Fundamentos de la Matemática/Relación binaria

Un caso particular de relación matemática, y el más ampliamente estudiado y de mayor interés matemático en cuanto a su interés generalizado, el la relación binaria.

Una relación matemática es binaria si la relación es entre dos elementos, del mismo o de distintos conjuntos, si los dos elementos de la relación son del mismo conjunto se dice homogénea, si los dos conjuntos son distintos o los tomamos como distintos la relación se dice heterogénea, que comúnmente se denomina correspondencia

Dado el conjunto A:

$A=\{a,b,c,d\}$

y la relación binaria homogénea definida entre sus elementos:

${\mathcal {R}}=\{(a,b),(b,a),(b,c),(c,d),(d,d),(d,b)\}$

Que se representa en la figura de la derecha.

Esta misma relación puede representarse como heterogénea o correspondencia:

${\begin{array}{rrcl}{\mathcal {R}}:&A&\longrightarrow &A\\\end{array}}$

La relación R definida de A sobre A.

${\begin{array}{r|cccc}d&&&+&+\\c&&+&&\\b&+&&&+\\a&&+\\\hline A\times A&a&b&c&d\end{array}}$

El producto cartesiano se puede representar como un cuadrante, y la relación se señala con un signo: +, y en blanco si no existe relación. Los elementos del primer conjunto se ponen en el eje horizontal y los elementos del segundo conjunto en el vertical.

Los conjuntos de una correspondencia no tienen que ser iguales, como se indica en la definición de relación binaria heterogénea, sino que pueden ser de distinto tipo, a la derecha se puede ver una correspondencia entre un conjunto de pinceles: P, con otro de caras pintadas: C, asociando cada pincel de P, con la cara de C, que esta pintada del mismo color.