Física/Lo que aprendí leyendo a Feynman - Electromagnetismo/Las Ecuaciones de Maxwell

Las Ecuaciones de Maxwell

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Hasta antes de este capitulo hemos estudiado las ecuaciones de Maxwell por pedacitos, y ha llegado ya la hora de unirlos todos y retomar el conjunto completo de ecuaciones que hemos estudiado en los primeros capitulos. Tendremos la historia completa de los campos electromagneticos que pueden variar en el tiempo en cualquier manera. He aquí las cuatro ecuaciones de Maxwell:

$(I){\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

$(II){\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$

$(III){\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$

$(IV)c^{2}{\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {\vec {J}}{\epsilon _{0}}}+{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

La primera ecuación, la divergencia del campo eléctrico es la densidad de carga sobre epsilon, es cierto para campos dinámicos y estaticos. La tercera es la correspondiente ley general para campos magnéticos, como no existen cargas magnéticas, el flujo del campo magnético a través de cualquier superficie cerrada es siempre cero. La segunda ecuación, el rotacional del campo eléctrico es igual a la derivada del campo magnético con respecto al tiempo es la ley de Faraday, y es cierta en general también. La cuarta ecuación tiene un termino nuevo que que no hemos estudiado antes. Solo hemos estudiado la parte que es cierta para casos estáticos:

$(V){\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {\vec {J}}{\epsilon _{0}c^{2}}}$

Maxwell comenzó considerando las leyes conocidas y expresandolas en su forma diferencial. Él notó que había algo extraño con esta ultima ecuación: si tomos la divergencia, el lado izquierdo es cero (recordar que la divergencia de un rotacional siempre es cero). Esto requiere que la densidad de corriente siempre sea cero, pero si ocurre esto, entonces el flujo total de corriente a través de una superficie cerrada es también cero. Pero la ley de conservación de corriente nos dice que

$(VI)\nabla \cdot {\vec {J}}=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$

“El flujo de corriente de una superficie cerrada es el decremento de la carga dentro de la superficie.” Maxwell observó esta dificultad y propuso que podía ser evitada añadiendo el termino ${\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$ en la parte derecha de la ecuación (VI). Así obtenemos la cuarta ecuación de Maxwell:

$c^{2}{\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {\vec {J}}{\epsilon _{0}}}+{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

En tiempo de Maxwell no se acostumbraba a pensar en términos de campo abstractos. Maxwell explico sus ideas en términos de un modelo en el cual el vacío es como un sólido elástico y trato de explicar el significado de la nueva ecuación en términos del modelo mecánico. Hubo mucho desgano para aceptar esta teoría, primero por el modelo mismo y después porque no había justificación experimental. Pero hasta nuestros días se han hecho innumerables experimentos que nos dicen que las ecuaciones de Maxwell funcionan.

Veamos como el nuevo termino resulta ser lo que necesitábamos para evitar la dificultad encontrada por Maxwell. Tomando la divergencia de la ecuación (IV)

$\nabla \cdot (c^{2}{\vec {\nabla }}\times {\vec {B}})=\nabla \cdot ({\frac {\vec {J}}{\epsilon _{0}}}+{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}})$

$0=\nabla \cdot ({\frac {\vec {J}}{\epsilon _{0}}})+\nabla \cdot ({\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}})$

En el segundo termino, las derivadas con respecto al tiempo y a las coordenadas pueden ser intercambiadas, entonces la ecuación puede ser escrita:

$\nabla \cdot {\vec {J}}+\epsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot {\vec {E}}=0$

Y por la primera ecuación de Maxwell:

$\nabla \cdot {\vec {J}}=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$

¡¡La carga siempre se conserva!!

Ejemplos

1) Consideremos que pasa con una distribución de corriente radial con simetría esférica. Imaginemos una pequeña esfera con material radioactivo dentro de ella. Este material radioactivo arroja chorros de partículas de cargas. Entonces tendremos una corriente que sale de la esfera radialmente. Consideremos que tiene igual magnitud en todas direcciones. Sea la carga total dentro del radio r Q(r). Si la densidad de corriente radial al mismo radio es $J(r)$ entonces, por la conservación de corriente, se requiere que Q decresca a una tasa de

${\frac {\partial Q(r)}{\partial t}}=-4\pi r^{2}{\vec {j(r)}}$

Ahora, ¿Cuál será el campo magnético producido por estas densidades de corriente? Consideremos un loop como se ve en la figura, hay cierta corriente que atraviesa el loop, entonces esperamos que halla cierta circulación de campo magnético alrededor del loop. Pero tenemos una dificultad, ¿Cómo puede tener el campo magnético tener una dirección particular sobre la esfera? Si escogemos un loop diferente, podemos concluir que la dirección es exactamente puesta a la que teníamos antes, ¿Cómo puede haber entonces circulación de campo magnético alrededor de las corrientes?

Estamos salvados gracias a las ecuaciones de Maxwell. La circulación del campo magnético no solo depende de la corriente total a través del loop, sino también de la tasa de cambio respecto al tiempo del flujo de campo eléctrico a través de él. Debe ser que estas dos partes se cancelen. Veamos si esto funciona..

Corriente con simetría esférica

El campo eléctrico a una distancia r debe ser: $E={\frac {Q(r)}{4\pi \epsilon {0}r{2}}}$

Su derivada respecto al tiempo es:

${\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}{\frac {\partial Q}{\partial t}}$

Entonces, comparando con la tasa de decremento de la carga, tenemos que a cualquier radio r

${\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}=-{\frac {J}{\epsilon _{0}}}$

En la ecuación (IV) las dos fuentes se cancelan y el rotacional de B es siempre cero. No hay campo magneticos en este ejemplo.

2 Como segundo ejemplo, consideremos el campo magnético de un alambre usado para cargar un capacitor. Si la carga en el capacitor esta cambiando con el tiempo, la corriente en el alambre es dQ/dt. Es de esperarse que esta corriente cree un campo magnético que encierre en alambre. Supón que tomamos un loop, que es un circulo de radio r. Encontramos el campo magnético usando la Ley de Ampère:

$\oint {\vec {B}}\cdot {\vec {dl}}=B\oint dl=\mu _{0}I\rightarrow B={\frac {I}{2\pi r\mu _{0}}}$

Diagrama del ejmplo 2. El campo magnético cerca de un capacitor

Supón ahora que comenzamos a mover el loop hacia las placas del capacitor. Obtenemos el mismo resultado hasta que llegamos a las placas del condensador. Entre estas placas la corriente es cero. Entonces, ¿Se hace cero el campo magnético también? La ley de Maxwell nos dice que no, consideremos un loop circular, que llamaremos Loop2, cuyo plano pasa entre las placas del condensador, como se ve en la figura. La integral de línea alrededor del Loop2 es 2πrB, este debe ser igual a la derivada respecto al tiempo del campo eléctrico que pasa a través de la superficie que encierra el Loop2. Este flujo de campo eléctrico, es ${\frac {Q}{\epsilon _{0}}}$, donde Q es la carga en una de las placas del capacitor. Es lo que nos dice la ley de Gauss. Entonces tenemos:

$c^{2}2\pi rB={\frac {d}{dt}}({\frac {Q}{\epsilon _{0}}})={\frac {I}{\epsilon _{0}}}\rightarrow B={\frac {I}{2\pi r\mu _{0}}}$

Este resultado es bastante interesante, ya que es exactamente igual al que obtuvimos de considerar la corriente que pasa a través del alambre.

La Física Clásica

A continuación presentamos las ecuaciones que junto con las cuatro de Maxwell, encierran todo el conocimiento de la física clásica, es decir, la física conocida hasta antes de 1905:

Ley de Lorentz: ${\vec {F}}=q({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})$

Ley de Movimiento: ${\frac {d}{dt}}({\vec {p}})={\vec {F}}$ donde ${\vec {p}}=m{\vec {v}}$

Gravitación: ${\vec {F}}=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\hat {e}}_{r}$

Con estas ecuaciones podemos entender el reino completo de la física clásica. Primero tenemos las ecuaciones de Maxwell, que nos permiten conocer cuales son los campos eléctricos y magnéticos. Conociendo B y E, podemos encontrar la fuerza que actúa sobre las cargas que se mueven con velocidad v. Con la ley de movimiento podemos saber como responderan estas cargas a la fuerza que se le aplica. Y si queremos tener la historia completa debemos incluir la Ley de Gravitación.

Un campo viajero

Supondremos que tenemos una hoja de carga localizada en el plano yz. Esta hoja esta primero en reposo, e instantáneamente comienza a moverse con una velocidad ${\vec {u_{y}}}$ en la dirección y, y se mantiene en movimiento con velocidad constante. Entonces repentinamente tenemos una corriente superficial ${\vec {j}}$ (por unidad de anchura en el eje z). Para hacer las cosas más simples, supondremos que tenemos otra hoja de con carga estacionaria, pero con signo opuesto, superpuesta en el plano yz, así no tendremos que preocuparnos por efectos eléctricos. ¿Qué pasará? Como tenemos una corriente en la dirección y+ hay un campo magnético generado en la dirección z- para x>0 y en la dirección opuesta para x<0. Podemos encontrar la magnitud del campo magnético usando la ley de Ampère, y considerando un loop como se ve en la figura:

$\oint {\vec {B}}\cdot {\vec {dl}}=\mu _{0}I\rightarrow B(2w)=\mu _{0}wJ\rightarrow B=\mu _{0}J$

Esto nos da el campo magnético cerca de la hoja de carga, pero ya que estamos considerando una hoja de carga infinita, esperamos que el mismo argumento nos de el campo magnético lejos, para valores grandes de x. Pero, eso significaría que en el momento en que se genera la corriente, el campo magnético es cambiado súbitamente de cero a un valor finito en todos lados. Un momento! Si el campo magnético es cambiado tan bruscamente, tendríamos tremendo efectos eléctricos! Debido a que estamos moviendo la hoja con carga, producimos un campo magnético que varia, y entonces un campo eléctrico se genera. Existe algún ${\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$ que hará una contribución en la generación de campos magnéticos. Checando sólo las ecuaciones de Maxwell no resulta obvio cual sería la solución. Entonces explicaremos primero cual es la solución y luego probaremos que de hecho satisface las ecuaciones de Maxwell. Respuesta: El campo B que calculamos es el que se genera junto a la hoja de carga, es decir, para x pequeña. En esta parte no tenemos contribuciones del campo eléctrico inducido. Para x grande, B es cero, sigue siendo cero por un momento y de repente se enciende. En resumen: encendemos la corriente y el campo magnético inmediato junto a ella se enciende a un valor constante B, después B se esparce desde la región fuente. Después de un cierto tiempo hay un campo magnético en todos lados hasta un cierto valor de x, mas allá es cero. Debido a la simetría, se esparce en las direcciones de x<0 y x>0. El campo E hace la misma cosa. Antes de t=0 el E es cero en todos lados. Después de t, E y B están uniformemente distribuidos hasta una distancia x=v t, y cero después. Los campos se mueven como una ola de la marea, con un frente moviéndose a una velocidad uniforme que resulta ser la velocidad de la luz.

Analicemos ahora cuantitativamente que es lo que está pasando. Para ello consideraremos dos puntos de vista, uno desde arriba viendo hacia abajo a lo largo del eje y, como se ve en la figura (a) y uno lateral, viendo desde el eje z, como se observa en la figura (b). Empecemos considerando la vista lateral, vemos la hoja de carga moviéndose. B apunta hacia dentro de la pagina para x+ y hacia afuera para x-, el campo eléctrico es hacia abajo en todo lugar, para x=v t. Consideremos el loop rectangular de la figura. Tenemos algo de flujo magnético a través de él y como el frente de onda se esta moviendo, tendremos un flujo variable, ya que el área en que B existe esta creciendo progresivamente a una velocidad v.

Figura (a) Vista Superior de la hoja cargada

Figura (b) Vista Lateral de la hoja cargada

Veamos que nos dice la Ley de Faraday:

$\oint {\vec {E}}\cdot {\vec {dl}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\int {\vec {B}}\cdot {\vec {da}}$

$-EL=-{\frac {\partial }{\partial t}}(BL\Delta x)$

$EL=BL={\frac {\partial }{\partial t}}(\Delta x)\rightarrow E=Bv$

Entonces, si el cociente de E sobre B es v, los campos que hemos asumido satisfacen la Ley de Farady.De la cuarta ecuación de Maxwell, también conocida como ley de Ampère, encontramos otra relación entre E y B:

$c^{2}{\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {\vec {J}}{\epsilon _{0}}}+{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

Consideremos ahora la figura (b), que corresponde a la vista desde arriba. Si el loops estuviera después de la hoja de carga y detrás del frente de onda, observamos que J=0, E no esta cambiando y el rotacional de B es cero, por lo que la ecuación se cumple en esa región. Ahora consideremos el loop que se ve en la figura (a), en esa región J=0, y en la forma integral de la ecuación tenemos:

$c^{2}\oint {\vec {B}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {d}{dt}}\int {\vec {E}}\cdot {\vec {da}}$

$c^{2}BL=EL{\frac {d}{dt}}(\Delta x)=Elv\rightarrow c^{2}B=Ev$

Tenemos una solución en la que los campos E y B son constantes y viajan detrás del frente de onda, en ángulos rectos uno respecto al otro y ambos respecto al frente de onda. De las ecuaciones de Maxwell hemos obtenido las relaciones:

$E=v\cdot B$ y $E={\frac {c^{2}}{v}}B$

La única posibilidad para satisfacer estas dos relaciones es que $v=c$. El frente de onda debe viajar a la velocidad de la luz. Ahora veamos que pasa si, después de un tiempo T, detenemos el movimiento de la hoja con carga. Añadiremos una segunda hoja con carga y la comenzaremos a mover después un tiempo T en la dirección opuesta a la primera, con la misma velocidad. Al principio, la suma de la corriente será cero, después variará y volverá a cero después de un tiempo T. Tenemos un pulso cuadrado de corriente. La segunda corriente negativa produce los mismo campo eléctricos y magnéticos, sólo que con signos opuestos y retrasados un tiempo T. El frente de onda viaja a la velocidad de la luz también. Al tiempo t a alcanzado una distancia x=c(t-T), como se ve en la parte (ii) de la figura 5. En la parte (i) se muestran los campo E y B para la primera corriente, y en la parte (iii) se muestra la suma de los dos. Como podemos ver, tenemos un pequeño bloque de campos de ancho cT que ha dejado la hoja de corriente y viaja libre a través del espacio. ¿Cómo pueden estos campo mantenerse por si mismos? La respuesta nos la dan los efectos combinados de las ecuaciones de Faraday:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$

Y el termino que Maxwell añadió a la ley de Ampère:

$c^{2}{\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

Veamos como funciona: si, por ejemplo, B trata de desaparecer, en el proceso inducirá un campo eléctrico, y después, si este campo eléctrico trata de desaparecer, inducirá un campo magnético de nuevo. De esta manera se mantendrán en una danza perpetua propagándose a través del espacio.

Figura 5

La velocidad de la Luz

Desde el punto de vista histórico, , no era conocido que el coeficiente c en las ecuaciones de Maxwell era de hecho la

Velocidad de la luz. Era solo una constante en las ecuaciones. A partir de las ecuaciones

$(I){\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

$(IV)c^{2}{\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {\vec {J}}{\epsilon _{0}}}$

es posible determinar experimentalmente el valor de las constantes. Por ejemplo, podemos determinar $\epsilon _{0}$ midiendo la fuerza entre dos unidades de carga usando la ley de Coulomb y podemos encontrar el valor de $c_{2}$ midiendo la fuerza entre dos unidades de corriente (una unidad de corriente corresponde a una unidad de carga por segundo). Entonces solo con experimentos es posible encontrar el valor de $c_{2}$, que resulta ser el cuadrado de la velocidad de la luz. Cuando Maxwell hizo sus cálculos dijo que los campos eléctricos y magnéticos debían de propagarse a esta velocidad y que la luz consistía en ondulaciones del mismo que es la causa de los fenómenos eléctricos y magnéticos. Maxwell hizo una de las mas grandes unificaciones de la física, la luz ya no era sólo "algo más", sino que era sólo electricidad y magnetismo en esta nueva forma, pequeños trozos de campo E y B que se propagan solitos a través del espacio.

A continuación haremos una lista de tres verdades que hemos encontrado en estos dos últimos apartados:

1) Los campos eléctricos y magnéticos son perpendiculares a la dirección de movimiento del frente de onda

2) E y B son perpendiculares entre ellos

3)$\vert {\vec {E}}\vert =c\vert {\vec {B}}\vert$

Resolviendo las Ecuaciones de Maxwell

En esta sección escribiremos las ecuaciones de Maxwell en una forma más compacta. Empezaremos por considerar a las mas simple de las ecuaciones:

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$

Nosotros sabemos que B es el curl de algo, entonces, si escribimos:

${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}$

Ya hemos resuelto una de las ecuaciones. Ahora tomemos la ley de Faraday:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$

Sustituyend B por el rotacional del vector potencial obtenemos:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})$

Intercambiando el lugar de las derivadas del vector potencial y factorizando:

${\vec {\nabla }}\times ({\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}})=0$

Observamos que ${\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}$ es un vector cuyo rotacional es siempre cero. Entonces este vector es el gradiente de algo. Entonces escribimos:

${\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}=-{\vec {\nabla }}\phi$

resolviendo para el campo eléctrico tenemos:

${\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}$

Ahora ${\vec {A}}$ determina una parte de E tanto como una de B. Analizemos entonces que sucede si hacemos el cambio ${\vec {A}}$ por ${\vec {A'}}={\vec {A}}+{\vec {\nabla }}\Phi$ -recordemos que podemos hacer este cambio porque el rotacional de ${\vec {\nabla }}\Phi$ es cero, y el campo magnético se mantiene igual-. Ahora, para que la física no cambie será necesario también cambiar al potencial eléctrico junto con el vector potencial de la siguiente manera:

${\vec {A'}}={\vec {A}}+{\vec {\nabla }}\Phi$

$\phi '=\phi -{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}$

Así E y B se mantienen sin cambios. Ahora regresemos a las ecuaciones de Maxwell que nos restan. Sustituyamos el campo eléctrico que acabamos de obtener en la Ley de Gauss:

${\vec {\nabla }}\cdot (-{\vec {\nabla }}\phi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}})={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

y lo podemos escribir de la siguiente manera:

$(*)-\nabla ^{2}\phi -{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

Solo nos resta la ecuación más complicada, la cuarta ecuacion de Maxwell que iniciaremos por escribirla de la siguiente manera:

$c^{2}{\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}-{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}={\frac {\vec {J}}{\epsilon _{0}}}$

Sustituyendo B y E por sus potenciales:

$c^{2}{\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})+{\frac {\partial }{\partial t}}({\vec {\nabla }}\phi +{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}})={\frac {\vec {J}}{\epsilon _{0}}}$

Usando la identidad ${\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})={\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}})-\nabla ^{2}{\vec {A}}$ obtenemos:

$c^{2}{\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}})-c^{2}\nabla ^{2}{\vec {A}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {\nabla }}\phi +{\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}={\frac {\vec {J}}{\epsilon _{0}}}$

No muy simple ni agradable a la vista. Pero afortunadamente ahora podemos utilizar el hecho de que tenemos la libertad de elegir la divergencia de A. Antes, en magnetostática la habíamos elegido igual a cero, pero ahora haremos la siguiente elección:

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}$

De esta forma los términos centrales se cancelan, y solo nos queda:

$\nabla ^{2}{\vec {A}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\vec {J}}{\epsilon _{0}c^{2}}}$

y sustituyendo en la ecuación (*) que relaciona el potencial eléctrico y la densidad de corriente:

$\nabla ^{2}\phi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

¡Que hermoso par de ecuaciones! Están bellamente separadas, en una encontramos las densidades de carga y $\phi$ y en la otra las densidades de corriente y a A.

Como último punto, consideremos el caso donde ${\vec {J}}=0,\rho =0$, es decir, el espacio vacío. Entonces tendremos:

$\nabla ^{2}{\vec {A}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}$

$\nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}$

¡Acabamos de obtener la ecuación de onda en tres dimensiones! Esto nos dice que en regiones donde no hay cargas ni corrientes, la solución de las ecuaciones de Maxwell no es solamente $\phi =0,{\vec {A}}=0$ sino que podemos tener conjuntos de potenciales que están cambiando con el tiempo y moviéndose a velocidad c.