Física/Vibraciones mecánicas/Ondas estacionarias

Introducción

Una onda estacionaria es una perturbación que cumple la función de onda teniendo la particularidad de que no transmite momento ni energía. Recuerdese que la ecuación de onda unidimensional viene dada por:

${\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}$

La solución general puede escribirse como la suma de dos perturbaciones que se desplazan en sentidos opuestos:

$\Phi =f(x-vt)+g(x+vt)$

Una onda estacionaria viene dada precisamente por la suma de dos perturbaciones iguales que se desplazan en sentidos opuestos. Como producto de tal interferencia se producen puntos en los que la perturbación se anula para todo instante denominados nodos.

Tratamiento matemático

Caso unidimensional

En este apartado analizaremos el caso de una onda estacionaria armónica en un medio unidimensional. Para empezar emplearemos la solución de la ecuación de ondas obtenida por separación de variables.

$\Phi (x,t)=\sum _{k}A_{k}\cdot sin(vkt+\delta )\cdot sin(kx+\phi )$

La anterior solución puede verificarse por simple sustitución en la ecuación de ondas. Supondremos que la onda está confinada en la región del espacio [0,a] de modo que $\Phi (0,t)=\Phi (a,t)=0$. Supondremos además que la onda es armónica de modo que nos restringiremos un solo valor de k.

$\Phi (x,t)=A_{k}\cdot sin(vkt+\delta )\cdot sin(kx+\phi )$

Aplicando las condiciones mencionadas obtenemos

$\Phi (x,t)=A_{k}\cdot sin(vkt+\delta )\cdot sin(kx)$

$ka=m\pi ,m\in \mathbb {N}$

Caso bidimensional

A continuación se estudiará el caso de una onda estacionaria bidimensional armónica confinada en un rectagulo de lados a y b. Análogamente al caso unidimensional la ecuación de ondas en coordenadas rectangulares tendrá la forma:

${\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}$

La solución será analogamente:

$\Phi (x,y,t)=\sum _{k_{x},k_{y}}A_{k_{x},k_{y}}\cdot sin(v\cdot {\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}\cdot t+\delta )\cdot sin(k_{x}x+\gamma )\cdot sin(k_{y}y+\phi )$

La onda esta confinada en un rectangulo de lados a y b de modo que han de cumplirse las condiciones $\Phi (0,y,t)=\Phi (x,0,t)=\Phi (a,y,t)=\Phi (x,b,t)=0$. Si a estas condiciones imponemos que en cada coordenado dispogamos de un modo propio obtenemos:

$\Phi (x,y,t)=A_{k_{x},k_{y}}\cdot sin(v\cdot {\sqrt {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}}\cdot t+\delta )\cdot sin(k_{x}x)\cdot sin(k_{y}y)$

$k_{x}a=n\pi ;k_{y}=m\pi ;n,m\in \mathbb {N}$

Ejemplos

Las ondas estacionarias puuedes presentarse en vibraciones unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales.

Ondas estacionarias unidimensionales

Si atas una cuerda a un muro y agitas el extremo libre de arriba abajo producirás una onda en la cuerda. El muro es demasiado rígido para agitarse, de modo que la onda se refleja y vuelve hacia ti desplazándose por la cuerda. Agitando la cuerda de cierta manera puedes hacer que la onda incidente (es decir, la onda original) y la onda reflejada formen una onda estacionaria en la que ciertos puntos de la cuerda llamamos nodos permanecen inmóviles. Los puntos de mayor amplitud de una onda estacionaria se conocen como antinodos. Los antinodos están en los puntos medios entre dos nodos.

Las ondas estacionarias son producto de la interferencia. Cuando dos ondas de la misma amplitud y longitud de onda pasan una sobre otra en direcciones contrarias, están siempre fuera de fase en los nodos. Los nodos son regiones estables de interferencia destructiva.

Ondas estacionarias bidimensionales

Cada uno de los modos normales de vibracion de una superficie constituye también una onda estacionaria. De este modo podemos observar ondas estacionarias en la superficie del agua o en la tela de un tambor (si despreciamos los efectos producidos por la atenuación).