Física/Dinámica de rotación/Teorema de Steiner

Teorema de Steiner

El teorema de Steiner establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de gravedad, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de gravedad de un cuerpo, más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

$I_{eje}=I_{eje}^{(CM)}+Mh^{2}\,$

Donde: I_eje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I^(CM)_eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de gravedad; M - Masa de la sección transversal y h - Distancia entre los dos ejes paralelos considerados. La demostración de este teorema resulta inmediata si consideramos la descomposición de coordenadas relativa al centro de masas C ${\bar {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} _{C}+\mathbf {h}$ inmediata:

$I_{eje}=\int _{V}{\bar {\mathbf {r} }}\cdot {\bar {\mathbf {r} }}\quad dm=\int _{V}(\mathbf {r} _{C}\cdot \mathbf {r} _{C}+2\mathbf {r} _{C}\cdot \mathbf {h} +\mathbf {h} \cdot \mathbf {h} )\quad dm=\int _{V}\mathbf {r} _{C}\cdot \mathbf {r} _{C}\quad dm+\int _{V}2\mathbf {r} _{C}\cdot \mathbf {h} \quad dm+\int _{V}\mathbf {h} \cdot \mathbf {h} \quad dm$

$I_{eje}=I_{eje}^{(CM)}+\underbrace {2\mathbf {h} \cdot \int _{V}\mathbf {r} _{C}dm} _{=0}+Mh^{2}$

Donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en torno al centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa.