Física/Lo que aprendí leyendo a Feynman - Electromagnetismo/Cálculo diferencial de campos vectoriales

¿Por qué es importante el calculo diferencial en la física?. En nuestro mundo todo tiene una determinada posición en el espacio, pero no todo se queda en la misma posición ya que va cambiando debido a diversos factores. Estos fenómenos podemos verlos matemáticamente y podríamos utilizar el cálculo vectorial para tratar de explicarlos y comprenderlos. Para este debemos conocer perfectamente algunas leyes, propiedades y formulas para luego tratar de aplicarlas a determinados fenómenos físicos.

Comenzaremos este capítulo definiendo los campos escalares y vectoriales. Un campo escalar es una región donde un solo número caracteriza una serie de puntos como por ejemplo la temperatura, la longitud, el tiempo y la masa. Un campo vectorial es una región donde se da un vector para cada punto en el espacio, pero este vector tiene módulo, dirección y sentido y además varía de un punto a otro, por ejemplo la velocidad, la fuerza y la aceleración.

Describiremos algunas propiedades de los vectores:

A = vector (Ax, Ay, Az ) = componentes

A * B = escalar = AxBx + AyBy + AzBz

A x B = vector

    (A x B )z = AxBy - AyBx
    (A x B )x = AyBz - AzBy 
    (A x B )y = AzBx – AxBz

A x A = 0

A * (A x B ) = 0

A * (B x C) = ( A x B ) * C

A x ( B x C ) = B ( A * C) - C( A * B)

Analicemos un ejemplo de campo vectorial, el flujo de calor. Imaginemos que tenemos un bloque de algún material y que su temperatura sea alta en un punto y baja en otro, esto significa que la temperatura va variar de un punto a otro. Además recordemos que el calor se propaga del punto caliente el frío, por lo tanto fluirá en diferente dirección en cada punto del bloque. También mencionamos el módulo en las propiedades de campo vectorial, en este caso sería la cantidad de energía térmica que atraviesa por unidad de tiempo y de superficie en un punto.

El Gradiente

Representa el grado de variación espacial de un campo escalar. En el caso de la temperatura (T) sería su variación entre un punto y otro.¿Pero como saber que la temperatura es un escalar?. Imaginemos otra vez nuestro bloque, si rotamos nuestro sistema de coordenadas, esta rotación no cambiaría la temperatura “total”, únicamente las coordenadas varían. Para un campo escalar se escribiría


El operador nabla () representa el grado de variación espacial de algún escalar, su dirección es aquella en la que puede tomar el mayor valor posible, o sea donde el campo varía mas rápidamente. Este operador actúa sobre cualquier campo escalar.

Podemos usar nabla para un vector cualquiera como F. Sabemos por las propiedades de los vectores que el producto punto entre dos vectores es un escalar. A esto se le llama Divergencia:



Al aplicar el operador nabla a un rotacional tendremos un vector:



Derivadas segundas de los campos vectoriales

a)

b)


c)

d)


e)


Si analizamos el caso b), veremos por las propiedades de los vectores que tiene la misma forma que A x (A B)= (A x A)B = 0. El caso d) tiene la misma forma que A* (A x B) = 0.

Entonces podremos decir:

b)

d)


De estos casos podemos enunciar dos teoremas.

Teorema 1:

Si x A = 0 existe un tal que

  A =  


Teorema 2:

Si * D = 0 existe un C tal que

  D =  x C

Ahora analicemos el caso a). De este tendremos un nuevo operador llamado Laplaciano (). Este operador es un escalar y opera sobre cualquier sistema de coordenadas. También aparece en el caso e) Por lo tanto tendríamos:

a)

e)


Peligros

Consideremos la siguiente expresión:

A primera vista pensaríamos que es igual a cero, pero debemos hacer notar que y pueden ser diferentes escalares, por lo que el tomar el gradiente de cada uno de ellos nos darían diferentes vectores y eso implica que el rotacional ya no tendría que ser cero.