Fundamentos de la Matemática/Estructura algebráica de un conjunto y una ley de composición interna
Sea un conjunto: A y una ley de composición: , definida:
Dado que se cumple:
Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.
El par es una estructura definida en un unico conjunto con una sola ley de composición, que puede dar lugar a las estructuras algebráicas: magma, semigrupo, monoide o grupo, según las propiedades que cumpla.
|
Magma editar
Un Magma es una estructura algebraica de la forma donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna: .[1]
Siendo esta ley de composición una operación interna:
1.- Operación interna: La ley de composición: es interna si cumple:
Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.
El término magma se debe a la asociación de matemáticos franceses que se hace llamar Nicolás Bourbaki.[1] Durante algún tiempo compitió, para reflejar el mismo concepto, con la palabra grupoide, que tiene otros sentidos en matemática (ver grupoide), por lo que no es aconsejable su uso como sinónimo de magma.[2][3]
Magma conmutativo editar
Un Magma conmutativo o abeliano es una estructura algebraica de la forma donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna: .
Siendo esta ley de composición una operación interna y conmutativa:
1.- Operación interna: La ley de composición: es interna si cumple:
Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.
2.- Propiedad conmutativa: Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna , que se representa: , se dice que tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:
Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a.
Semigrupo editar
Un Semigrupo es una estructura algebraica de la forma donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna: .
Siendo esta ley de composición una operación interna y asociativa:
1.- Operación interna: La ley de composición: es interna si cumple:
Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.
2.- Propiedad asociativa: La ley de composición: cumple la propiedad asociativa si:
Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c.
Semigrupo conmutativo editar
Un Semigrupo conmutativo o abeliano es una estructura algebraica de la forma donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna: .
Siendo esta ley de composición una operación interna, asociativa y conmutativa:
1.- Operación interna: La ley de composición: es interna si cumple:
Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.
2.- Propiedad asociativa: La ley de composición: cumple la propiedad asociativa si:
Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c.
3.- Propiedad conmutativa: Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna , que se representa: , se dice que tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:
Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a.
Monoide editar
Un Monoide es una estructura algebraica de la forma donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna: .
Siendo esta ley de composición una operación interna, asociativa y elemento neutro:
1.- Operación interna: La ley de composición: es interna si cumple:
Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.
2.- Propiedad asociativa: La ley de composición: cumple la propiedad asociativa si:
Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c.
3.- Elemento neutro: Un elemento e es elemento neutro en si es elemento neutro por la derecha y por la izquierda.
Para todo a de A, se cumple que existe e de A, tal que el resultado de operar e con a es igual a operar a con e y es igual a a.
Monoide conmutativo editar
Un Monoide conmutativo o abeliano es una estructura algebraica de la forma donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna: .
Siendo esta ley de composición una operación interna, asociativa, elemento neutro y conmutativa:
1.- Operación interna: La ley de composición: es interna si cumple:
Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.
2.- Propiedad asociativa: La ley de composición: cumple la propiedad asociativa si:
Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c.
3.- Elemento neutro: Un elemento e es elemento neutro en si es elemento neutro por la derecha y por la izquierda.
Para todo a de A, se cumple que existe e de A, tal que el resultado de operar e con a es igual a operar a con e y es igual a a.
4.- Propiedad conmutativa: Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna , que se representa: , se dice que tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:
Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a.
Grupo editar
Un Grupo es una estructura algebraica de la forma donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna: .
Siendo esta ley de composición una operación interna, asociativa, con elemento neutro y elemento simétrico:
1.- Operación interna: La ley de composición: es interna si cumple:
Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.
2.- Propiedad asociativa: La ley de composición: cumple la propiedad asociativa si:
Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c.
3.- Elemento neutro: Un elemento e es elemento neutro en si es elemento neutro por la derecha y por la izquierda.
Para todo a de A, se cumple que existe e de A, tal que el resultado de operar e con a es igual a operar a con e y es igual a a.
4.- Elemento simétrico: El elemento simétrico en el conjunto A respecto de la operación , si es elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, esto es:
Un elemento simétrico de en es simétrico por la derecha del elemento y simétrico por la izquierda del elemento . Donde e es el elemento neutro.
Grupo conmutativo editar
Un Grupo conmutativo o abeliano es una estructura algebraica de la forma donde A es un conjunto en el que se ha definido una ley de composición interna: .
Siendo esta ley de composición una operación interna, asociativa, con elemento neutro, elemento simétrico y conmutativa:
1.- Operación interna: La ley de composición: es interna si cumple:
Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.
2.- Propiedad asociativa: La ley de composición: cumple la propiedad asociativa si:
Para todo a, b, c de A se cumple que operando a con b y el resultado con c es igual a operar a con el resultado de operar b con c.
3.- Elemento neutro: Un elemento e es elemento neutro en si es elemento neutro por la derecha y por la izquierda.
Para todo a de A, se cumple que existe e de A, tal que el resultado de operar e con a es igual a operar a con e y es igual a a.
4.- Elemento simétrico: El elemento simétrico en el conjunto A respecto de la operación , si es elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, esto es:
Un elemento simétrico de en es simétrico por la derecha del elemento y simétrico por la izquierda del elemento . Donde e es el elemento neutro.
5.- Propiedad conmutativa: Dado un conjunto no vacío A, en el que se ha definido una ley de composición interna , que se representa: , se dice que tiene la propiedad conmutativa en A si se cumple:
Para todo a, b de A, se cumple que el resultado de operar a con b es igual al de operar b con a.
Referencias editar
- ↑ 1,0 1,1 Bourbaki, Nicolas (1998) (en inglés). Éléments de mathématique - Àlgebre Chapitres 1-3 [Algebra I: Chapters 1-3]. Berlín: Springer-Velag. pp. 1. ISBN 3540642439.
- ↑ R. I. Grigorčuk, ed (2006) (en inglés). Topological and Asymptotic Aspects of Group Theory: AMS Special Sessions Probabilitistic and Asymptotic Aspects of Group Theory, March 26-27, 2004, Athens, Ohio, AMS Special Sessions and Topological Aspects of Group Theory, October 16-17, 2004, Nashville, Tennessee. American Mathematical Soc.. pp. 115. ISBN 0821857266. http://books.google.es/books?id=Y8UmywsqgXQC&pg=PA115&dq=groupoid+term+magma+algebra&hl=es&sa=X&ei=8B9mUYC5BsjD7AalgYFY&ved=0CDAQ6AEwAA#v=onepage&q=groupoid%20term%20magma%20algebra&f=false.
- ↑ Post-Modern Algebra-Chapter IV Universal Algebra pag. 284 (en inglés)