Fundamentos de la Matemática/Teoría intuitiva de conjuntos

La teoría intuitiva de conjuntos, se basa en la capacidad intuitiva, innata, para poder entender esta parte de las matemáticas, según unos conceptos básicos sin una base teórica previa. La teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor entre otros autores, aquí no plantearemos teoría de ningún tipo, sino conceptos intuitivos.

Definiciones

Que es un conjunto: un conjunto es una agrupación de elementos hecho con cualquier criterio, por ejemplo: las cosas que hay encima de una mesa en un momento dado, los coches de una ciudad, las letras del alfabeto, las piezas de un motor, etc. son conjuntos.

Los conjuntos suelen representarse con letra mayúscula: A, B, C, ...

Que es un elemento: un elemento de un conjunto tiene carácter único, que tiene propiedades que lo hace diferénciale de los demás elementos del conjunto, puede haber propiedades que varios elementos de un mismo conjunto puede cumplir o no.

Los elementos suelen representarse con letras minúsculas: a, b, c ...

Que es el conjunto universal: el conjunto universal o de referencia es el conjunto que abarca todos los elementos que en cada caso podamos tratar, todos los conjuntos que en cada caso estemos tratando son subconjuntos de ese conjunto universal.

El conjunto universal suele representarse con la letra: U

Que es el conjunto vacío: el conjunto vacío es el que no tiene ningún elemento, suele representarse así: $\varnothing$

Definición por extensión

Un conjunto se define por extensión cuando se enumeran todos sus elementos, por ejemplo, podemos definir el conjunto de las vocales V:

$V=\{a,e,i,o,u\}$

o de días de la semana S:

$S=\{lunes,martes,mi{\acute {e}}rcoles,jueves,viernes,s{\acute {a}}bado,domingo\}$

Definición por comprensión

Cuando el conjunto se define por una o más propiedades o condiciones que los elementos del conjunto cumplen, el conjunto de las vocales V:

$V=\{x|x\;es\;una\;vocal\}$

El conjunto V se define como el conjuntos x tal que x sea una vocal. El conjunto de días de la semana S:

$S=\{x|x\;es\;un\;d{\acute {\imath }}a\;de\;la\;semana\}$

El conjunto S se define como el de los elementos x, tal que x sea un día de la semana.

Diagramas de Venn

Un diagrama de Venn es una representación grafica plana en la cual define un conjunto por una superficie cerrada, un circulo, un ovalo, un rectángulo etc, que delimita el conjunto y la relación entre varios conjuntos.

Se define el conjunto universal U y los conjuntos A y B:

$U=\{a,b,c,d,e,f\}$

El conjunto A:

$A=\{b,c,d\}$

El conjunto B:

$B=\{d,e\}$

---

Con el conjunto universal U y los conjuntos A y B:

$U=\{a,b,c,d,e,f\}$

El conjunto A:

$A=\{b,c\}$

El conjunto B:

$B=\{e,f\}$

---

Otro ejemplo con el conjunto universal U y los conjuntos A y B:

$U=\{a,b,c,d,e,f\}$

El conjunto A:

$A=\{b,c,d\}$

El conjunto B:

$B=\{c,d\}$

---

Relaciones de conjuntos

Dado el conjunto universal U:

$U=\{a,b,c,d,e,f\}$

Que señala que el conjunto esta formado por los elementos: a, b, c, d, e, f. Los elementos del conjunto se representan ente llaves y se separan por comas.

Los conjuntos A y B se representan:

$A=\{b,c\}$

$B=\{a,b,c,f\}$

$\varnothing =\{\}$

Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de él y se representa:

$f\in U\;,\quad f\notin A\;,\quad f\in B$

Que se puede leer: f es un elemento de U, f no es un elemento de A, f es un elemento de B.

Subconjunto, un conjunto A es subconjunto de otro B si todos los elementos de A pertenecen también a B. Todo conjunto es subconjunto de si mismo, el conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto.

$U\subseteq U\;,\quad A\subseteq U\;,\quad B\subseteq U\;,\quad \varnothing \subseteq U\;,\quad B\nsubseteq A$

Que se puede leer: U es un subconjunto de U, A es un subconjunto de U, B es un subconjunto de U, el conjunto vació es un subconjunto de U, B no es un subconjunto de A.

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.

$A\subseteq B\quad \land \quad B\subseteq A\quad \longleftrightarrow \quad A=B$

Si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A, es equivalente a que A y B son iguales.

Operaciones entre conjuntos

Dados unos conjuntos se pueden definir algunas operaciones:

Complemento de un conjunto: Dado un conjunto universal U y un conjunto A de U, el complemento de A es el formado por los elementos de U que no perteneces a A. Que se representa:

$A^{C}$

Se puede ver también que:

${A^{C}}^{C}=A$

El complemento del complemento de un conjunto es el mismo conjunto.

$U^{C}=\varnothing$

El complemento del conjunto universal es el conjunto vacío.

Del mismo modo:

$\varnothing ^{C}=U$

El complemento del conjunto vacío es el conjunto universal.

---

La unión de dos conjuntos: A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B. y se representa:

$A\cup B$

La operación unión es conmutativa:

$A\cup B=B\cup A$

La unión de A con B es igual a la unión de B con A.

La unión del conjunto universal con otro conjunto da como resultado el conjunto universal:

$U\cup A=U$

La unión de un conjunto con el conjunto vacío da como resultado el mismo conjunto:

$A\cup \varnothing =A$

---

La intersección de dos conjuntos: A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B. y se representa:

$A\cap B$

La operación intersección es conmutativa:

$A\cap B=B\cap A$

La intersección de A con B es igual a la intersección de B con A.

La intersección del conjunto universal con otro conjunto da como resultado ese conjunto:

$U\cap A=A$

La intersección de un conjunto con el conjunto vacío da como resultado el conjunto vacío:

$A\cap \varnothing =\varnothing$

Producto cartesiano

El producto cartesiano de dos conjuntos: A y B es una operación, que da como resultado otro conjunto: A*B, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el primer elemento del par ordenado pertenezca al primer conjunto y el segundo elemento pertenezca al segundo conjunto.

Por ejemplo, dados los conjuntos:

$A=\{1,2,3\}$

y

$B=\{a,b,c\}$

su producto cartesiano es:

${\begin{array}{r|ccc}c&(1,c)&(2,c)&(3,c)\\b&(1,b)&(2,b)&(3,b)\\a&(1,a)&(2,a)&(3,a)\\\hline A\times B&1&2&3\\\end{array}}$

Que se expresa:

$A\times B=\{(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)\}$

Cada uno de los elementos:

$(x,y)\in A\times B\;:\quad x\in A\;\land \;y\in B$

Un par ordenado: (x,y) de A*B, cumple que x pertenece a A e y pertenece a B.

El producto cartesiano no es conmutativo:

$A\times B\neq B\times A$

Y por tanto:

$(a,b)\neq (b,a)$

El par ordenado (a,b) es distinto del par ordenado (b,a).

Producto cartesiano, caso general

El caso general de producto cartesiano con n conjuntos, que designaremos como:

$A_{1},\;A_{2},\;A_{3},\;\ldots ,\;A_{n}$

Cada uno de los elementos del producto cartesiano de n conjuntos se denomina tupla:

$(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})\in A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\times \ldots \times A_{n}$

Bibliografía

1. Dávila Cervantes, Claudio Alberto; Pardo Montaño, Ana Melisa (2016) (en español). Teoría de conjuntos (1 edición). FLACSO. 

Enlaces externos

1. Teoría de Conjuntos
2. Capítulo 7: TEORIA DE CONJUNTOS