Física/Estática/Equilibrio de un punto en un campo de fuerzas

Equilibrio estable/inestable

En general la fuerza puede expresarse como

$\mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k}$

Para analizar las condiciones de equilibrio de un cuerpo puntual en un campo de fuerzas, suponiendo que las fuerzas son funciones matemáticas analíticas, conviene partir del desarrollo de primer orden en función de las coordenadas de posición. El desarrollo se hará, sin pérdida de generalidad, en torno al origen.

$\mathbf {F} (\Delta x,\Delta y,\Delta z)=\mathbf {F} (0,0,0)+{\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}(0,0,0)\Delta x\mathbf {i} +{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}(0,0,0)\Delta y\mathbf {j} +{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}(0,0,0)\Delta z\mathbf {k}$

Si el cuerpo puntual está en equilibrio la fuerza del campo en el origen se anula. Para que el equilibrio sea además estable la fuerza residual debe tender a devolver el cuerpo al origen para cualquier desplazamiento, es decir tener sentido opuesto al desplazamiento y por tanto

$\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}<0\\{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}<0\\{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}<0\end{matrix}}\right\}$

Campos conservativos

Dos caminos cualquiera en un campo conservativo de fuerzas

.

Si se trata de un campo conservativo se puede definir una función energía potencial que depende únicamente de la posición. Considerse el trabajo para desplazar el cuerpo de un punto 1 a otro 2 por un camino S1 y de nuevo a A por S2. Por la hipótesis de campo conservativo el trabajo total ha de anularse.

$\int \limits _{1S1}^{2}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\,d\mathbf {r} +\int \limits _{2S2}^{1}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\,d\mathbf {r} =0$

lo que significa que el trabajo no depende de la trayectoria.

$\int \limits _{1S1}^{2}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\,d\mathbf {r} =\int \limits _{2S2}^{1}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\,d\mathbf {r} =\int \limits _{1}^{2}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\,d\mathbf {r}$

Escogiendo arbitrariamente un valor para la energía potencial en un punto dado podemos definir

$U\left(\mathbf {r} \right)=U_{1}-\int \limits _{1}^{\mathbf {r} }\mathbf {F} (\mathbf {r} )\,d\mathbf {r}$

Calculemos la deriva parcial respecto a x de la funcion energía pontencial, para ello consideremos un pequeño desplazamiento en dicha dirección.

${\frac {\Delta U\left(\mathbf {r} \right)}{\Delta x}}={\frac {-\int \limits _{1}^{x+\Delta x,y,z}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\,d\mathbf {r} +\int \limits _{1}^{x,y,z}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\,d\mathbf {r} }{\Delta x}}=-{\frac {\int \limits _{x,y,z}^{x+\Delta x,y,z}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\,d\mathbf {r} }{\Delta x}}$

Asumiendo continuidad de la función fuerza, el teorema del valor medio permite escribir

${\frac {\Delta U\left(\mathbf {r} \right)}{\Delta x}}=-{\frac {F_{x}(x_{c},y,z)\Delta x}{\Delta x}}=-F_{x}(x_{c},y,z)$

Con $x_{c}\in \left(x,x+\Delta x\right)$

y en el límite

${\frac {\partial U\left(\mathbf {r} \right)}{\partial x}}=-F_{x}(x,y,z)$

y el gradiente de de la energía potencial es

$\nabla U\left(\mathbf {r} \right)=-\mathbf {F} (\mathbf {r} )$

Condiciones de equilibrio en campos conservativos

Las condiciones de equilibrio en un campo de fuerzas implican que la fuerza se anula en el punto y tiene derivadas parciales negativas. En un campo conservativo en el que se puede definir una función energía potencial esto equivale a que dicha energía potencial tenga las primeras derivadas parciales nulas y las segundas derivadas positivas, que matemáticamente imponen la existencia de un mínimo de energía potencial en punto de equilibrio.

Referencias

• Rañada y Menéndez Luarca, Antonio (1990). Dinámica Clásica. 84-206-8133-4.