donde puede verse la relación R, entre los elementos del conjunto A, en el eje horizontal el conjunto A como conjunto inicial (de donde salen las flechas) y en el eje vertical el conjunto A como conjunto final (donde llegan las flechas). Representando con una estrella si esa relación se cumple y con un punto si no se cumple, puede verse que la diagonal todo son estrellas, lo que indica que la relación es reflexiva, cada elemento está relacionado consigo mismo.

Relación no reflexiva editar

 

Una relación binaria homogénea, que no cumple la propiedad reflexiva, se dice relación no reflexiva.

 

No para todo elemento x del conjunto A, se cumple que el par ordenado (x,x) pertenece a la relación R.

Lo que es lo mismo que: Dado un conjunto A en el que se ha definido una relación binaria R, si se cumple que:

 

Si existe x de A, y se cumple que el par ordenado (x,x) no pertenece a la relación, esta relación es no reflexiva.

Dado el conjunto:

 

Y la relación representada en el diagrama de la derecha:

 

Su representación cartesiana seria:

 

Se puede ver que el elemento c no está relacionado con sigo mismo, y por tanto no se cumple la propiedad reflexiva. Es suficiente con que un único elemento del conjunto no cumpla la propiedad reflexiva para que la relación sea no reflexiva.


 

La relación representada en el diagrama de la derecha:

 

Su representación cartesiana seria:

 

Los elementos a y c no cumplen la relación reflexiva.


 

La relación representada en el diagrama de la derecha:

 

Su representación cartesiana seria:

 

Los elementos a, c y d no cumplen la relación reflexiva.


 

La relación representada en el diagrama de la derecha:

 

Su representación cartesiana seria:

 

Los elementos a, b, c y d no cumplen la relación reflexiva. que son todos los elementos del conjunto A.

Dado un conjunto A en el que se ha definido una relación binaria R, se cumple que:

 

Para todo elemento x del conjunto A, se cumple que el par ordenado (x,x) no pertenece a R. Esto es la relación R definida en A cumple la propiedad irreflexiva, que es un caso particular de las relaciones no reflexivas en la que ningún elemento del conjunto está relacionado con sigo mismo.

Las relaciones que son no reflexivas y no irreflexivas simultáneamente se dicen arreflexivas.

Referencias editar

Galería de relación binaria homogénea editar

Fundamentos de la Matemática/Galería de relación binaria homogénea

Correspondencia editar

 

Dado un conjunto A y otro B y una relación donde algunos elementos de A están asociados con algunos elementos de B, es una correspondencia [1].

En la figúra de la derecha se puede ver una correspondencia de A sobre B, donda a los elementos a de A se le asocia los elementos b de B de modo que b sea multiplo de a.

Definiciones editar

 

En una correspondencia de A sobre B donde el elemento a de A esta relacionado con el elemneto b de B, al elemento a se le llama origen de b y al elemento b se le llama imagen de a.

En una correspondencia podemos distinguir cuatro conjuntos:

Conjunto inicial: es el conjunto desde el que se define la correspondencia. En la figura el conjunto inicial es el conjunto A, siendo A el formado por los siguientes elementos:

 

Conjunto final: es el conjunto sobre el que esta definida la correspondencia. El la figura es el conjunto B, formado por los siguientes elementos:

 

Conjunto origen: o conjunto de origenes, es el formado por los elemento de conjunto inicial que tienen imagen, los que son origen de la relación, en la figura es el formado por los siguientes elementos:

 

Conjunto imagen: o conjunto de imagenes, es el formado por los elementos del conjunto final que tienen origen, los que son imagenes de la relación. En la figura es el formado por los siguientes conjuntos:

 

Referencias editar

  1. Valentín Gregori; J. C. Ferrando (1995). «2.2.2» (en español). Matemática discreta (2 edición). Editorial Reverte. p. 40. ISBN 978-84-291-5179-4. 

Propiedades de las correspondencias editar

Una correspondencia puede tener cuatro propiedades:

Unicidad de imagen, ui: si se cumple que los elementos del cinjunto inicial que tienen imagen tienen una sola imagen.
Unicidad de origen, uo: si se cumple que los elementos del conjumto final que tienen origen tienen un solo origen.
Existencia de imagen, ei: si se cumple que todos los elementos del conjunto inicial tienen imagen.
Existencia de origen, eo: si se cumple que todos los elementos del conjunto final tienen origen.

Estas propiedades son independientes entre si, de modo que el cumplimiento de una de ellas no implica el complimiento o no de las otra, de modo que entre dos conjuntos A y B según cumplan o no estas propiedades se pueden dar dieciseis casos diferentes.

 

Fijando una de las propiedades en verdadero, se pueden formar con las otras tres, ocho casos distintos.

 

Correspondencia que cumplen la unicidad de imagen editar

Los elementos del conjunto A que tienen imagen tienen una unica imagen, esto no significa que todos los elementos de A tengan que tener imagen, pero los que la tienen tienen una unica imagen.

ui-1 ui-2 ui-3 ui-4
       
ui-5 ui-6 ui-7 ui-8
       

Correspondencia que cumplen la unicidad de origen editar

Los elementos del conjunto B que tienen origen, tienen un unico origen, esto no quiere decir que todos los elementos de B tengan que tener origen, pero los que si lo tienen, tienen un unico origen.

uo-1 uo-2 uo-3 uo-4
       
uo-5 uo-6 uo-7 uo-8
       

Correspondencia que cumplen la existencia de imagen editar

Todos los elementos del conjunto A tienen imagen, una o más, pero todos sin excepción tienen alguna imagen en B.

ei-1 ei-2 ei-3 ei-4
       
ei-5 ei-6 ei-7 ei-8
       

Correspondencia que cumplen la existencia de origen editar

Todos los elementos del conjunto B tienen un origen en A, uno o más, pero todos sin escepción tienen origen.

eo-1 eo-2 eo-3 eo-4
       
eo-5 eo-6 eo-7 eo-8
       

Referencias editar

Tipos de correspondencias editar

 

Los tipos de correspondencia

Como ya se ha dicho una correspondencia puede tener cuatro propiedades:

Unicidad de imagen: ui
Unicidad de origen: uo
Existencia de imagen: ei
Existencia de origen: eo

Estas propiedades son independientes, el cumplimiento de una de ellas no implica el cumplimiento o no cumplimiento de las demás, esto da lugar a 16 casos tipo de correspondencia, pero no todas tienen importancia matemática, estos 16 casos se agrupan en 7 que tienen nombre propio y se estudian por separado.

Se pueden diferenciar los siguientes casos.

Dados dos conjuntos A y B, donde algunos elementos de A esta asociados con algunos elementos de B, esta relación es una correspondencia.

Una correspondencia que cumple la unicidad de imagen, se denomina correspondencia unívoca.

Una correspondencia que cumple la unicidad de imagen y la unicidad de origen, se denomina correspondencia biunívoca. Una correspondencia biunívoca es previamente correspondencia unívoca.

Una correspondencia que cumple la unicidad de imagen y existencia de imagen se llama aplicación matemático.

Una aplicación matemática que cumple la existencia de origen se denomina aplicación sobreyectiva.

Una aplicación matemática que cumple la unicidad de origen se denomina aplicación inyectiva.

Una aplicación matemática que cumple la unicidad de origen y la existencia de origen se denomina aplicación biyectiva.

Correspondencias editar

correspondencia-1 correspondencia-2 correspondencia-3 correspondencia-4
       
correspondencia-5 correspondencia-6 correspondencia-7 correspondencia-8
       
correspondencia-9 correspondencia-10 correspondencia-11 correspondencia-12
       
correspondencia-13 correspondencia-14 correspondencia-15 correspondencia-16
       

Correspondencia unívoca editar

unívoca-1 unívoca-2 unívoca-3 unívoca-4
       
unívoca-5 unívoca-6 unívoca-7 unívoca-8
       

Correspondencia biunívoca editar

biunívoca-1 biunívoca-2 biunívoca-3 biunívoca-4
       

Aplicación matemático editar

aplicación-1 aplicación-2 aplicación-3 aplicación-4
       

Aplicación sobreyectiva editar

sobreyectiva-1 sobreyectiva-2
   

Aplicación inyectiva editar

inyectiva-1 inyectiva-2
   

Aplicación biyectiva editar

biyectiva-1
 

Galería de ejemplos editar

A fin de ilustrar lo anterior podemos ver una galería de ejemplos de los tipos de correspondencia que pueden darse.

Habiendo cuatro propiedades independientes: unicidad de imagen, ui; unicidad de origen, uo; existencia de imagen, ei; existencia de origen, eo, se pueden dar 16 posibles combinaciones.


 
1
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: no
 
2
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: no
 
3
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: no
 
4
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: no

 
5
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: no
 
6
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: no
 
7
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: no
 
8
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: no

 
9
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: si
 
10
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: si
 
11
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: si
 
12
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: si

 
13
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: si
 
14
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: si
 
15
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: si
 
16
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: si

Referencias editar

Tipos de correspondencias editar

Para centrar ideas, veremos un caso con valores numéricos concreto, así definiremos una correspondencia entre dos conjuntos de números naturales A y B de modo que los elementos a de A están asociados con elementos b de B de modo que b sea un múltiplo de a.

 
R es la relación de pares ordenados (a,b) del producto cartesiano de A por B, tal que b sea un múltiplo de a.

Caso: 1

 

En la figura de la derecha tenemos que:

 
 
 

La correspondencia se define asociando el elemento a de A con el elemento b de b si b es múltiplo de a, su representación cartesiana seria la siguiente.

 
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: no

Caso: 2

 

En la figura de la derecha tenemos que:

 
 
 

Representación cartesiana:

 
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: no

Caso: 3

 

En la figura de la derecha tenemos que:

 
 
 

Representación cartesiana:

 
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: no

Caso: 4

 

En la figura de la derecha tenemos que:

 
 
 

Representación cartesiana:

 
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: no

Caso: 5

 

En la figura de la derecha tenemos que:

 
 
 

Representación cartesiana:

 
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: no

Caso: 6

 

En la figura de la derecha tenemos que:

 
 
 

Representación cartesiana:

 
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: no

Caso: 7

 

En la figura de la derecha tenemos que:

 
 
 

Representación cartesiana:

 
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: no

Caso: 8

 

En la figura de la derecha tenemos que:

 
 
 

Representación cartesiana:

 
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: si

Caso: 9

 

En la figura de la derecha tenemos que:

 
 
 

Representación cartesiana:

 
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: si

Caso: 10

 

En la figura de la derecha tenemos que:

 
 
 

Representación cartesiana:

 
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: si

Caso: 11

 

En la figura de la derecha tenemos que:

 
 
 

Representación cartesiana:

 
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: no
Existencia de origen: si

Caso: 12

 

En la figura de la derecha tenemos que:

 
 
 

Representación cartesiana:

 
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: si

Caso: 13

 

En la figura de la derecha tenemos que:

 
 
 

Representación cartesiana:

 
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: no
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: si

Caso: 14

 

En la figura de la derecha tenemos que:

 
 
 

Representación cartesiana:

 
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: si

Caso: 15

 

En la figura de la derecha tenemos que:

 
 
 

Representación cartesiana:

 
Unicidad de imagen: no
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: si

Caso: 16

 

En la figura de la derecha tenemos que:

 
 
 

Representación cartesiana:

 
Unicidad de imagen: si
Unicidad de origen: si
Existencia de imagen: si
Existencia de origen: si

Referencias editar

Aplicación matemática editar

 

Una aplicación matemática: (f), es un caso particular de correspondencia, entre dos conjuntos, que cumple la unicidad de imagen y la existencia de imagen, eso es: para cada elemento del conjunto inicial: (A), existe un único elemento de conjunto imagen: (B), que es su imagen.

Una aplicación matemática: (f), se representa:

 

Los siguientes ejemplos de correspondencia son aplicaciones matemáticas:

 
 
 
 

Una aplicación matemática que cumple la unicidad de origen se dice: aplicación inyectiva. Los siguientes ejemplos son aplicaciones inyectivas:

 
 

Una aplicación matemática que cumple la existencia de origen se dice: aplicación sobreyectiva. Los siguientes ejemplos son aplicaciones sobreyectivas:

 
 

Una aplicación matemática que cumple la unicidad y la existencia de origen se dice: aplicación biyectiva. El siguiente ejemplo es aplicacion biyectivas:

 

Una aplicación es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente.

Referencias editar

Operación matemática editar

Referencias editar

Operación binaria editar

 

Se define como operación binaria [1] aquella operación matemática, que necesita el dos operandos (argumentos) para que se calcule un valor.

Dados tres conjuntos A, B y C una operación binaria, representando la operación por el signo  , es una aplicación que asigna a cada par de valores a de A y b de B un solo valor c de C, que podemos representar:[2]

 

Podemos expresar la operación:

 

Tipos de operaciones binarias editar

Según los conjuntos que intervienen en la operación binaria podemos diferenciar los siguientes casos:

 

Si solo interviene un conjunto la operación de dice interna, si interviene más de uno se dice externa.

Las operaciones internas las representaremos con los signos:

 

y las externas:

 

ejemplo de operación interna:

 
 

ejemplo de operación externa:

 
 

Referencias editar

  1. Sigler, L. E. (1981). «2». Álgebra (1 edición). Editoria Reverté S.A.. p. 35. ISBN 9788429151299. 
  2. Castañeda Hernández, Sebastián; Barrios Sarmiento, Agustín; Rafael, Martínez Solano (2004). «4». Notas de álgebra lineal (2 edición). Ediciones Uninorte. p. 198. ISBN 958-8133-89-0. 

Ley de composición editar

 

Un ley de composición es un tipo de operación binaria que define una estructura algebraica[1][2], si la ley de composición relaciona dos elementos de un mismo conjunto y el resultado es de ese mismo conjunto la ley de composición se denomina interna, si la ley de composición relaciona dos elementos de dos conjuntos distintos se denomina externa.

 

Convenio de representación editar

Adoptaremos como convenio de representación para expresar, las cuestiones relacionadas con las estructuras algebraicas, lo siguiente:

Los conjuntos los llamaremos con letras mayúsculas:

 

Los elementos los representaremos con letras minúsculas:

 

Las leyes de composición internas las representaremos:

 

Las leyes de composición externas las representaremos:

 

Ley de composición interna editar

 

Dado un conjunto A y una operación  , que representaremos como el par  , se dice que   es una ley de composición interna u operación interna en A cuando es una aplicación de la forma siguiente.[3]

 

Una ley de composición interna asigna a cada par ordenado (ab), cuyas componentes pertenecen ambas al conjunto A, un tercer elemento c, también contenido en A.[4][5][6] Este elemento c es único para cada par (ab) determinado, lo cual se expresa en símbolos de la siguiente manera.

 

Ley de composición externa editar

Si los dos elementos operados no pertenecen al mismo conjunto la ley de composición es externa,[7] pudiendo diferenciar:

Ley de composición externa por la derecha editar

 

Dado dos conjunto A y B, y una operación:  , que representaremos  :

 

por la que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de A por B, le asigna un c de A.[8]

 

Para todo par ordenado (a,b) en A por B, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

Se denomina ley de composición externa por la derecha.

Ley de composición externa por la izquierda editar

 

Del mismo modo también se considera ley de composición externa, que se denota:  :

 

Donde a cada par de valores (a, b) de A por B se le asigna un valor c de B.[8]

 

Para todo par ordenado (a,b) en A por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de operar a con b.

Se denomina ley de composición externa por la izquierda.

Cualquier operación distinta de las anteriores no se considera ley de composición.

Enlaces externos editar

Referencias editar

  1. Becerril Vilchis, Francisco (2001). «4» (en español). Álgebra superior. U.A. del estado de Mejico. p. 43. ISBN 968-835-633-6. 
  2. J. C. Ferrando; V. Gregori (1995). «3» (en español). Matemática discreta (2 edición). Reverte. p. 79. ISBN 978-84-291-5179-4. 
  3. Padró, Francesc Comellas (2009). Univ. Politèc. de Catalunya. ed (en español). Matemática discreta (1 edición). pp. 203. ISBN 84-8301-456-4. 
  4. Lelong-ferrand, Jacqueline (1979). «2» (en español). Curso de matemáticas (2 edición). REVERTE. pp. 47. ISBN 97-884-2915-065-0. 
  5. Díaz Martín, José Fernando (2005). «4.1» (en español). Introducción al álgebra (1 edición). Gesbiblo SL. pp. 117. ISBN 84-9745-128-7. 
  6. Gregori Gregori, Valentín (1995). «3» (en español). MATEMATICA DISCRETA (2 edición). REVERTE. pp. 79. ISBN 97-8842-915-179-4. 
  7. Díaz Martín, José Fernando (2005) (en español). Introducción al álgebra (1 edición). Gesbiblo SL. pp. 125. ISBN 84-9745-128-7. 
  8. 8,0 8,1 Lelong-ferrand, Jacqueline (1979). «2» (en español). Curso de matemáticas (2 edición). REVERTE. pp. 47. ISBN 97-884-2915-065-0. 

Propiedades de las leyes de composición internas editar

 

En álgebra las operaciones binarias internas en el conjunto A, o bien las aplicaciones de A x A en A:

 

son las de mayor interés, porque se utilizan tanto en los sistemas numéricos como en relaciones binarias en los sistemas algebraicos. Las operaciones gozan de ciertas propiedades, usadas con frecuencia en la axiomatización de los diversos sistemas matemáticos, en palabras de George David Birkhoff.

Propiedades de una ley de composición interna editar

Dado un conjunto A no vacío y definida una aplicación de   sobre A, donde a cada par ordenado (a,b) se le asigna un valor c de A, que representamos:  

 

La ley de composición:   es interna dado que se cumple:

 

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

Pueden tener las siguientes propiedades:

Propiedad conmutativa editar

Véase también: w:Propiedad conmutativa

Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna  , que se representa:  , se dice que   tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:

 

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a.

Del mismo modo podemos decir que la ley de composición interna  , no es conmutativa en A si:

 

Si existe algún a, b en A, que cumple que el resultado de operar a con b es distinto de operar b con a.

Propiedad anticonmutativa editar

La operación   en A es anticonmutativa si:

 

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al opuesto de operar b con a.

en general, para cualquier par de vectores a, b:

 

Propiedad asociativa editar

Véase también: w:Propiedad asociativa

Sea A un conjunto no vacío y   una operación binaria en A, se dice que   es asociativa si, solo si:

 

Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c.

También se puede decir que la operación   no es asociativa si se cumple:

 

Existen a, b, c en A que cumplen que operando a con b y el resultado con c es distinto de operar a con el resultado de operar b con c.

Propiedades con dos leyes de composición interna editar

Dado un conjunto A no vacío y definidas dos aplicación de A por A sobre A, donde a cada par ordenado (a,b) se le asigna con la operación   un valor c de A y con la operación   el valor d de A que representamos:  .

 

Pueden tener las siguientes propiedades:

Propiedad distributiva editar

Véase también: w:Propiedad distributiva

Dado un conjunto A no vacío en el que se han definidos dos operaciones internas, que expresaremos  , se dice que la operación   es distributiva por la izquierda de   si se cumple:

 

Del mismo modo se dice que la operación   es distributiva por la derecha de   si se cumple:

 

Una operación   es distributiva sobre otra   si es distributiva por la derecha y por la izquierda.

Elementos distinguidos editar

Elemento neutro editar

Véase también: w:Elemento neutro

Si se tiene el conjunto A, no vacío, provisto de una operación binaria  , que indicaremos:  ,

 

Diremos que el elemento e, es el elemento neutro por la derecha si:

 

Para todo a de A, se cumple que existe e de A, tal que operando e con a el resultado es a.

Se demuestra que si hay otro elemento neutro por la derecha:  , tal que:  , entonces:  ; hecho que se conoce como unicidad del elemento neutro.

Diremos que el elemento e, es el elemento neutro por la izquierda si:

 

Para todo a de A, se cumple que existe e de A, tal que operando a con e el resultado es a.

Se demuestra que si hay otro elemento neutro por la izquierda:  , tal que:  , entonces:  ; hecho que se conoce como unicidad del elemento neutro.

Un elemento e es elemento neutro en   si es elemento neutro por la derecha y por la izquierda.

 

Para todo a de A, se cumple que existe e de A, tal que el resultado de operar e con a es igual a operar a con e y es igual a a.

Elemento simétrico editar

Véase también: w:Elemento simétrico

Sea A un conjunto no vacío y   una operación binaria:

 

Se dice que un elemento   tiene:

El elemento simétrico por la izquierda respecto de la operación   si:

 

El elemento simétrico por la derecha respecto de la operación   si:

 

El elemento simétrico respecto de la operación  , si existe, es elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, esto es:

 

Un elemento simétrico   de   es simétrico por la derecha del elemento   y simétrico por la izquierda del elemento  . Donde e es el elemento neutro.

  • En la operación suma, el elemento simétrico, se suele denominas opuesto o inverso aditivo.
  • En la operación multiplicación, el elemento simétrico, se suele denominar inverso o inverso multiplicativo.

Elemento involutivo editar

Sea A un conjunto no vacío y   una operación binaria:

 

Diremos que   es elemento involutivo si:

 
  • El 0 es elemento involutivo respecto a la suma en el conjunto Z de los números enteros:
 
  • el 0 y 1 son elementos involutivos respecto de la multiplicación en el conjunto Z de los enteros:
 

Elemento absorbente editar

Véase también: w:Elemento absorbente

Sea A un conjunto no vacío y   una operación binaria:

 

Diremos que   es Elemento absorbente si:

 

Se denomina así al elemento s de A, tal que para todo a de A se cumple que operado s con a es igual que operas a con s y el resultado es s.

  • 0 es elemento absorbente un sistema numérico multiplicativo.
 
  • El conjunto vacío Ø es elemento absorbente para la intersección definida en el conjunto de partes de U.
 
  • El conjunto universal U es elemento absorbente para la unión definida en el conjunto de partes de U.
 

Operación simétrica editar

Sea A un conjunto con una operación binaria  :

 

por lo que cabe la ecuación:

 

Si:

 

Si   admite elementos simétricos, se define:

 

Agrupando:

 

donde e es el elemento neutro:

 

simplificando:

 

La operación simétrica seria  

 

Que se definiria:

 

Estructura algebráica de un conjunto y una ley de composición interna editar

 

Sea un conjunto: A y una ley de composición:  , definida:

 

Dado que se cumple:

 

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

El par   es una estructura definida en un unico conjunto con una sola ley de composición, que puede dar lugar a las estructuras algebráicas: magma, semigrupo, monoide o grupo, según las propiedades que cumpla.

grupo
monoide
semigrupo
magma
conjunto
ley de composición
interna
asociativa
elemento neutro
elemento simétrico

Magma editar

Véase también: w:Magma (álgebra)
 

Un Magma es una estructura algebraica de la forma   donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna:  .[1]

 

Siendo esta ley de composición una operación interna:

1.- Operación interna: La ley de composición:   es interna si cumple:

 

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

El término magma se debe a la asociación de matemáticos franceses que se hace llamar Nicolás Bourbaki.[1] Durante algún tiempo compitió, para reflejar el mismo concepto, con la palabra grupoide, que tiene otros sentidos en matemática (ver grupoide), por lo que no es aconsejable su uso como sinónimo de magma.[2][3]

Magma conmutativo editar

 

Un Magma conmutativo o abeliano es una estructura algebraica de la forma   donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna:  .

 

Siendo esta ley de composición una operación interna y conmutativa:

1.- Operación interna: La ley de composición:   es interna si cumple:

 

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

2.- Propiedad conmutativa: Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna  , que se representa:  , se dice que   tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:

 

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a.

Semigrupo editar

Véase también: w:Semigrupo
 

Un Semigrupo es una estructura algebraica de la forma   donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna:  .

 

Siendo esta ley de composición una operación interna y asociativa:

1.- Operación interna: La ley de composición:   es interna si cumple:

 

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

2.- Propiedad asociativa: La ley de composición:   cumple la propiedad asociativa si:

 

Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c.

Semigrupo conmutativo editar

 

Un Semigrupo conmutativo o abeliano es una estructura algebraica de la forma   donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna:  .

 

Siendo esta ley de composición una operación interna, asociativa y conmutativa:

1.- Operación interna: La ley de composición:   es interna si cumple:

 

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

2.- Propiedad asociativa: La ley de composición:   cumple la propiedad asociativa si:

 

Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c.

3.- Propiedad conmutativa: Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna  , que se representa:  , se dice que   tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:

 

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a.

Monoide editar

Véase también: w:Monoide
 

Un Monoide es una estructura algebraica de la forma   donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna:  .

 

Siendo esta ley de composición una operación interna, asociativa y elemento neutro:

1.- Operación interna: La ley de composición:   es interna si cumple:

 

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

2.- Propiedad asociativa: La ley de composición:   cumple la propiedad asociativa si:

 

Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c.

3.- Elemento neutro: Un elemento e es elemento neutro en   si es elemento neutro por la derecha y por la izquierda.

 

Para todo a de A, se cumple que existe e de A, tal que el resultado de operar e con a es igual a operar a con e y es igual a a.

Monoide conmutativo editar

 

Un Monoide conmutativo o abeliano es una estructura algebraica de la forma   donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna:  .

 

Siendo esta ley de composición una operación interna, asociativa, elemento neutro y conmutativa:

1.- Operación interna: La ley de composición:   es interna si cumple:

 

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

2.- Propiedad asociativa: La ley de composición:   cumple la propiedad asociativa si:

 

Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c.

3.- Elemento neutro: Un elemento e es elemento neutro en   si es elemento neutro por la derecha y por la izquierda.

 

Para todo a de A, se cumple que existe e de A, tal que el resultado de operar e con a es igual a operar a con e y es igual a a.

4.- Propiedad conmutativa: Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna  , que se representa:  , se dice que   tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:

 

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a.

Grupo editar

Véase también: w:Grupo (matemática)
 

Un Grupo es una estructura algebraica de la forma   donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna:  .

 

Siendo esta ley de composición una operación interna, asociativa, con elemento neutro y elemento simétrico:

1.- Operación interna: La ley de composición:   es interna si cumple:

 

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

2.- Propiedad asociativa: La ley de composición:   cumple la propiedad asociativa si:

 

Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c.

3.- Elemento neutro: Un elemento e es elemento neutro en   si es elemento neutro por la derecha y por la izquierda.

 

Para todo a de A, se cumple que existe e de A, tal que el resultado de operar e con a es igual a operar a con e y es igual a a.

4.- Elemento simétrico: El elemento simétrico en el conjunto A respecto de la operación  , si es elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, esto es:

 

Un elemento simétrico   de   en   es simétrico por la derecha del elemento   y simétrico por la izquierda del elemento  . Donde e es el elemento neutro.

Grupo conmutativo editar

Véase también: w:Grupo abeliano
 

Un Grupo conmutativo o abeliano es una estructura algebraica de la forma   donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna:  .

 

Siendo esta ley de composición una operación interna, asociativa, con elemento neutro, elemento simétrico y conmutativa:

1.- Operación interna: La ley de composición:   es interna si cumple:

 

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

2.- Propiedad asociativa: La ley de composición:   cumple la propiedad asociativa si:

 

Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c.

3.- Elemento neutro: Un elemento e es elemento neutro en   si es elemento neutro por la derecha y por la izquierda.

 

Para todo a de A, se cumple que existe e de A, tal que el resultado de operar e con a es igual a operar a con e y es igual a a.

4.- Elemento simétrico: El elemento simétrico en el conjunto A respecto de la operación  , si es elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, esto es:

 

Un elemento simétrico   de   en   es simétrico por la derecha del elemento   y simétrico por la izquierda del elemento  . Donde e es el elemento neutro.

5.- Propiedad conmutativa: Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna  , que se representa:  , se dice que   tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:

 

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a.

Referencias editar

Estructura algebráica de un conjunto y dos leyes de composición internas editar

En este capitulo veremos las estructuras algebraicas en un conjunto y con dos leyes de composición internas.[1]

Sea un conjunto: A y dos leyes de composición:  , definida:

- 1º ley:

 
 

Dado que se cumple:

 

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b con esta 1º ley.

- 2º ley:

 
 

Dado que se cumple:

 

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único d en A, tal que d es el resultado de operar a con b con esta 2º ley.

La terna   es una estructura definida en un unico conjunto: A, con dos leyes de composición, que puede dar lugar a las estructuras algebráicas: semianillo, semianillo unitario, anillo, anillo unitari o cuerpo, entre otras estructuras según las propiedades que cumplan.

Semianillo editar

Véase también: w:Semianillo

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley:  , 2ª ley:  , definidas en A, la terna   es una estructura álgebraica de semianillo[2] [3] si se cumple que:

  1.   es semigrupo conmutativo.
  2.   es semigrupo.
  3.   es distributiva sobre  .
 

Senianillo conmutativo editar

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley:  , 2ª ley:  , definidas en A, la terna   es una estructura álgebraica de semianillo conmutativo si se cumple que:

  1.   es semigrupo conmutativo.
  2.   es semigrupo conmutativo.
  3.   es distributiva sobre  .
 

Semianillo unitario editar

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley:  , 2ª ley:  , definidas en A, la terna   es una estructura álgebraica de semianillo unitario si se cumple que:

  1.   es semigrupo conmutativo.
  2.   es monoide.
  3.   es distributiva sobre  .
 

Senianillo unitario conmutativo editar

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley:  , 2ª ley:  , definidas en A, la terna   es una estructura álgebraica de semianillo unitario conmutativo si se cumple que:

  1.   es semigrupo conmutativo.
  2.   es monoide conmutativo.
  3.   es distributiva sobre  .
 

Anillo editar

Véase también: w:Anillo (matemática)

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley:  , 2ª ley:  , definidas en A, la terna   es una estructura álgebraica de anillo si se cumple que:

  1.   es grupo conmutativo.
  2.   es semigrupo.
  3.   es distributiva sobre  .
 

Anillo conmutativo editar

Véase también: w:Anillo conmutativo

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley:  , 2ª ley:  , definidas en A, la terna   es una estructura álgebraica de anillo conmutativo si se cumple que:

  1.   es grupo conmutativo.
  2.   es semigrupo conmutativo.
  3.   es distributiva sobre  .
 

Anillo unitario editar

Véase también: w:Anillo unitario

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley:  , 2ª ley:  , definidas en A, la terna   es una estructura álgebraica de anillo unitario si se cumple que:

  1.   es grupo conmutativo.
  2.   es monoide.
  3.   es distributiva sobre  .
 

Anillo unitario conmutativo editar

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley:  , 2ª ley:  , definidas en A, la terna   es una estructura álgebraica de anillo unitario conmutativo si se cumple que:

  1.   es grupo conmutativo.
  2.   es monoide conmutativo.
  3.   es distributiva sobre  .
 

Cuerpo editar

Véase también: w:Cuerpo (matemáticas)

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley:  , 2ª ley:  , definidas en A, la terna   es una estructura álgebraica de cuerpo si se cumple que:

  1.   es grupo conmutativo.
  2.   es grupo.
  3.   es distributiva sobre  .
 

Cuerpo conmutativo editar

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley:  , 2ª ley:  , definidas en A, la terna   es una estructura álgebraica de cuerpo conmutativo si se cumple que:

  1.   es grupo conmutativo.
  2.   es grupo conmutativo.
  3.   es distributiva sobre  .
 

Álgebra de Boole editar

Véase también: w:Álgebra de Boole
Véase también: w:Álgebra de Heyting
Véase también: w:Retículo distributivo

Dado un conjunto: A y dos leyes de composición internas: 1ª ley:  , 2ª ley:  , definidas en A, la terna   es una estructura álgebraica de álgebra de Boole si se cumple que:

  1.   es monoide conmutativo.
  2.   es monoide conmutativo.
  3.   es distributiva sobre  .
  4.   es distributiva sobre  .
 

Referencias editar

  1. Sigler, L.E. (1981). Álgebra (1ª. edición). Barcelona: Editorial Reverté. pp. 476. ISBN 9788429151299. http://www.reverte.com/isbn/9788429151299. 
  2. García Rua, J.,; Martínez Sánchez, J. M. (1977). «3». En Ministerio de Educación (en español). Matemática básica elemental. pp. 56. ISBN 9788436902167. 
  3. Fernandez Nvoa, Jesús (1991). «1» (en español). Análisis matemático I (4 edición). UNED. pp. 15. ISBN 978-84362-1668-4. 

Propiedades de las leyes de composición externas editar

Fundamentos de la Matemática/Propiedades de las leyes de composición externas

GNU Free Documentation License editar


Version 1.2, November 2002

Copyright (C) 2000,2001,2002  Free Software Foundation, Inc.
51 Franklin St, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
Everyone is permitted to copy and distribute verbatim copies
of this license document, but changing it is not allowed.

0. PREAMBLE editar

The purpose of this License is to make a manual, textbook, or other functional and useful document "free" in the sense of freedom: to assure everyone the effective freedom to copy and redistribute it, with or without modifying it, either commercially or noncommercially. Secondarily, this License preserves for the author and publisher a way to get credit for their work, while not being considered responsible for modifications made by others.

This License is a kind of "copyleft", which means that derivative works of the document must themselves be free in the same sense. It complements the GNU General Public License, which is a copyleft license designed for free software.

We have designed this License in order to use it for manuals for free software, because free software needs free documentation: a free program should come with manuals providing the same freedoms that the software does. But this License is not limited to software manuals; it can be used for any textual work, regardless of subject matter or whether it is published as a printed book. We recommend this License principally for works whose purpose is instruction or reference.

1. APPLICABILITY AND DEFINITIONS editar

This License applies to any manual or other work, in any medium, that contains a notice placed by the copyright holder saying it can be distributed under the terms of this License. Such a notice grants a world-wide, royalty-free license, unlimited in duration, to use that work under the conditions stated herein. The "Document", below, refers to any such manual or work. Any member of the public is a licensee, and is addressed as "you". You accept the license if you copy, modify or distribute the work in a way requiring permission under copyright law.

A "Modified Version" of the Document means any work containing the Document or a portion of it, either copied verbatim, or with modifications and/or translated into another language.

A "Secondary Section" is a named appendix or a front-matter section of the Document that deals exclusively with the relationship of the publishers or authors of the Document to the Document's overall subject (or to related matters) and contains nothing that could fall directly within that overall subject. (Thus, if the Document is in part a textbook of mathematics, a Secondary Section may not explain any mathematics.) The relationship could be a matter of historical connection with the subject or with related matters, or of legal, commercial, philosophical, ethical or political position regarding them.

The "Invariant Sections" are certain Secondary Sections whose titles are designated, as being those of Invariant Sections, in the notice that says that the Document is released under this License. If a section does not fit the above definition of Secondary then it is not allowed to be designated as Invariant. The Document may contain zero Invariant Sections. If the Document does not identify any Invariant Sections then there are none.

The "Cover Texts" are certain short passages of text that are listed, as Front-Cover Texts or Back-Cover Texts, in the notice that says that the Document is released under this License. A Front-Cover Text may be at most 5 words, and a Back-Cover Text may be at most 25 words.

A "Transparent" copy of the Document means a machine-readable copy, represented in a format whose specification is available to the general public, that is suitable for revising the document straightforwardly with generic text editors or (for images composed of pixels) generic paint programs or (for drawings) some widely available drawing editor, and that is suitable for input to text formatters or for automatic translation to a variety of formats suitable for input to text formatters. A copy made in an otherwise Transparent file format whose markup, or absence of markup, has been arranged to thwart or discourage subsequent modification by readers is not Transparent. An image format is not Transparent if used for any substantial amount of text. A copy that is not "Transparent" is called "Opaque".

Examples of suitable formats for Transparent copies include plain ASCII without markup, Texinfo input format, LaTeX input format, SGML or XML using a publicly available DTD, and standard-conforming simple HTML, PostScript or PDF designed for human modification. Examples of transparent image formats include PNG, XCF and JPG. Opaque formats include proprietary formats that can be read and edited only by proprietary word processors, SGML or XML for which the DTD and/or processing tools are not generally available, and the machine-generated HTML, PostScript or PDF produced by some word processors for output purposes only.

The "Title Page" means, for a printed book, the title page itself, plus such following pages as are needed to hold, legibly, the material this License requires to appear in the title page. For works in formats which do not have any title page as such, "Title Page" means the text near the most prominent appearance of the work's title, preceding the beginning of the body of the text.

A section "Entitled XYZ" means a named subunit of the Document whose title either is precisely XYZ or contains XYZ in parentheses following text that translates XYZ in another language. (Here XYZ stands for a specific section name mentioned below, such as "Acknowledgements", "Dedications", "Endorsements", or "History".) To "Preserve the Title" of such a section when you modify the Document means that it remains a section "Entitled XYZ" according to this definition.

The Document may include Warranty Disclaimers next to the notice which states that this License applies to the Document. These Warranty Disclaimers are considered to be included by reference in this License, but only as regards disclaiming warranties: any other implication that these Warranty Disclaimers may have is void and has no effect on the meaning of this License.

2. VERBATIM COPYING editar

You may copy and distribute the Document in any medium, either commercially or noncommercially, provided that this License, the copyright notices, and the license notice saying this License applies to the Document are reproduced in all copies, and that you add no other conditions whatsoever to those of this License. You may not use technical measures to obstruct or control the reading or further copying of the copies you make or distribute. However, you may accept compensation in exchange for copies. If you distribute a large enough number of copies you must also follow the conditions in section 3.

You may also lend copies, under the same conditions stated above, and you may publicly display copies.

3. COPYING IN QUANTITY editar

If you publish printed copies (or copies in media that commonly have printed covers) of the Document, numbering more than 100, and the Document's license notice requires Cover Texts, you must enclose the copies in covers that carry, clearly and legibly, all these Cover Texts: Front-Cover Texts on the front cover, and Back-Cover Texts on the back cover. Both covers must also clearly and legibly identify you as the publisher of these copies. The front cover must present the full title with all words of the title equally prominent and visible. You may add other material on the covers in addition. Copying with changes limited to the covers, as long as they preserve the title of the Document and satisfy these conditions, can be treated as verbatim copying in other respects.

If the required texts for either cover are too voluminous to fit legibly, you should put the first ones listed (as many as fit reasonably) on the actual cover, and continue the rest onto adjacent pages.

If you publish or distribute Opaque copies of the Document numbering more than 100, you must either include a machine-readable Transparent copy along with each Opaque copy, or state in or with each Opaque copy a computer-network location from which the general network-using public has access to download using public-standard network protocols a complete Transparent copy of the Document, free of added material. If you use the latter option, you must take reasonably prudent steps, when you begin distribution of Opaque copies in quantity, to ensure that this Transparent copy will remain thus accessible at the stated location until at least one year after the last time you distribute an Opaque copy (directly or through your agents or retailers) of that edition to the public.

It is requested, but not required, that you contact the authors of the Document well before redistributing any large number of copies, to give them a chance to provide you with an updated version of the Document.

4. MODIFICATIONS editar

You may copy and distribute a Modified Version of the Document under the conditions of sections 2 and 3 above, provided that you release the Modified Version under precisely this License, with the Modified Version filling the role of the Document, thus licensing distribution and modification of the Modified Version to whoever possesses a copy of it. In addition, you must do these things in the Modified Version:

A. Use in the Title Page (and on the covers, if any) a title distinct from that of the Document, and from those of previous versions (which should, if there were any, be listed in the History section of the Document). You may use the same title as a previous version if the original publisher of that version gives permission.
B. List on the Title Page, as authors, one or more persons or entities responsible for authorship of the modifications in the Modified Version, together with at least five of the principal authors of the Document (all of its principal authors, if it has fewer than five), unless they release you from this requirement.
C. State on the Title page the name of the publisher of the Modified Version, as the publisher.
D. Preserve all the copyright notices of the Document.
E. Add an appropriate copyright notice for your modifications adjacent to the other copyright notices.
F. Include, immediately after the copyright notices, a license notice giving the public permission to use the Modified Version under the terms of this License, in the form shown in the Addendum below.
G. Preserve in that license notice the full lists of Invariant Sections and required Cover Texts given in the Document's license notice.
H. Include an unaltered copy of this License.
I. Preserve the section Entitled "History", Preserve its Title, and add to it an item stating at least the title, year, new authors, and publisher of the Modified Version as given on the Title Page. If there is no section Entitled "History" in the Document, create one stating the title, year, authors, and publisher of the Document as given on its Title Page, then add an item describing the Modified Version as stated in the previous sentence.
J. Preserve the network location, if any, given in the Document for public access to a Transparent copy of the Document, and likewise the network locations given in the Document for previous versions it was based on. These may be placed in the "History" section. You may omit a network location for a work that was published at least four years before the Document itself, or if the original publisher of the version it refers to gives permission.
K. For any section Entitled "Acknowledgements" or "Dedications", Preserve the Title of the section, and preserve in the section all the substance and tone of each of the contributor acknowledgements and/or dedications given therein.
L. Preserve all the Invariant Sections of the Document, unaltered in their text and in their titles. Section numbers or the equivalent are not considered part of the section titles.
M. Delete any section Entitled "Endorsements". Such a section may not be included in the Modified Version.
N. Do not retitle any existing section to be Entitled "Endorsements" or to conflict in title with any Invariant Section.
O. Preserve any Warranty Disclaimers.

If the Modified Version includes new front-matter sections or appendices that qualify as Secondary Sections and contain no material copied from the Document, you may at your option designate some or all of these sections as invariant. To do this, add their titles to the list of Invariant Sections in the Modified Version's license notice. These titles must be distinct from any other section titles.

You may add a section Entitled "Endorsements", provided it contains nothing but endorsements of your Modified Version by various parties--for example, statements of peer review or that the text has been approved by an organization as the authoritative definition of a standard.

You may add a passage of up to five words as a Front-Cover Text, and a passage of up to 25 words as a Back-Cover Text, to the end of the list of Cover Texts in the Modified Version. Only one passage of Front-Cover Text and one of Back-Cover Text may be added by (or through arrangements made by) any one entity. If the Document already includes a cover text for the same cover, previously added by you or by arrangement made by the same entity you are acting on behalf of, you may not add another; but you may replace the old one, on explicit permission from the previous publisher that added the old one.

The author(s) and publisher(s) of the Document do not by this License give permission to use their names for publicity for or to assert or imply endorsement of any Modified Version.

5. COMBINING DOCUMENTS editar

You may combine the Document with other documents released under this License, under the terms defined in section 4 above for modified versions, provided that you include in the combination all of the Invariant Sections of all of the original documents, unmodified, and list them all as Invariant Sections of your combined work in its license notice, and that you preserve all their Warranty Disclaimers.

The combined work need only contain one copy of this License, and multiple identical Invariant Sections may be replaced with a single copy. If there are multiple Invariant Sections with the same name but different contents, make the title of each such section unique by adding at the end of it, in parentheses, the name of the original author or publisher of that section if known, or else a unique number. Make the same adjustment to the section titles in the list of Invariant Sections in the license notice of the combined work.

In the combination, you must combine any sections Entitled "History" in the various original documents, forming one section Entitled "History"; likewise combine any sections Entitled "Acknowledgements", and any sections Entitled "Dedications". You must delete all sections Entitled "Endorsements."

6. COLLECTIONS OF DOCUMENTS editar

You may make a collection consisting of the Document and other documents released under this License, and replace the individual copies of this License in the various documents with a single copy that is included in the collection, provided that you follow the rules of this License for verbatim copying of each of the documents in all other respects.

You may extract a single document from such a collection, and distribute it individually under this License, provided you insert a copy of this License into the extracted document, and follow this License in all other respects regarding verbatim copying of that document.

7. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS editar

A compilation of the Document or its derivatives with other separate and independent documents or works, in or on a volume of a storage or distribution medium, is called an "aggregate" if the copyright resulting from the compilation is not used to limit the legal rights of the compilation's users beyond what the individual works permit. When the Document is included in an aggregate, this License does not apply to the other works in the aggregate which are not themselves derivative works of the Document.

If the Cover Text requirement of section 3 is applicable to these copies of the Document, then if the Document is less than one half of the entire aggregate, the Document's Cover Texts may be placed on covers that bracket the Document within the aggregate, or the electronic equivalent of covers if the Document is in electronic form. Otherwise they must appear on printed covers that bracket the whole aggregate.

8. TRANSLATION editar

Translation is considered a kind of modification, so you may distribute translations of the Document under the terms of section 4. Replacing Invariant Sections with translations requires special permission from their copyright holders, but you may include translations of some or all Invariant Sections in addition to the original versions of these Invariant Sections. You may include a translation of this License, and all the license notices in the Document, and any Warranty Disclaimers, provided that you also include the original English version of this License and the original versions of those notices and disclaimers. In case of a disagreement between the translation and the original version of this License or a notice or disclaimer, the original version will prevail.

If a section in the Document is Entitled "Acknowledgements", "Dedications", or "History", the requirement (section 4) to Preserve its Title (section 1) will typically require changing the actual title.

9. TERMINATION editar

You may not copy, modify, sublicense, or distribute the Document except as expressly provided for under this License. Any other attempt to copy, modify, sublicense or distribute the Document is void, and will automatically terminate your rights under this License. However, parties who have received copies, or rights, from you under this License will not have their licenses terminated so long as such parties remain in full compliance.

10. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE editar

The Free Software Foundation may publish new, revised versions of the GNU Free Documentation License from time to time. Such new versions will be similar in spirit to the present version, but may differ in detail to address new problems or concerns. See http://www.gnu.org/copyleft/.

Each version of the License is given a distinguishing version number. If the Document specifies that a particular numbered version of this License "or any later version" applies to it, you have the option of following the terms and conditions either of that specified version or of any later version that has been published (not as a draft) by the Free Software Foundation. If the Document does not specify a version number of this License, you may choose any version ever published (not as a draft) by the Free Software Foundation.