Fundamentos de la Matemática/Propiedades de las relaciones binarias homogéneas

Una relaciones binarias homogéneas, puede cumplir o no una determinada propiedad de la relación binaria homogénea según estas propiedades se determina una determinada estructura en el conjunto respecto a la relación binaria definida.

Dada la definición de relación binaria homogénea de un conjunto A y una propiedad P como el conjunto de pares ordenado R de A que cumple la propiedad P, ha de tenerse en cuenta que la relación binaria es ese conjunto de pares ordenados, que además puede cumplir otras propiedades, reflexiva, simétrica, transitiva, etc, normalmente se dice relación reflexiva, relación simétrica, etc.

Aquí diferenciaremos la relación de sus propiedades, y llamaremos relación al conjunto de pares ordenados de forma general o a sus subtipos, y llamaremos como propiedades a las que una relación puede o no cumplir, por lo tanto diremos: propiedad reflexiva, propiedad simétrica, propiedad transitiva, etc. Ayudando a diferenciar de este modo lo que una relación y sus subtipos de lo que son propiedades de una relación

Reflexividad

En una relación binaria homogénea la reflexividad determina la posible relación de un elemento con sigo mismo, en todos los casos, nunca o a veces.

Propiedad reflexiva

Una relación es reflexiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(a,b)\}$

Se dice que esta relación binaria homogénea es relación reflexiva, si cumple:

• Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A está relacionado con sigo mismo.

$\forall a\in A:\;(a,a)\in R$

Para todo a de A se cumple que (a,a) pertenece a R

Propiedad no reflexiva

Una relación es no reflexiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(a,b)\}$

Se dice que esta relación binaria homogénea es relación no reflexiva, si cumple:

• Relación no reflexiva: la relación R es no reflexiva si existen elementos a de A que no está relacionados con sigo mismo.

$\exists a\in A:\;(a,a)\notin R$

Existe a de A que cumple que (a,a) no pertenece a R

Propiedad irreflexiva

Una relación es irreflexiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(a,b)\}$

Se dice que esta relación binaria homogénea es relación irreflexiva, si cumple:

• Relación irreflexiva: la relación R es irreflexiva si ningún elemento a de A está relacionado con sigo mismo.

$\forall a\in A:\;(a,a)\notin R$

Para todo a de A se cumple que (a,a) no pertenece a R

Propiedad no irreflexiva

Una relación es no irreflexiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(a,b)\}$

Se dice que esta relación binaria homogénea es relación no irreflexiva, si cumple:

• Relación no irreflexiva: la relación R es no irreflexiva si existen elementos a de A que están relacionados con sigo mismo.

$\exists a\in A:\;(a,a)\in R$

Existen elementos a de A que cumplen que (a,a) pertenece a R

Propiedad arreflexiva

Una relación es arreflexiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(a,b)\}$

Se dice que esta relación binaria homogénea es relación arreflexiva, si cumple:

• Relación arreflexiva: la relación R es arreflexiva si existen elementos a de A que están relacionados con sigo mismo y existen elementos b de A que no están relacionados con sigo mismo.

${\Bigg \{}{\begin{array}{l}\exists a\in A\;:\;(a,a)\in R\\\exists b\in A\;:\;(b,b)\notin R\end{array}}$

Existen elementos a de A que cumplen que (a,a) pertenece a R y existen elementos b de A que cumplen que (b,b) no pertenece a R

Simetría

En una relación binaria homogénea la simetría determina la posible de que si un elemento a esta relacionado con otro b el b este relacionado con el a, en todos los casos, nunca o a veces.

Propiedad simétrica

Una relación es simétrica si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación simética, si cumple:

• Relación simétrica: la relación R es simétrica si el elemento a esta relacionado con b, entonces b esta relacionado con a.

$\forall a,b\in A\;:\;(a,b)\in R\quad \longrightarrow \quad (b,a)\in R$

Para todo a, b de A si cumple que (a,b) pertenece a R, entonces (b,a) también pertenece a R.

Propiedad no simétrica

Una relación es no simétrica si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación no simética, si cumple:

• Relación no simétrica: la relación R es no simétrica si existe el elemento a que esta relacionado con b y b no esta relacionado con a.

$\exists a,b\in A\;:\;(a,b)\in R\quad \land \quad (b,a)\notin R$

Existen a, b de A que cumple que (a,b) pertenece a R y (b,a) no pertenece a R.

Propiedad antisimétrica

Una relación es antisimétrica si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación antisimética, si cumple:

• Relación antesimétrica: la relación R es antisimetrica si el elemento a esta relacionado con b, entonces b no esta relacionado con a.

$\forall a,b\in A\;:\;(a,b)\in R\quad \longrightarrow \quad (b,a)\notin R$

Para todo a, b de A si cumple que (a,b) pertenece a R, entonces (b,a) no pertenece a R.

Propiedad no antisimétrica

Una relación es no antisimétrica si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación no antisimética, si cumple:

• Relación no antesimétrica: la relación R es no antisimetrica si existe el elemento a esta relacionado con b y b esta relacionado con a.

$\exists a,b\in A\;:\;(a,b)\in R\quad \land \quad (b,a)\in R$

Existe a, b de A que cumple que (a,b) pertenece a R y (b,a) pertenece a R.

Propiedad asimétrica

Una relación es asimétrica si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación asimética, si cumple:

• Relación asimétrica: la relación R es asimetrica si existe el elemento a que esta relacionado con b y b esta relacionado con a y existe el elemento c que esta relacionado con d y d no esta relacionado con c.

${\Bigg \{}{\begin{array}{l}\exists a,b\in A\;:\;(a,b)\in R\;\land \;(b,a)\in R\\\exists c,d\in A\;:\;(c,d)\in R\;\land \;(d,c)\notin R\end{array}}$

Existe a, b de A que cumple que (a,b) pertenece a R y (b,a) pertenece a R y existe c, d de A que cumple que (c,d) pertenece a R y (d,c) no pertenece a R.

Transitividad

En una relación binaria homogénea, la transitividad, determina la posible relación de un elemento con un segundo, la de este segundo con un tercero y la del primero con el tercero, en todos los casos, nunca o a veces.

Propiedad transitiva

Una relación es transitiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación transitiva, si cumple:

• Relación transitiva: la relación R es transitiva si el elemento a esta relacionado con b y b esta relacionad con c, entonces a esta relacionado con c.

$\forall a,b,c\in A\;:\;(a,b)\in R\;\land \;(b,c)\in R\quad \longrightarrow \quad (a,c)\in R$

Para todo a, b, c de A si se cumple que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertecece a R, entonces (a,c) pertenece a R.

Propiedad no transitiva

Una relación es no transitiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación no transitiva, si cumple:

• Relación no transitiva: la relación R es no transitiva si existen los elementos a que esta relacionado con b y b que esta relacionad con c y a no esta relacionado con c.

$\exists a,b,c\in A\;:\;(a,b)\in R\quad \land \quad (b,c)\in R\quad \land \quad (a,c)\notin R$

Existen a, b, c de A que cumple que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertecece a R y (a,c) no pertenece a R.

Propiedad intransitiva

Una relación es intransitiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación intransitiva, si cumple:

• Relación intransitiva: la relación R es intransitiva si el elemento a esta relacionado con b y b esta relacionad con c, entonces a no esta relacionado con c.

$\forall a,b,c\in A\;:\;(a,b)\in R\;\land \;(b,c)\in R\quad \longrightarrow \quad (a,c)\notin R$

Para todo a, b, c de A si se cumple que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertecece a R, entonces (a,c) no pertenece a R.

Propiedad no intransitiva

Una relación es no intransitiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación no intransitiva, si cumple:

• Relación no intransitiva: la relación R es no intransitiva si existen los elementos a que esta relacionado con b y b que esta relacionad con c y a esta relacionado con c.

$\exists a,b,c\in A\;:\;(a,b)\in R\quad \land \quad (b,c)\in R\quad \land \quad (a,c)\in R$

Existen a, b, c de A que cumple que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertecece a R y (a,c) pertenece a R.

Propiedad atransitiva

Una relación es atransitiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación atransitiva, si cumple:

• Relación atransitiva: la relación R es atransitiva si existen los elementos: a que esta relacionado con b y b que esta relacionado con c y a esta relacionado con c, y existen los elementos d que esta relacionado con e y e esta relacionado con f y d no esta relacionado con f.

${\Bigg \{}{\begin{array}{l}\exists a,b,c\in A\;:\;(a,b)\in R\;\land \;(b,c)\in R\;\land \;(a,c)\in R\\\exists d,e,f\in A\;:\;(d,e)\in R\;\land \;(e,f)\in R\;\land \;(d,f)\notin R\end{array}}$

Existen a, b, c de A que cumplen que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertenece a R y (a,c) pertenece a R y existen d, e , f de A que cumplen que (d,e) pertenece a R y (e,f) pertenece a R y (d,f) no pertenece a R.

Relación parcial o total

Una relación binaria homogénea es parcial si existen un par de elementoa: a, b del conjnto A: a esta relacionado con b, o b esta relacionado con a.

La relación es total si todo par de elementos: a, b del conjunto A: a esta relacionado con b o b esta relacionado con a.

Relación parcial

Una relación binaria R en el conjunto A es una relación parcial cuando se cumple que existen al menos dos elementos a, b que estan relacionado:

$\exists a,b\in A:\quad aRb\quad \lor \quad bRa$

Existen a, b de A que cumplen que a esta relacionada con b o b esta relacionada con a.

Los elementos a, b del conjunto A, que estan relacionados a con b o b con a se dicen comparables.

Los elementos a, b del conjunto A, que no estan relacionados ni a con b ni b con a se dicen no comparables.

Relación total

Una relación binaria R en un conjunto A es una relación total (o relación conexa) cuando se cumple que para cada dos elementos a y b de A, o a está relacionado con b o b está relacionado con a, esto es:

$\forall a,b\in A:\quad aRb\quad \lor \quad bRa$

Para todo a, b de A, se cumple que a esta relacionado con b o b esta relacionado con a.

Tenga en cuenta que esto implica una relación reflexiva.

Si relación binaria R en un conjunto A es de orden total, todos los elementos a, b de A son comparables.

Relación parcial y total

Una relación binaria R en un conjunto A es parcial si existen un par de elementos a, b de A y a esta relacionado con b.

Una relación binaria R en un conjunto A es total si para todo par de elementos a, b de A y a esta relacionado con b.

Toda relación total es parcial, dado que la relación total es un caso particular de relación parcial.

Relación parcial y no total

Una relación binaria R en un conjunto A es parcial si existen un par de elementos a, b de A y a esta relacionado con b.

Una relación binaria R en un conjunto A es no total si no para todo par de elementos a, b de A y a esta relacionado con b.

Toda relación es solo parcial, al ser no total.

Conjunto parcialmente ordenado y acotado

Es necesario que $(A,\precsim )$ cumpla las propiedades: reflexiva, antisimétrica y transitiva, por lo tanto un conjunto parcialmente ordenado, para que el conjunto pueda estar acotado.

Dado un conjunto A y una relación binaria $\precsim$ definida entre el conjunto A, que expresaremos $(A,\precsim )$ y la relación se representa:

$x,y\in A\;,\quad x\precsim y$

que se lee: siendo x e y elementos de A, x antecede a y.

La no relación se representa:

$x,y\in A\;,\quad x\not \precsim y$

que se lee: siendo x e y elementos de A, x no antecede a y

Conjunto acotado inferior

Diremos que el conjunto A está acotado inferiormente respecto a $\precsim$ si:

$\exists z\in A\;/\quad z\precsim x\quad \forall x\in A$

se cumple que existe un z de A tal que z antecede a x para todo x de A.

A los elementos z del conjunto se les denomina minimales.

Conjunto no acotado inferior

Diremos que el conjunto A no está acotado inferiormente respecto a $\precsim$ si:

$\neg \exists z\in A\;/\quad z\precsim x\quad \forall x\in A$

se cumple que no existe un z de A tal que z antecede a x para todo x de A.

Conjunto acotado superior

Diremos que el conjunto A está acotado superiormente respecto a $\precsim$ si:

$\exists y\in A\;/\quad x\precsim y\quad \forall x\in A$

se cumple que existe un y de A tal que x antecede a y para todo x de A.

A los elementos y del conjunto se les denomina maximales.

Conjunto no acotado superior

Diremos que el conjunto A no está acotado superiormente respecto a $\precsim$ si:

$\neg \exists y\in A\;/\quad x\precsim y\quad \forall x\in A$

se cumple que no existe un y de A tal que x antecede a y para todo x de A.

Conjunto acotado

Diremos que un conjunto está acotado, si está acotado superior e inferiormente.

Comjunto no acotado

Diremos que un conjunto es no acotado, si no está acotado superior ni inferiormente.

Elemento maximal y minimal

Dado el conjunto A formado por los elementos:

$A=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$

en el que se ha definido una relación binaria $\precsim$ representada en la figura, siendo $(A,\precsim )$ un conjunto parcialmente ordenado, los elementos y de A que cumplen:

$y\in A\;es\;maximal\;si:\quad \forall x\in A\;:\quad y\precsim x\quad \longrightarrow \quad y=x$

y de A es maximal si para todo x de A que cumple que y anteceda a x entonces y es igual a x.

Los elementos y de A se denominan maximales y definen una cuota superior en A, los elementos maximales no tiene porque ser únicos, en el ejemplo a, c y g son maximales de A.

Del mismo modo los elementos z de A que cumplen:

$z\in A\;es\;minimal\;si:\quad \forall x\in A\;:\quad x\precsim z\quad \longrightarrow \quad z=x$

z de A es minimal si para todo x de A que cumpla que x anteceda a z entonces z es igual a x.

se denominan minimales y definen una cuota inferior en A, los elementos minimales no tiene porque ser únicos, en el ejemplo d, g y h son minimales de A.

Se puede ver que el elemento g es maximal y minimal en A. Un elemento que es maximal y minimal al mismo tiempo se un elemento aislado.

Elemento máximo y mínimo

Dado el conjunto A formado por los elementos:

$A=\{a,b,c,d,e,f,g\}$

en el que se ha definido una relación binaria $\precsim$ representada en la figura, siendo $(A,\precsim )$ un conjunto parcialmente ordenado.

El elemento y de A que cumple:

$y\in A\;es\;m{\acute {a}}ximo\;si:\quad \forall x\in A\;/\quad x\precsim y$

se denomina máximo y define una cuota superior en A, el elemento máximo es único, en el ejemplo c es el máximo de A. El elemento máximo de un conjunto es el maximal unico en ese conjunto.

Del mismo modo el elemento z de A que cumple:

$z\in A\;es\;m{\acute {\imath }}nimo\;si:\quad \forall x\in A\;/\quad z\precsim x$

se denomina mínimo y define una cuota inferior en A, el elemento mínimo es único, en el ejemplo g es mínimo de A. El elemento mínimo de un conjunto es el minimal unico en ese conjunto.