Física/Cinemática/Velocidad

Diariamente escuchamos los conceptos de rapidez y aceleración como velocidad y aceleración solamente. Pero en física la velocidad y la aceleración son vectores, por lo que es claro y necesario su diferenciación y entendimiento. De aquí en adelante (más por costumbre que por ganas) llamaremos tanto a la rapidez y a la aceleración solamente como velocidad y aceleración (a menos que se especifique lo contrario). (velocidad y rapidez no son lo mismo!) la rapidez es una magnitud escalar, en cambio la velocidad es una magnitud vectorial. Además la rapidez se define como el modulo de la velocidad.

En física, velocidad es la magnitud física que expresa la variación de posición de un objeto en función del tiempo, o distancia recorrida por un objeto en la unidad de tiempo. Se suele representar por la letra ${\vec {v}}$. La velocidad puede distinguirse según el lapso considerado, por lo cual se hace referencia a la velocidad instantánea, la velocidad promedio, etc. En el Sistema Internacional de Unidades su unidad es el metro por segundo ${m}{s^{-1}}\,$ ó ${\frac {m}{s}}$.

En términos precisos, para definir la velocidad de un objeto debe considerarse no sólo la distancia que recorre por unidad de tiempo sino también la dirección y el sentido del desplazamiento, por lo cual la velocidad se expresa como una magnitud vectorial.

Velocidad

Si cubre una masa puntual en un punto P en un tiempo $\Delta t$ el tramo $\Delta {\vec {s}}$, se llamará al cociente ${\frac {\Delta {\vec {s}}}{\Delta t}}$ su velocidad media ${\vec {V}}_{m}$ en el intervalo de tiempo $\Delta t$ o en el tramo $\Delta {\vec {s}}$.

${\vec {V_{m}}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}$

Se observa que $\Delta s$ aquí no es el desplazamiento, sino la longitud de arco: es el camino recorrido.

La llamamos velocidad media porque la masa puntual no se mueve por el trayecto uniforme trazado. O sea estamos tomando sólo los puntos final e inicial para hacer los cálculos.

Hagamos el trayecto como Δs (de manera diferencial, o sea infinitesimal), al igual que al intervalo de tiempo Δt. Para Δs cercano a cero (o Δt cercano a cero, que tienda a cero) el cociente Δs/Δt como valor al límite, nos da la velocidad v de la masa puntual en el punto P, así:

$v=\lim _{\Delta s\to 0}{\frac {\Delta s}{\Delta t}}\equiv \lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta s}{\Delta t}}.$

En el análisis se puede calcular ese valor al límite también como ds/dt. Así:

$v={\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} t}}\,.$

Velocidad media o velocidad promedio

La velocidad media o velocidad promedio informa sobre la velocidad en un intervalo dado. Se calcula dividiendo el desplazamiento (delta x) por el tiempo transcurrido (delta t):

${\vec {v}}={\frac {\Delta {\vec {x}}}{\Delta t}}={\frac {{\vec {x}}_{f}-{\vec {x}}_{i}}{t_{f}-t_{i}}}$

Por ejemplo, si un objeto ha recorrido una distancia de 1 metro en un lapso de 31,63 segundos, el módulo de su velocidad media es:

${\vec {v}}={\frac {\Delta {\vec {x}}}{\Delta t}}={\frac {{\vec {x}}_{f}-{\vec {x}}_{i}}{t_{f}-t_{i}}}={\frac {1(m)-0(m)}{31,63(s)-0(s)}}={\frac {1(m)}{31,63(s)}}={0.0316(m/s)}$

Al módulo de la velocidad se le llama rapidez.

Velocidad vectorial

Vamos a ver ahora a una partícula, que atraviesa un espacio en una curva. Para el tiempo t se halla en P, para el tiempo t + Δt en Q. El lugar del punto esta descrito por su vector posición 'r'. Esta es una función de t y esta descrita por una función vectorial 'r'(t).

Así:

${\overrightarrow {r}}(t)=x\,{\overrightarrow {i}}+y\,{\overrightarrow {j}}+z{\overrightarrow {k}}$

y

${\overrightarrow {r}}(t+\Delta t)=\left({x+\Delta x}\right){\overrightarrow {i}}+\left({y+\Delta y}\right){\overrightarrow {j}}+\left({z+\Delta z}\right){\overrightarrow {k}}\,,$

donde i, j y k son los vectores unitarios de los ejes de coordenadas.

El desplazamiento de la partícula en un determinado intervalo de tiempo es:

$\Delta {\overrightarrow {r}}={\overrightarrow {r}}\left({t+\Delta t}\right)-{\overrightarrow {r}}\left(t\right)=\Delta x\,{\overrightarrow {i}}+\Delta y\,{\overrightarrow {j}}+\Delta z\,{\overrightarrow {k}}\,.$

El cociente Δr/Δt es la velocidad media (vectorial) v_m de la partícula en el intervalo de tiempo Δt. Es

${\frac {\Delta {\overrightarrow {r}}}{\Delta t}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}{\overrightarrow {i}}+{\frac {\Delta y}{\Delta t}}{\overrightarrow {j}}+{\frac {\Delta z}{\Delta t}}{\overrightarrow {k}}\,.$

Aquí es (mirar arriba: rapidez y aceleración) Δx/Δt la rapidez media de la partícula paralela al eje X, Δy/Δt la rapidez media paralela al eje Y y Δz/Δt la rapidez media paralela al eje Z en un intervalo Δt.

El vector resultante, del cociente Δr/Δt para Δt cercano a cero, se llama velocidad v_P = v'(t) de la partícula en P o en el tiempo t.

${\overrightarrow {v}}_{P}={\overrightarrow {v}}(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\overrightarrow {r}}}{\Delta t}}={\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {r}}}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}{\overrightarrow {i}}+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}{\overrightarrow {j}}+{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} t}}{\overrightarrow {k}}\,.$

La función vectorial v'(t) es la primera derivada de la función de posición r(t) en el tiempo.

${\overrightarrow {v}}(t)={\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {r}}}{\operatorname {d} t}}={\dot {\vec {r}}}$

Como se ve, son las componentes escalares del vector v(t) idénticos con la velocidad instantánea paralela a los ejes:

$v_{x}={\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}},\quad v_{y}={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}},\quad v_{z}={\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} t}}\,.$

El recta en el punto P en la dirección del vector v_P se llama La Tangente a la curva en P

Velocidad instantánea

Informa sobre la velocidad en un punto dado.

$v=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {d{s}}{dt}}$

En forma vectorial, la velocidad es la derivada (tangente) del vector posición respecto del tiempo:

$v=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {d{s}}{dt}}{\vec {v}}={\frac {ds}{dt}}\ {\vec {u}}_{t}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}$

donde ${\vec {u}}_{t}$ es un versor (vector de módulo unidad) de dirección tangente a la trayectoria de cuerpo en cuestión y ${\vec {r}}$ es el vector posición, ya que en el límite los diferenciales de espacio recorrido y posición coinciden.

Unidades de velocidad

• Metro por segundo (m/s), unidad de velocidad del Sistema Internacional de Unidades
• Kilómetro por hora (km/h) (uso coloquial)
• Kilómetro por segundo (km/s) (uso coloquial)