Física/Lo que aprendí leyendo a Feynman - Electromagnetismo/Cálculo integral vectorial

Las leyes del electromagnetismo están escritas en lenguaje matemático. Se basan en teoremas básicos que describen a la teoría de campos y estos son de tal trascendencia como el teorema de la conservación de la energía es a la mecánica de partículas.

La base sólida en la cual se formula la teoría física asegura una comprensión importante y profunda de sus manifestaciones. Un edificio con cimientos resistentes permite una estructura confiable y duradera.

Una ligera desventaja consiste en que alguien con pocos conocimientos previos de teoría matemática (de campos) dificilmente entenderá y apreciará los encantos de unas ecuaciones, que si bien son abstractas, encierran un mundo de cosas tan cotidianas y tan básicas como una aurora boreal o una cámara digital.

Primer Teorema

Hablemos de cuánto cambia una cantidad con respecto a otra. El gradiente de una función vectorial representa cuánto ha cambiado una magnitud vectorial en un campo con respecto a otra magnitud. Hay que recordar que el gradiente de una función es la generalización del concepto de derivada y que el gradiente mismo de una función da una cantidad escalar (número). Dado que el gradiente representa en sí la razón de cambio en un intervalo, si sumamos todas las razones de cambio en un rango más grande, podemos obtener el cambio total. Un ejemplo sería el de querer medir la altura de una escalera, pero no contamos con una cinta métrica sino con solamente, un palillo de madera. Podemos empezar de la base he ir trazando lineas dónde empieza y dónde termina el palillo, haciendo una trayectoria lineal ascendente sobre el piso y luego sobre la escalera misma, después, sumamos todos los intervalitos para conseguir una razón total. La idea de sumar pedazo por pedazo nos dará lo mismo si hacemos la diferencia de la altura superior menos la inferior (base) con una cinta métrica. Ésto se resume en el siguiente teorema:

$\varphi (2)-\varphi (1)=\int _{1}^{2}{\vec {\nabla }}\varphi \cdot d{\vec {l}}\;\;\,\,\,Teorema\,de\,Gradientes$

La integral anterior es llamada integral de línea y es porque el diferencial $ds$ corresponde a una curva $l$ en la cual se traslada la dirección de la razón de cambio. Obsérvece que sólo nos interesa la componente paralela a la trayectoria (por eso el producto punto). Las integrales de línea son el límite de una suma de los componentes paralelos a la trayectoria de la función gradiente.

Segundo Teorema

Pongamos una bolsa de plástico alrededor de una foco en el techo. La cantidad de líneas de luz que atraviesan la bolsa es proporcional a la intensidad luminosa del foco. Entre más potente sea la luz que emana, mayor serán las líneas que atraviesen a la bolsa. Pero si ahora tomamos una bolsa de plástico más grande (un costal) y con ella encerramos al foco, la cantidad de líneas de luz que emanan del foco y que atraviesan a la superficie debe ser la misma, ya que conservamos el mismo foco. Lo que cambió fue la densidad de líneas de luz que atraviesan la bolsa. Ahora bien, sólo nos interesan los rayos de luz que salgan perpendicularmente a la bolsa, no nos interesaría contar a aquellos rayos misteriosos que se curven o salgan desviados por algún objeto material. Así pues, definimos un diferencial de área sobre cualquier superficie como el producto:$da=dxdy$

Entonces, todas aquellas líneas de flujo perpendiculares a este diferencial de área, serán tomadas en cuenta para calcular el flujo neto total. Gauss estableció esa propiedad para redactar el siguiente teorema:

$\int _{superficie}{\vec {C}}\cdot d{\vec {s}}=\int _{volumen}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {C}})dv\;\;\,\,\,Teorema\,de\,Gauss$

y se interpreta como sigue: del lado izquierdo tenemos una función vectorial ${\vec {C}}$ que cambia con la posición. Se toman todas las componentes de dicha función que tengan la misma dirección que el área de la superficie S y se suman. Del lado derecho vemos una operación vectorial: la divergencia de ${\vec {C}}$. Puede decirse que mide cuánto se separan unas de otras las líneas generadas por la función C dentro del volumen V. De aquí sale directamente la primera ecuación de Maxwell: Si encerramos una carga dentro de una superficie esférica: el flujo que sale perpendicular a la superficie será igual a la carga encerrada.

Tercer Teorema

Pensemos en una red de alambre tirada en el suelo, donde existen celdas interiores irregulares pero definidas, como una malla de tenis o un colador. Dicha red tiene forma de una rodaja de papa. El teorema de Stokes afirma que la suma de las componentes tangenciales de una función ${\vec {C}}$ por la línea $l$ que delimita la red es igual a la suma de las componentes normales de la operación ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {C}}$ sobre toda el área S.O sea, que a una línea de campo que rote sobre la línea que delimita una superficie estará relacionada con las líneas de campo que pasen a través de la superficie.

$\oint _{linea}{\vec {C}}\cdot d{\vec {l}}=\int _{superficie}({\vec {\nabla }}\times {\vec {C}})\cdot d{\vec {a}}\;\;\,\,\,Teorema\,de\,Stokes$

Observaciones Importantes

Se termina el capítulo con algunos hechos interesantes sobre el cálculo integral vectorial. Si pintamos una linea de gis que simbolizará nuestro andar de la puerta de la cocina a la sala, sin duda, será una trayectoria con longitud dada. Pero si seguimos trazando nuestra línea ahora de regreso al punto de partida, el cambio total de posición será cero, porque llegamos a donde partimos. Matemáticamente, éste hecho significa:

$\oint _{cerrada}{\vec {\nabla }}\varphi \cdot d{\vec {l}}=\int _{volumen}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {C}})dv\;\;\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

Utilizando el teorema de Stokes podemos concluir que:

$\int _{S\,cerrada}{\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}\varphi )d{\vec {a}}=0$

o sea que:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\varphi =0$

Pensemos un momento en las líneas de campo eléctrico generadas por una carga en el vacío... ¡son totalmente radiales! ¡para nada rotan! En pocas palabras, el rotacional de un divergente definido por un gradiente es cero siempre y cuando se cumpla con (1).

¿Pasará lo mismo al revés? Observemos un caso, digamos, al amarrar una bolsa. Pensemos que en el borde de dicha bolsa existe un cordón. Entonces, la curva que delimita a la bolsa es dicho cordón y la superficie es la de la bolsa. Conforme vamos cerrando la bolsa, la curva se hace cada vez más pequeña, pero la superficie está igual. El problema estriba en que si $l$ tiende a ser cero, entonces la integral

$\oint {\vec {M}}\cdot d{\vec {l}}=0$

porque $d{\vec {l}}$ tiende a cero. Entonces, por Stokes,

$\oint {\vec {M}}\cdot d{\vec {l}}=\int _{S}({\vec {\nabla }}\times {\vec {M}})\cdot d{\vec {a}}=0$

$\int _{S}({\vec {\nabla }}\times {\vec {M}})\cdot d{\vec {a}}=0$

Usando el Teorema de Gauss podemos relacionar este hecho y quedaría:

$\int _{S\,cerrada}({\vec {\nabla }}\times {\vec {M}})d{\vec {a}}=\int _{volumen\,dentro}{\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {M}})dv$

$\int _{volumen\,dentro}{\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}\times ({\vec {M}})dv=0$

y como esto es general para cualquier campo ${\vec {M}}$ en cualquier volumen, lo será también para todo punto:

${\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {M}})=0$

entonces, el divergente de un rotacional será cero siempre. Así son las cosas.