Fundamentos de la Matemática/Propiedades de las leyes de composición internas

Véase también: w:Propiedades de las operaciones binarias

En álgebra las operaciones binarias internas en el conjunto A, o bien las aplicaciones de A x A en A:

${\begin{array}{rccl}\odot :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\odot b\end{array}}$

son las de mayor interés, porque se utilizan tanto en los sistemas numéricos como en relaciones binarias en los sistemas algebraicos. Las operaciones gozan de ciertas propiedades, usadas con frecuencia en la axiomatización de los diversos sistemas matemáticos, en palabras de George David Birkhoff.

Propiedades de una ley de composición interna

Dado un conjunto A no vacío y definida una aplicación de $A\times A$ sobre A, donde a cada par ordenado (a,b) se le asigna un valor c de A, que representamos: $(A,\odot )$

${\begin{array}{rccl}\odot :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\odot b\end{array}}$

La ley de composición: $(A,\odot )$ es interna dado que se cumple:

$\forall (a,b)\in A\times A\,:\quad \exists !c\in A\;\vert \quad c=a\odot b$

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

Pueden tener las siguientes propiedades:

Propiedad conmutativa

Véase también: w:Propiedad conmutativa

Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna $\odot$, que se representa: $(A,\odot )$, se dice que $\odot$ tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:

$\forall a,b\in A\;:\quad a\odot b=b\odot a$

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a.

Del mismo modo podemos decir que la ley de composición interna $\odot$, no es conmutativa en A si:

$\exists a,b\in A\;:\quad a\odot b\neq b\odot a$

Si existe algún a, b en A, que cumple que el resultado de operar a con b es distinto de operar b con a.

Propiedad anticonmutativa

La operación $\odot$ en A es anticonmutativa si:

$\forall a,b\in A\;:\quad a\odot b=-(b\odot a)$

Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al opuesto de operar b con a.

en general, para cualquier par de vectores a, b:

$\mathbf {a} \land \mathbf {b} =-(\mathbf {b} \land \mathbf {a} )$

Propiedad asociativa

Véase también: w:Propiedad asociativa

Sea A un conjunto no vacío y $\odot$ una operación binaria en A, se dice que $(A,\odot )$ es asociativa si, solo si:

$\forall a,b,c\in A\;:\quad (a\odot b)\odot c=a\odot (b\odot c)$

Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c.

También se puede decir que la operación $\odot$ no es asociativa si se cumple:

$\exists a,b,c\in A\;:\quad (a\odot b)\odot c\neq a\odot (b\odot c)$

Existen a, b, c en A que cumplen que operando a con b y el resultado con c es distinto de operar a con el resultado de operar b con c.

Propiedades con dos leyes de composición interna

Dado un conjunto A no vacío y definidas dos aplicación de A por A sobre A, donde a cada par ordenado (a,b) se le asigna con la operación $\odot$ un valor c de A y con la operación $\circledcirc$ el valor d de A que representamos: $(A,\odot ,\circledcirc )$.

${\begin{array}{rccl}\odot :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\odot b\end{array}}\quad \quad {\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &d=a\circledcirc b\end{array}}$

Pueden tener las siguientes propiedades:

Propiedad distributiva

Véase también: w:Propiedad distributiva

Dado un conjunto A no vacío en el que se han definidos dos operaciones internas, que expresaremos $(A,\odot ,\circledcirc )$, se dice que la operación $\odot$ es distributiva por la izquierda de $\circledcirc$ si se cumple:

$\forall a,b,c\in A\;:\quad a\odot (b\circledcirc c)=(a\odot b)\circledcirc (a\odot c)$

Del mismo modo se dice que la operación $\odot$ es distributiva por la derecha de $\circledcirc$ si se cumple:

$\forall a,b,c\in A\;:\quad (a\circledcirc b)\odot c=(a\odot c)\circledcirc (b\odot c)$

Una operación $\odot$ es distributiva sobre otra $\circledcirc$ si es distributiva por la derecha y por la izquierda.

Elementos distinguidos

Elemento neutro

Véase también: w:Elemento neutro

Si se tiene el conjunto A, no vacío, provisto de una operación binaria $\odot$, que indicaremos: $(A,\odot )$,

${\begin{array}{rccl}\odot :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\odot b\end{array}}$

Diremos que el elemento e, es el elemento neutro por la derecha si:

$\forall a\in A\;:\quad \exists e\in A\;\vert \quad e\odot a=a$

Para todo a de A, se cumple que existe e de A, tal que operando e con a el resultado es a.

Se demuestra que si hay otro elemento neutro por la derecha: $e^{,}\,$, tal que: $e^{,}\odot a=a$, entonces: $e=e^{,}$; hecho que se conoce como unicidad del elemento neutro.

Diremos que el elemento e, es el elemento neutro por la izquierda si:

$\forall a\in A\;:\quad \exists e\in A\;\vert \quad a\odot e=a$

Para todo a de A, se cumple que existe e de A, tal que operando a con e el resultado es a.

Se demuestra que si hay otro elemento neutro por la izquierda: $e^{,}\,$, tal que: $a\odot e^{,}=a$, entonces: $e=e^{,}$; hecho que se conoce como unicidad del elemento neutro.

Un elemento e es elemento neutro en $(A,\odot )$ si es elemento neutro por la derecha y por la izquierda.

$\forall a\in A\;:\quad \exists e\in A\;\vert \quad e\odot a=a\odot e=a$

Para todo a de A, se cumple que existe e de A, tal que el resultado de operar e con a es igual a operar a con e y es igual a a.

Elemento simétrico

Véase también: w:Elemento simétrico

Sea A un conjunto no vacío y $\odot$ una operación binaria:

${\begin{array}{rccl}\odot :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\odot b\end{array}}$

Se dice que un elemento $a\in A$ tiene:

El elemento simétrico por la izquierda respecto de la operación $\odot$ si:

$a\in A\;:\quad \exists {\overrightarrow {a}}\in A\;\vert \quad {\overrightarrow {a}}\odot a=e$

El elemento simétrico por la derecha respecto de la operación $\odot$ si:

$a\in A\;:\quad \exists {\overleftarrow {a}}\in A\;\vert \quad a\odot {\overleftarrow {a}}=e$

El elemento simétrico respecto de la operación $\odot$, si existe, es elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, esto es:

$a\in A\;:\quad \exists {\bar {a}}\in A\;\vert \quad {\bar {a}}\odot a=a\odot {\bar {a}}=e$

Un elemento simétrico ${\bar {a}}$ de $A\,$ es simétrico por la derecha del elemento $a\,$ y simétrico por la izquierda del elemento $a\,$. Donde e es el elemento neutro.

• En la operación suma, el elemento simétrico, se suele denominas opuesto o inverso aditivo.
• En la operación multiplicación, el elemento simétrico, se suele denominar inverso o inverso multiplicativo.

Elemento involutivo

Sea A un conjunto no vacío y $\odot$ una operación binaria:

${\begin{array}{rccl}\odot :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\odot b\end{array}}$

Diremos que $d\in A$ es elemento involutivo si:

$d\odot d=d$

• El 0 es elemento involutivo respecto a la suma en el conjunto Z de los números enteros:

$0+0=0$

• el 0 y 1 son elementos involutivos respecto de la multiplicación en el conjunto Z de los enteros:

$0\cdot 0=0\;,\quad 1\cdot 1=1$

Elemento absorbente

Véase también: w:Elemento absorbente

Sea A un conjunto no vacío y $\odot$ una operación binaria:

${\begin{array}{rccl}\odot :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\odot b\end{array}}$

Diremos que $s\in A$ es Elemento absorbente si:

$\forall a\in A\;:\quad \exists s\in A\;\vert \quad s\odot a=a\odot s=s$

Se denomina así al elemento s de A, tal que para todo a de A se cumple que operado s con a es igual que operas a con s y el resultado es s.

• 0 es elemento absorbente un sistema numérico multiplicativo.

$\forall x\in \mathbb {R} \;,\;\exists 0\in \mathbb {R} \;:\quad 0\cdot x=x\cdot 0=0$

• El conjunto vacío Ø es elemento absorbente para la intersección definida en el conjunto de partes de U.

$\forall A\subseteq U\;,\;\exists \varnothing \subseteq U\;:\quad \varnothing \cap A=A\cap \varnothing =\varnothing$

• El conjunto universal U es elemento absorbente para la unión definida en el conjunto de partes de U.

$\forall A\subseteq U\;,\;\exists U\subseteq U\;:\quad U\cup A=A\cup U=U$

Operación simétrica

Sea A un conjunto con una operación binaria $(A,\odot )$:

${\begin{array}{rccl}\odot :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\odot b\end{array}}$

por lo que cabe la ecuación:

$\forall a,b\in A\,,\quad \exists !c\in A\;:\quad a\odot b=c$

Si:

$a\odot b=c$

Si $(A,\odot )$ admite elementos simétricos, se define:

$a\odot b\odot {\overline {b}}=c\odot {\overline {b}}$

Agrupando:

$a\odot (b\odot {\overline {b}})=c\odot {\overline {b}}$

donde e es el elemento neutro:

$a\odot e=c\odot {\overline {b}}$

simplificando:

$a=c\odot {\overline {b}}$

La operación simétrica seria ${\overline {\odot }}$

$a=c\,{\overline {\odot }}\,b$

Que se definiria:

${\begin{array}{rccl}{\overline {\odot }}:&A\times A&\longrightarrow &A\\&(c,b)&\longmapsto &a=c{\overline {\odot }}b\end{array}}$