Física/Lo que aprendí leyendo a Feynman - Electromagnetismo/El potencial vectorial

Las fuerzas sobre un lazo de corriente; energía de un dipolo

Un lazo de corriente además de producir campos magnéticos también sufre fuerzas cuando se ubica en el campo magnético de estas corrientes; veremos primero las fuerzas sobre un lazo rectangular en un campo magnético uniforme, para ello consideraremos el eje $z$ en la dirección del campo y que el plano del lazo contenga al eje $y$ formando un ángulo $\theta$ con el plano $xy$ como en la figura.

Lazo rectangular recorrido por la corriente I ubicada en un campo uniforme ${\vec {B}}$ (en la dirección z). El torque sobre el lazo es ${\color {Black}{\vec {\tau }}}={\vec {\mu }}\times {\vec {B}}$, donde el momento magnético es $\mu =Iab$.

No hay una fuerza resultante sobre el lazo cuando el campo es uniforme porque como las corrientes son opuestas en lados opuestos del lazo, las fuerzas también lo son. Debido a las fuerzas sobre ambos lados del lazo hay un torque que tiende a rotar el lazo alrededor del eje $y$, el módulo de dichas fuerzas es

${\color {Black}F_{1}}={\color {Black}}F_{2}={\color {Black}}IBb$

El brazo del momento es es

${\color {Black}a}\;{\color {Black}\sin }\;{\color {Black}\theta }$

,

por lo tanto en torque es

${\color {Black}\tau }={\color {Black}Iab}\;{\color {Black}B}\;{\color {Black}\sin }\;{\color {Black}\theta }$

o, puesto que ${\color {Black}Iab}$ es el momento magnético del lazo,

${\color {Black}\tau }={\color {Black}\mu }B\;\sin \;\theta$

En forma vectorial:

${\color {Black}{\vec {\tau }}}={\vec {\mu }}\times {\vec {B}}$

.

El principio de los trabajos virtuales dice que el torque es la derivada de la energía con respecto al ángulo, es decir,

${\color {Black}dU}=-\gamma \;d\theta$

por la definición de ${\color {Black}\tau }$ e integrando, podemos escribir la energía

${\color {Black}U}=-\mu B\;\cos \;\theta \;+\;una\;constante.$

El signo es negativo porque el torque tiende a a linear el momento con el campo. Esta es sólo una parte de la energía, llamaremos a esta energía $U_{mec}$ para recordar que es solo una parte de la energía, así

$U_{mec}=-{\vec {\mu }}\cdot {\vec {B}}$

Y nuevamente hay correspondencia con nuestro resultado para un dipolo eléctrico:

$U=-{\vec {p}}\cdot {\vec {E}}$

La energía electrostática de esta última ecuación es ahora la energía verdadera, pero $U_{mec}$ no es la energía real, sin embargo puede ser utilizada para calcular las fuerzas, por el principio de los trabajos virtuales, suponiendo que la corriente en el lazo se mantiene constante (o por lo menos $\mu$).

Ahora imaginemos que queremos mover el lazo en la dirección x -hacia la región de campo más intenso- y que el lazo está orientado como se muestra en la siguiente figura:

Un lazo se desplaza en la dirección x a través del campo ${\vec {B}}$, perpendicular a $x$.

Partimos de un lugar en el que el campo es nulo e integramos el producto de la fuerza por la distancia recorrida al introducir el lazo dentro del campo. Primero vamos a calcular el trabajo efectuado sobre cada lado de manera aislada y después hacemos la suma. Las fuerzas de los lados 3 y 4 son perpendiculares a la dirección $y$ de movimiento y, por lo tanto, no realizan trabajo alguno. Sobre el lado 2 la fuerza es$IbB(x)$ en la dirección de $x$, y para obtener el trabajo realizado contra las fuerzas magnéticas hay que integrar desde un cierto $x$ donde el campo sea nulo, por ejemplo $x=-\infty$, hasta $x_{2}$, es decir, la posición actual:

$W_{2}=-\int _{-\infty }^{x_{2}}F_{2}\;dx=-Ib\int _{-\infty }^{x_{2}}B(x)\;dx$

(a)

el trabajo realizado sobre el lado 1 es

$W_{1}=-\int _{-\infty }^{x_{1}}F_{1}\;dx=Ib\int _{-\infty }^{x_{1}}B(x)\;dx$

(b)

Como el lado uno y el lado 2 son "iguales", su integral contiene todo el trabajo realizado sobre el lado 2. La suma de a y b es

$W=-Ib\int _{x_{1}}^{x_{2}}B(x)\;dx$

.

Pero si estamos en una región donde B es casi igual en los dos lados, la energía mecánica total que hemos proporcionado es

$U_{mec}=W=-Iab\;B=-\mu B$

(1)

Las energías mecánica y eléctrica

Imaginemos que el lazo de la figura anterior se mueve en dirección positiva del eje $x$ y tomemos el eje $z$ en la dirección de ${\vec {B}}$. Los electrones en el lado 2 experimentan una fuerza a lo largo del alambre en la dirección $y$. Pero debido a que fluyen no hay componente de su movimiento en la misma dirección de la fuerza. Por lo tanto cada electrón recibe por segundo un trabajo igual a $F_{y}v_{y}$, donde $v_{y}$ es la componente de la velocidad de los electrones en la dirección del alambre. Se llama trabajo eléctrico a este trabajo realizado sobre los electrones. Este nos dice que si el lazo se mueve en un campo uniforme, el trabajo eléctrico total es cero, puesto que se realiza un trabajo positivo en algún lugar del lazo y la misma cantidad de trabajo negativo se realiza en el otro. La energía total es proporcional al producto de la velocidad por el tiempo.

Ahora supongamos un sistema completo como en la siguiente figura, en el que movemos nuestro lazo con la corriente $I_{1}$ dentro del campo magnético ${\vec {B_{1}}}$ producido por la corriente $I_{2}$ en una bobina. Pero la corriente $I_{1}$ en el lazo crea igualmente un campo magnético ${\vec {B_{2}}}$ donde se encuentra la bobina.

La energía de un lazo pequeño en un campo magnético.

Si el lazo se desplaza, el campo ${\vec {B_{2}}}$ varía.

Cuando movemos el lazo hacia la bobina fija sabemos que su energía eléctrica es precisamente igual y opuesta al trabajo mecánico realizado. Entonces

${\color {Black}U_{mec}}+U_{elect}(lazo)=0$

Ahora supongamos que consideramos lo que sucede desde otro punto de vista, en el cual el lazo está en reposo y la bobina se mueve hacia él.

${\color {Black}U_{mec}+U_{elect}(bobina)=0}$

La energía mecánica es la misma en los dos casos porque se debe a la fuerza entre los dos circuitos. La suma de las dos ecuaciones da

${\color {Black}2U_{mec}}+U_{elect}(lazo)+U_{elect}(bobina)=0$

.

La energía total del mundo es realmente menos $U_{mec}$. Si deseamos la energía verdadera de un dipolo magnégtico por ejemplo, debemos escribir

${\color {Black}U_{total}=+{\vec {\mu }}\cdot {\vec {B}}}$

.

Si calculamos artificialmente sin tener en cuenta que la duente de potencial debe suministrar trabajo para mantener el voltaje constante, obtenemos la respuesta correcta. Esto es exactamente análogo a la cituación que se presenta en magnetostática.

La energía de las corrientes estacionarias

Podemos hallar la energía de un circuito de cualquier forma imaginándonos que está formado por pequeños lazos de corriente. Supongamos que tenemos un alambre de la forma de un lazo dado. Este lazo limita una superficie $S$ la cual está dividida en pequeños lazos que se pueden considerar planos. Si consideramos la corriente I circula por cada uno de los pequeños lazos, el resultado neto debe ser el mismo que la corriente por el lazo dado, puesto que las corrientes se anularán sobre todas las líneas internas del lazo mismo. Físicamente, el sistema de pequeñas corrientes es indistinguible del circuito original. La energía también debe ser la misma y es precisamente la suma de las energías de los pequeños lazos. Si la superficie de cada pequeño lazo es $\Delta a$, su energía $I\Delta aB_{n}$ donde $B_{n}$ es la componente normal a $\Delta a$. La energía total es

$U=\sum IB_{n}\Delta a$

.

Pasando al límite para lazos infinitesimales la suma se convierte en integral y

$U=I\int B_{n}\;da=I\int {\vec {B}}\cdot {\vec {n}}\;da$

,

donde ${\vec {n}}$ es el versor normal para $da$.

Si ponemos ${\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}$ podemos relcionar la integral de superficie con una de línea por Stokes:

$I\int _{s}({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})\cdot {\vec {n}}\;da=I\oint _{\gamma }{\vec {A}}\cdot d{\vec {s}}$

,

donde $ds$ es el elemento de línea a lo largo de $\gamma$. Tenemos así la energía para un circuit de cualquier forma:

$U=I\oint _{circuito}{\vec {A}}\cdot d{\vec {s}}$

Podemos considerar, si lo deseamos, a ${\vec {A}}$ como una especie de energía potencial de las corrientes en magnetostática.

B vs A

Nos referiremos a un campo "real" como a toda aquella función matemática que utilizamos para evitar la idea de acción a distancia. Si tenemos una partícula cargada en la posición P, la misma se ve afectada por otras cargas ubicadas a cierta distancia de P. Un modo de describir la interacción es diciendo que las otras cargas crean ciertas "condiciones" en las proximidades de P. Si conocemos esas condiciones, que describimos dando los campos eléctrico y magnético podemos determinar completamente el comportamiento de la partícula. Los físicos han introducido ${\vec {A}}$ porque tiene una gran significación en la física. No solamente se relaciona con la energía de las corrientes, sino que es también un campo físico "real" en el sentido descrito anteriormente. En mecánica clásica podemos escribir la fuerza sobre una partícula en la forma

${\vec {F}}=q({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})$

de manera que dada la fuerza todo lo relativo al movimiento está determinado. En cualquier región donde ${\vec {B}}=0$ aunque ${\vec {A}}$ no sea nulo, tal como en el exterior de una bobina, no hay efectos perceptibles de ${\vec {A}}$. Por esto durante mucho tiempo se pensó que ${\vec {A}}$ no era un campo real. Sin embargo se puede demostrar que hay fenómenos donde interviene la mecánica cuántica que muestran que el campo ${\vec {A}}$ es en efecto un campo "real" en el sentido que ya definimos con anterioridad.

El potencial vectorial y la mecánica cuántica

Consideremos el experimento imaginario en el cual los electrones son difractados por dos rendijas, como se muestra en la siguiente figura.Los electrones, aproximadamente todos de la misma energía, dejan la fuente y van hacia una pared con dos rendijas estrechas. Detrás de la pared se instala una pantalla con un detector móvil. El detector mide la cantidad por unidad de tiempo, que llamaremos I, de electrones que llegan a una pequeña región de la pantalla a una distancia $x$ del eje de simetría. La cantidad es proporcional a la probabilidad de que un electrón solo que deje la fuente puede llegar a esa región de la pantalla. Esta probabilidad presenta la distribución complicada que muestra la figura y que se puede comprender como debida a la interferencia de dos amplitudes, una por cada rendija. Si la distancia entre la pantalla y las rendijas es L y si la diferencia de los caminos recorridos por los electrones que pasan por las dos rendijas es a, la diferencia de las dos ondas dadas por

$\delta ={\frac {a}{k}}$

Tomé $k={\frac {\lambda }{2\pi }}$ donde $\lambda$ es la longitud de onda de la variación espacial de la amplitud de probabilidad. Para simplificar vamos a considerar solamente valores de $x$ mucho menores que L; y entonces podemos poner

$a={\frac {x}{L}}d$

y

$\delta ={\frac {x}{L}}{\frac {d}{k}}$

.

Cuando $x$ es cero, $\delta$ es cero; las ondas esán en fase y la probabilidad tiene un máximo. Cuando $\delta$ es $\pi$, las ondas están desfasadas, interfieren en forma destructiva y la probabilidad es un mínimo.

Lo que queremos es enunciar la ley que en la mecánica cuántica reemplaza la ley de la fuerza ${\vec {F}}=q{\vec {v}}\times {\vec {B}}$. Será la ley que determine el comportamiento de partículas en un campo electromagnético. Como lo que sucede está determinado por las amplitudes, la ley nos debe decir cómo afecta las amplitudes la influencia magnética; no hablamos más de la aceleración de una partícula. La ley es la siguiente: la fase de la amplitud de llegar por una trayectoria cualquiera es afectada por la prsencia de un campo magnético en una cantidad que es igual a la integral del potencial vectorial a lo largo de toda la trayectoria por la carga de la partícula dividida por la constante de planck. Esto es

$Variaci{\acute {o}}n\;magn{\acute {e}}tica\;de\;la\;fase\;={\frac {q}{\hbar }}\;\int _{trayectoria}{\vec {A}}\cdot d{\vec {s}}$

$Variaci{\acute {o}}n\;el{\acute {e}}ctrica\;de\;fase\;=-{\frac {q}{\hbar }}\int \Phi \;dt$

Cuando se coloca el campo magnético la fase será

$\Phi _{1}=\Phi _{1}(B=0)+{\frac {q}{\hbar }}\int _{(1)}{\vec {A}}\cdot d{\vec {s}}$

Para un solenoide largo por el que circula una corriente de electrones hay un campo ${\vec {B}}$ dentro pero no fuera de la bobina, mientras que hay montones de ${\vec {A}}$ circulando alrededor por fuera. Si creamos una situación en la cual los electrones se encuentren solamente en el exterior de la bobina solamente donde hay ${\vec {A}}$ existirá una influencia sobre el movimiento. Clasicamente esto es imposible. Clásicamente la fuerza depende solamente de ${\vec {B}}$; para saber si por la bobina circula corriente, la partícula la debe atravesar. Pero desde un punto de vista cuántico pueden encontrar que hay un campo magnético dentro de la bobina, andando a su alrededor, sin aproximarse jamás a ella.

Lo que es verdadero para la estática y falso para la dinámica

La ley de Coulomb es falsa y se debe usar solamente para la estática, la fuerza electromagnética (fuerza de Lorentz) ${\vec {F}}=q({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})$ es verdadera. Debemos abandonar la idea de que ${\vec {E}}$ es nulo en los conductores. Cuando los campos son variables, las cargas en los conductores no tienen en general tiempo de reacomodarse para anular el campo. Son puestas en movimiento pero nunca alcanzan el equilibrio. El único enunciado general es el siguiente: los campos eléctricos en los conductores producen corrientes.