Física/Lo que aprendí leyendo a Feynman - Electromagnetismo/Principio de mínima acción

Supongamos que tenemos una partícula que parte desde algún punto y se mueve libremente hasta otro punto. Si por ejemplo estamos en un campo gravitatorio, lanzamos la partícula de manera que suba y baje, va a realizar ese recorrido, de un punto a otro, en cierto tiempo. Si ahora cambiamos la trayectoria del punto inicial hasta el final la forma que sea pero que llegara exactamente en el mismo lapso de tiempo, entonces si calculamos la Energía Cinética en cada instante de la trayectoria, le restamos la energía potencial e integramos sobre la trayectoria recorrida, encontraremos que el valor obtenido es mayor que para el movimiento real.

O sea que podemos enunciar la primera Ley de Newton (F=ma) de otra manera: la energía cinética media menos la energía potencial media es tan pequeña como sea posible para la trayectoria de un objeto que va desde un punto hasta otro.

Si estamos en el caso del campo gravitatorio, en una dimensión en el eje x de forma vertical y con nuestra partícula con una trayectoria x(t), donde x es la altura sobre el suelo. Si tomamos la energía cinética menos la potencial en cada instante a lo largo de la trayectoria e integro respecto al tiempo desde el instante inicial $t_{1}$ partiendo desde cierta altura hasta el instante final $t_{2}$ en otro punto.

La integral es:

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[{\frac {1}{2}}m\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}-mgx\right]dt$

El movimiento real seguirá una clase de curva, en nuestro caso sería una parábola y nos va a dar un valor de la integral. Nos podríamos imaginar trayectoria diferente a la verdadera (de todas las formas que queramos), pero al calcular la energía cinética menos la potencial e integrar la trayectoria que nos imaginamos... entonces la integral mínima nos va a dar la trayectoria verdadera!

Si tomamos el caso de una partícula libre que no tenga energía potencial, cuando vaya de un punto a otro en un tiempo determinado, la integral de energía cinética será la mínima. Nuestra partícula irá a velocidad uniforme ya que no hay fuerzas actuando sobre ella. La velocidad media va a ser la misma en cada punto, esto es por que no sufre ningún cambio en su velocidad a lo largo de la trayectoria recorrida.

Si nuestra partícula está en un campo gravitatorio habrá energías potencial y cinética. Supongamos que lanzamos hacia arriba nuestra partícula, primero se va a elevar rápidamente y luego más lentamente. Entonces tendremos un mínimo para la diferencia entre las energías medias. Cada vez que sube la partícula crece la energía potencial, tendremos una diferencia menor si podemos llegar lo más pronto posible hasta donde hay una energía potencial alto. Entonces podemos quitar ese potencial de la energía cinética y obtener un promedio menor. Es mejor tomar un camino que suba logre de la energía potencial una cantidad de material negativo.

Tampoco puede subir ni demasiado rápido ni demasiado alto por que entonces utilizará demasiada energía cinética. La diferencia entre las dos energías debe ser tal que la cinética menos la potencial sea lo mas pequeña posible. A esta diferencia integrada respecto al tiempo le llamamos acción S.

Las energías son funciones del tiempo. Para cada trayectoria posible diferente obtendremos un número diferente para esta acción. Lo que queremos es encontrar la curva o camino en el espacio para el cual este valor es mínimo. A esta rama de las matemáticas se le llama cálculo de variaciones.

Para encontrar esta trayectoria verdadera usaremos el siguiente método: si tenemos una trayectoria verdadera (un mínimo). Si nos apartamos de un mínimo en una cantidad de primer orden, su desviación de la función respecto a su valor mínimo será solamente de segundo orden. Entonces una curva que difiera de la trayectoria verdadera un poco no nos producirá en primera aproximación un cambio en la acción.

Para ver esto llamemos x'(t) a la trayectoria verdadera. Sea x(t) una trayectoria de prueba que difiere de la trayectoria verdadera una pequeña cantidad $\eta (t)$. Llamemos S la acción para x(t) y S' la acción para x'(t). La diferencia entre S y S' en primer orden debe ser cero y en segundo orden puede diferir.

Debemos considerar que las 2 trayectorias comienzan y terminan en los mismos dos puntos $t_{1}$ y $t_{2}$, así podemos especificar nuestras condiciones de frontera por que sabemos que el apartamiento en los extremos es cero, esto es $\eta (t_{1})$ = 0 y $\eta (t_{2})$ = 0.

Ahora debemos sustituir $x(t)=x'(t)+\eta (t)$ en la fórmula para la acción

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[{\frac {1}{2}}m\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}-V(x)\right]dt$

Por lo que nos quedará

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[{\frac {1}{2}}m\left({\frac {d'x}{dt}}+{\frac {d\eta }{dt}}\right)^{2}-V(x'+\eta )\right]dt$

Al desarrollar el primer término cuadrático obtendremos términos de $\eta$ con potencias mayores a uno, pero ya habíamos hablado de nuestras condiciones de frontera por lo que solo nos interesa el primer orden. Ahora en el potencial $V$ consideraremos $\eta$ pequeña para poder desarrollar $V(x)$ en serie de Taylor y además despreciaremos todos los términos de segundo orden en adelante. Dado que nos estamos concentrando en la diferencia entre las dos trayectorias, que llamaremos $\delta {\mathcal {S}}$ tendremos:

$\delta S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[m{\frac {dx'}{dt}}{\frac {d\eta }{dt}}-\eta V'(x)\right]dt$

Sabemos que esta integral debe ser cero y también sabemos que $\eta$ evaluado en $t_{1}$ y $t_{2}$ es cero. Entonces podríamos tratar de manipular ${\frac {d\eta }{dt}}$ para introducir $\eta$. Ahora bien, queremos introducir $\eta$ para que desaparezcan sus derivadas respecto al tiempo y para que multiplique todos los términos de nuestra integral.

La variación de S está en la forma deseada porque cualquier cosa multiplicada por $\eta$ siempre es cero. La integral debe ser un mínimo para el camino que satisfaga la primera ley de newton en forma diferencial. El primer término es la masa por la aceleración y el segundo es la derivada de la energía potencial que es la fuerza. Así que para un sistema conservativo el principio de mínima acción da la respuesta correcta: la trayectoria que tiene la mínima acción es aquella que satisface la ley de Newton.

Esto lo hicimos solamente en una dimensión pero lo podemos generalizar a tres dimensiones. La trayectoria es alguna curva en el espacio y $\eta$ un vector, la variación de primer orden debe ser cero y podemos hacer el cálculo por medio de tres desplazamientos sucesivos. Así que tendríamos tres ecuaciones, una para cada dimensión.

Si tenemos dos partículas con una fuerza entre ellas, sumamos su energía cinética y su energía potencial. Puesto que cada una se mueve en tres dimensiones, su trayectoria varía y tendríamos seis ecuaciones.

Consideremos el caso de una partícula que se mueve de manera relativista. La acción estará dada por las ecuaciones del movimiento en forma relativista. El primer término es menos la masa en reposo $m_{0}$ por la velocidad de la luz al cuadrado por la integral de una función de la velocidad. Y en el segundo término tenemos el potencial escalar $\phi$ y el producto de la velocidad $\mathbf {v}$ y el potencial vectorial $\mathbf {A}$.

La función que se integra sobre el tiempo para obtener la acción se llama Lagrangiano ${\mathcal {L}}$ el cual es función de las velocidades $v_{\iota }$ y las posiciones $x_{\iota }$ de las partículas,

${\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}(x_{\iota },v_{\iota })dt$.

Ahora, analicemos una trayectoria real en el espacio-tiempo en una dimensión. Conocemos la trayectoria verdadera y pasa por un punto $''a''$ y otro punto $''b''$. Si la integral total nos da un mínimo entonces cada trayectoria infinitesimal de un punto a otro también nos da un mínimo. Como estamos considerando curvas infinitesimales, nuestros dos puntos están casi en el mismo lugar por lo que solamente debemos analizar la variación de primer orden en el potencial. Esto solamente depende de las derivadas del potencial en cada punto, o sea, la fuerza.

¿Por que una partícula toma la trayectoria según la cuál la acción va a ser mínima?, ¿por qué de tantas trayectorias que puede tomar, se va por “la verdadera”? Lo que ocurre es que analiza todas las trayectorias posibles y digamos que escoge el camino “más rápido”, un fenómeno análogo a la difracción de la luz. Recordemos que ocurre con la luz: si emprende una trayectoria que emplea un tiempo diferente, llegará con una fase diferente. La amplitud total es la suma de las amplitudes tomadas por los diferentes caminos que puede tomar. Cuando las fases coinciden se van sumando hasta llegar a una amplitud equilibrada. Ahora el camino dominante es aquel donde muchas trayectorias tienen la misma fase.

La mecánica cuántica (para el caso no relativista y despreciando el espín del electrón) nos dice: la probabilidad de que una partícula que parte del punto 1 en el tiempo $t_{1}$ llegue al punto 2 en el tiempo $t_{2}$ es el cuadrado de la amplitud de probabilidad. Para cada trayectoria imaginaria debemos calcular una amplitud y luego sumar cada una para llegar a la amplitud total. La amplitud correspondiente a cada trayectoria nos la indicará la integral de la acción S. La amplitud es proporcional a una constante por $e^{\frac {\iota S}{\hbar }}$. Donde el ángulo de fase es ${\frac {\iota S}{\hbar }}$ y $\hbar$ es la constante de Plank. Si $\hbar$ es muy pequeña y la acción tiene un valor grande las trayectorias se cancelarán ya que la fase entre dos puntos cercanos será muy distinta. Si la constante de Plank tiende a cero, la partícula irá por una trayectoria en particular para la cual la acción no varía en primera aproximación. De esta manera nos podemos olvidar de la probabilidad de que siga cualquier otra trayectoria.

Podemos describir la electrostática diciendo que una cierta integral es un máximo o mínimo. Si queremos encontrar el potencial $\phi$ en todo punto del espacio y conocemos la densidad de carga sabemos que:

$\nabla ^{2}\phi =-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$ (Ecuación de Piosson)

Si calculamos la integral de la energía potencial U* sobre todo el espacio

$U*={\frac {\epsilon _{0}}{2}}\int (\nabla \phi )^{2}dV-\int \rho \phi dV$

La distribución correcta del potencial $\phi$ será un mínimo. Para demostrar esto podemos tomar:

$\phi =\phi +f$ y

$\rho \phi =\rho \phi +\rho f$

y lo sustituimos en U*. Dejamos fuera los términos de segundo órden y las derivadas de f. Es casi el mismo procedimiento que hicimos al calcular S. Entonces:

$\Delta U*=\int \left(-\epsilon _{0}\nabla ^{2}\phi -\rho \right)fdV$

El término que está entre paréntesis debe ser cero, de esta manera llegamos a

$\nabla ^{2}\phi =-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

En la integral de $\Delta U*$.podemos reemplazar la integral de volumen de la divergencia por una integral de superficie:

$\int \nabla \cdot \left(f\nabla \phi \right)dV=\int f\nabla \phi \cdot \mathbf {n} da.$

Entonces f sigue siendo cero ya que si estamos integrando sobre todo el espacio, la superficie sobre la que estamos integrando está en el infinito.

¿Qué ocurre cuando no sabemos donde se encuentran todas las cargas?. Para esto supongamos que tenemos conductores sobre los que hay cargas repartidas de alguna forma. Integramos $U*$ sobre todo el espacio fuera de los conductores. Como $\phi$ no varía sobre el conductor, f es cero sobre toda la superficie, por lo que la integral de superficie seguirá siendo nula. Los límites de la integral de volumen solamente abarcarán el espacio entre los conductores, lo que nos llevará nuevamente a la ecuación de Poisson.

Así que la integral original de $U*$ es también un mínimo si la calculamos sobre el espacio exterior de conductores que están a potenciales fijos, o sea que toda función de prueba $\phi$ sera igual al potencial dado de los conductores cuando x,y,z es un punto sobre la superficie de un conductor. Si tenemos dos conductores a ciertos potenciales, estos se ajustarán de manera que $U*$ sea mínimo.

Supongamos que tenemos dos conductores en forma de condensador cilíndrico. El conductor interior tiene radio a y potencial V. El exterior tiene radio b y potencial cero. Si utilizamos la $\phi$ correcta y calculamos $U*$, nos debe dar la energía del sistema ${\frac {1}{2}}CV^{2}$ con una capacidad C correcta. Pero si el $\phi$ falso se aproxima al valor correcto entonces al calcular la capacidad C obtendremos una buena aproximación ya que su error será solamente en segundo orden. Si no conozco la capacidad se pueden utilizar estas aproximaciones para encontrarla, lo que debemos obtener es el menor valor de C. Si en el ejemplo del cilindro tenemos un potencial correspondiente a un campo constante, las condiciones a satisfacer son que la función vale V en t = a, cero en r = b. Al calcular $U*$ e igualándola con la energía del sistema, al despejar C tendremos una fórmula aproximada. Si la comparamos con la C verdadera notaremos una buena aproximación. Si consideramos un alambre delgado en el interior de un cilindro, el campo no será constante, pero si tomamos b/a muy pequeño el campo constante sí podrá ser una buena aproximación.

Para obtener una mejor aproximación podemos empezar por calcular C, su menor valor es el que más se aproxima al verdadero. Supongamos que el potencial es cuadrático en r, entonces el campo eléctrico será lineal. Esta forma cuadrática debe cumplir que $\phi$ sea igual a cero en r = b y que $\phi$ sea igual a V en r = a. Además introducimos una constante $\alpha$, entonces, al obtener el campo E lo elevamos al cuadrado e integramos sobre el volumen, además debemos darle a $\alpha$ valores arbitrarios hasta que tengamos el valor mínimo de C.