Física/Vibraciones mecánicas/Vibraciones libres y forzadas. Resonancia

Oscilacion armónica libre

Decimos que una partícula está sometida a un potencial armónico unidimensional cuando este es de la forma:

$\ V={\frac {1}{2}}kx^{2}$

O dicho de otro modo, cuando la fuerza a la que está sometido es del tipo:

${\vec {F}}=-kx{\hat {x}}$

Si planteamos la ecuación del movimiento ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ tenemos que:

$-kx=m{\frac {d^{2}x}{dx^{2}}}$

La solución de la ecuación diferencial es por tanto:

$\ x(t)=C_{1}e^{i\omega t}+C_{2}e^{-i\omega t}$

Redefiniendo variables:

$\ x(t)=A\cdot sin(\omega t+\delta )$

siendo

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

Oscilación armónica amortiguada

A continuación estudiaremos el caso de una partícula sometida a un potencial armónico y que sufre una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad.

La fuerza de rozamiento es de la forma:

${\vec {F}}_{r}=-b{\frac {dx}{dt}}$

La ecuación de movimiento queda por tanto:

$-kx-b{\frac {dx}{dt}}=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$

La solución en este caso es:

$x(t)=e^{-\gamma t}(C_{1}e^{\sqrt {\Delta t}}+C_{2}e^{-{\sqrt {\Delta t}}})$

siendo

$\gamma ={\frac {b}{2m}}\qquad \Delta =\gamma ^{2}-\omega ^{2}\qquad \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

A continuación analizaremos el movimiento resultante en función del signo del anterior discriminante:

Oscilador con amortiguamiento débil

Suponiendo la condición de que $\Delta <0$, definimos:

$\omega '={\sqrt {-\Delta }}={\sqrt {\omega ^{2}-\gamma ^{2}}}$

En este caso la solución de la ecuación de movimiento toma la forma:

$\ x(t)=e^{-\gamma t}(C_{1}e^{i\omega 't}+C_{2}e^{-i\omega 't})$

Redefiniendo variables:

$\ \ x(t)=A\cdot e^{-\gamma t}\cdot sin(\omega 't+\delta )$

Por tanto, la solución es un movimiento oscilante en torno a la posición de equilibrio cuya amplitud disminuye a medida que transcurre el tiempo.