Funciones/Clasificación

Como habrán leído en el material teórico, hay tres categorías en las que se puede clasificar una función.

Estas son:

Función BiyectivaEditar

 
Ejemplo de función biyectiva de dos conjuntos finitos, donde se puede ver que  .

En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente, dada una función  :

 

La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:

 

Es decir, si para todo   de   se cumple que existe un único   de  , tal que la función evaluada en   es igual a  .

Dados dos conjuntos   e   finitos, entonces existirá una biyección entre ambos si y sólo si   e   tienen el mismo número de elementos.

Cardinalidad y biyectividadEditar

Dados dos conjuntos   y  , entre los cuales existe una función biyectiva   tienen cardinales que cumplen:


 

HomeomorfismoEditar

  • Mediante una función biyectiva se define un homeomorfismo o una aplicación topológica entre dos espacios topológicos, diciendo que es una transformación biyectiva y bicontinua. [1]

Función SobreyectivaEditar

 
Ejemplo de función sobreyectiva.

En matemática, una función   es sobreyectiva[2] (epiyectiva, suprayectiva,[2] suryectiva, exhaustiva[2] o subyectiva) si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando cada elemento de   es la imagen de como mínimo un elemento de  .

Formalmente,

 

Cardinalidad y sobreyectividadEditar

Dados dos conjuntos   y  , entre los cuales existe una función sobreyectiva  , se tiene que los cardinales cumplen:


 

Si además existe otra aplicación sobreyectiva  , entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre   y  , por el teorema de Cantor-Bernstein-Schröder.

Función InyectivaEditar

 
Ejemplo de función inyectiva.

En matemáticas, una función   es inyectiva si a elementos distintos del conjunto   (dominio) les corresponden elementos distintos en el conjunto   (codominio) de  . Es decir, cada elemento del conjunto Y tiene a lo sumo una preimagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Así, por ejemplo, la función de números reales  , dada por   no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como   y  . Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función   entonces sí se obtiene una función inyectiva.

Definición formalEditar

  • De manera más precisa, la

función   es inyectiva si, sólo si   son elementos de   tales que  , entonces  .

  • O equivalentemente función   es inyectiva si, sólo

si   son elementos diferentes de  , entonces  

Simbólicamente,

 

que es equivalente a su contrarrecíproco

  [3]

Para probar que una función no es inyectiva basta hallar dos valores distintos del dominio, pero sus imágenes en el codominio son iguales.

Cardinalidad e inyectividadEditar

Dados dos conjuntos   y  , entre los cuales existe una función inyectiva   tienen cardinales que cumplen:

 

Si además existe otra aplicación inyectiva  , entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B.

FuenteEditar

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

  1. Ayala y otros. "Elementos de topología general". ISBN 84-7829-006-0
  2. 2,0 2,1 2,2 Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales, ed (1999). Diccionario esencial de las ciencias. Espsa. ISBN 84-239-7921-0. 
  3. Este artículo carece de fuente bibliográfica