Funciones/Clasificación

Como habrán leído en el material teórico, hay tres categorías en las que se puede clasificar una función.

Estas son:

Función Biyectiva

Ejemplo de función biyectiva de dos conjuntos finitos, donde se puede ver que $|X|=|Y|$.

En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente, dada una función $f$:

${\begin{array}{rrcl}f:&X&\to &Y\\&x&\to &y=f(x)\end{array}}$

La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:

$\forall y\in Y\;:\quad \exists !\ x\in X\;/\quad f(x)=y$

Es decir, si para todo $y$ de $Y$ se cumple que existe un único $x$ de $X$, tal que la función evaluada en $x$ es igual a $y$.

Dados dos conjuntos $X$ e $Y$ finitos, entonces existirá una biyección entre ambos si y sólo si $X$ e $Y$ tienen el mismo número de elementos.

Cardinalidad y biyectividad

Dados dos conjuntos $\scriptstyle A$ y $\scriptstyle B$, entre los cuales existe una función biyectiva $\scriptstyle f:A\to B$ tienen cardinales que cumplen:

${\mbox{card}}(A)={\mbox{card}}(B)\,$

Homeomorfismo

• Mediante una función biyectiva se define un homeomorfismo o una aplicación topológica entre dos espacios topológicos, diciendo que es una transformación biyectiva y bicontinua.

Función Sobreyectiva

Ejemplo de función sobreyectiva.

En matemática, una función $\scriptstyle f\colon X\to Y\,$ es sobreyectiva (epiyectiva, suprayectiva, suryectiva, exhaustiva o subyectiva) si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando cada elemento de $\scriptstyle Y$ es la imagen de como mínimo un elemento de $\scriptstyle X$.

Formalmente,

$\forall y\in Y\quad \exists x\in X:\quad f(x)=y$

Cardinalidad y sobreyectividad

Dados dos conjuntos $\scriptstyle A$ y $\scriptstyle B$, entre los cuales existe una función sobreyectiva $\scriptstyle f:A\to B$, se tiene que los cardinales cumplen:

${\mbox{card}}(A)\geq {\mbox{card}}(B)$

Si además existe otra aplicación sobreyectiva $\scriptstyle g:B\to A$, entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre $\scriptstyle A$ y $\scriptstyle B$, por el teorema de Cantor-Bernstein-Schröder.

Función Inyectiva

Ejemplo de función inyectiva.

En matemáticas, una función $f\colon X\to Y$ es inyectiva si a elementos distintos del conjunto $X$ (dominio) les corresponden elementos distintos en el conjunto $Y$ (codominio) de $f$. Es decir, cada elemento del conjunto Y tiene a lo sumo una preimagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Así, por ejemplo, la función de números reales $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, dada por $f(x)=x^{2}$ no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como $f(2)$ y $f(-2)$. Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función $g:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+}$ entonces sí se obtiene una función inyectiva.

Definición formal

• De manera más precisa, la

función $f:X\to Y$ es inyectiva si, sólo si $a,b$ son elementos de $X$ tales que $f(a)=f(b)$, entonces $a=b$.

• O equivalentemente función $f:X\to Y$ es inyectiva si, sólo

si $a,b$ son elementos diferentes de $X$, entonces $f(a)\neq f(b)$

Simbólicamente,

$\forall \,a,b\in X,\ \ f(a)=f(b)\Rightarrow a=b$

que es equivalente a su contrarrecíproco

$\forall \,a,b\in X,\ \ a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)$

Para probar que una función no es inyectiva basta hallar dos valores distintos del dominio, pero sus imágenes en el codominio son iguales.

Cardinalidad e inyectividad

Dados dos conjuntos $\scriptstyle A$ y $\scriptstyle B$, entre los cuales existe una función inyectiva $\scriptstyle f:A\to B$ tienen cardinales que cumplen:

${\mbox{card}}(A)\leq {\mbox{card}}(B)$

Si además existe otra aplicación inyectiva $\scriptstyle g:B\to A$, entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B.

Fuente

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica