Física/Cinemática/Texto completo

La cinemática es una rama de la física dedicada al estudio del movimiento de los cuerpos en el espacio, sin atender a las causas que lo producen (lo que llamamos fuerzas). Por tanto la cinemática sólo estudia el movimiento en sí, a diferencia de la dinámica que estudia las interacciones que lo producen. El Análisis Vectorial es la herramienta matemática más adecuada para ellos

En cinemática distinguimos las siguientes partes:

• Cinemática de la partícula
• Cinemática del sólido rígido

La magnitud vectorial de la cinemática fundamental es el "desplazamiento" $\Delta {\vec {s}}$, que experimenta un cuerpo durante un lapso Δt. Como el desplazamiento es un vector, por consiguiente, sigue la ley del paralelogramo, o la ley de suma vectorial. Asi si un cuerpo realiza un desplazamiento "consecutivo" o "al mismo tiempo" dos desplazamientos ${\vec {a}}$ y ${\vec {b}}$, nos da un desplazamiento igual a la suma vectorial de a+b como un solo desplazamiento. ( ${\vec {a}}+{\vec {b}}=\Delta {\vec {s}}$)

Dos movimientos al mismo tiempo entran principalmente, cuando un cuerpo se mueve respecto a un sistema de referencia y ese sistema de referencia se mueve relativamente a otro sistema de referencia. Ejemplo: El movimiento de un viajero en un tren en movimiento, que esta siendo visto por un observador desde el terraplén. O cuando uno viaja en coche y observa las montañas y los árboles a su alrededor.

Observación sobre la notación: en el texto y en la ilustración se nombra a los vectores con letras negrillas y cursivas. En las fórmulas y ecuaciones, que se escriben con TeX, son vectores los que tienen una flecha sobre sus letras

Conceptos

Modelo físico: Para estudiar la realidad, los físicos se sirven de 'modelos' que, con cierta aproximación y en determinadas condiciones, corresponden con ella. Se usan para realizar cálculos teóricos. Así, puede modelizarse un balón con una esfera para, por ejemplo, calcular su volumen con cierta aproximación conociendo su radio aproximado, aunque no es exactos.

Punto: Es un modelo físico. Se refiere a un elemento de volumen despreciable (se considerará sin volumen) situado en el espacio (en 3D. Busca 'espacio euclidiano' para más detalles).

Posición: Llamamos posición de un punto a su localización con respecto a un sistema de referencia (lo que en física se llama 'observador').

Sistema de referencia: Es aquel sistema coordenado con respecto al cual se da la posición de los puntos y el tiempo (a determinadas velocidades el tiempo cambia, buscad la paradoja de los gemelos). Profundizaremos más en este tema cuando se aborde el de Movimiento relativo.

Tiempo: Por nuestro lenguaje parece complicado de definir. Los griegos dieron una solución que, por ahora, nos puede valer. Llamamos tiempo al contínuo transcurrido entre dos instantes.

Partícula puntual: Es un modelo físico. Se refiere a un elemento de tamaño diferencial (muy pequeño) y masa concentrada en su posición.

Sólido rígido o, simplemente, sólido: Es otro modelo físico. Puede definirse de varias formas. La más usada es la que lo hace como un cuerpo cuyas distancias entre partículas permanecen constantes con el tiempo. Aunque ésto no ocurre en la realidad, para esfuerzos moderados una mesa seguira siendo rígida, pero un globo puede no responder a éste modelo. Diariamente escuchamos los conceptos de rapidez y aceleración como velocidad y aceleración solamente. Pero en física la velocidad y la aceleración son vectores, por lo que es claro y necesario su diferenciación y entendimiento. De aquí en adelante (más por costumbre que por ganas) llamaremos tanto a la rapidez y a la aceleración solamente como velocidad y aceleración (a menos que se especifique lo contrario). (velocidad y rapidez no son lo mismo!) la rapidez es una magnitud escalar, en cambio la velocidad es una magnitud vectorial. Además la rapidez se define como el modulo de la velocidad.

En física, velocidad es la magnitud física que expresa la variación de posición de un objeto en función del tiempo, o distancia recorrida por un objeto en la unidad de tiempo. Se suele representar por la letra ${\vec {v}}$. La velocidad puede distinguirse según el lapso considerado, por lo cual se hace referencia a la velocidad instantánea, la velocidad promedio, etc. En el Sistema Internacional de Unidades su unidad es el metro por segundo ${m}{s^{-1}}\,$ ó ${\frac {m}{s}}$.

En términos precisos, para definir la velocidad de un objeto debe considerarse no sólo la distancia que recorre por unidad de tiempo sino también la dirección y el sentido del desplazamiento, por lo cual la velocidad se expresa como una magnitud vectorial.

Velocidad

Si cubre una masa puntual en un punto P en un tiempo $\Delta t$ el tramo $\Delta {\vec {s}}$, se llamará al cociente ${\frac {\Delta {\vec {s}}}{\Delta t}}$ su velocidad media ${\vec {V}}_{m}$ en el intervalo de tiempo $\Delta t$ o en el tramo $\Delta {\vec {s}}$.

${\vec {V_{m}}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}$

Se observa que $\Delta s$ aquí no es el desplazamiento, sino la longitud de arco: es el camino recorrido.

La llamamos velocidad media porque la masa puntual no se mueve por el trayecto uniforme trazado. O sea estamos tomando sólo los puntos final e inicial para hacer los cálculos.

Hagamos el trayecto como Δs (de manera diferencial, o sea infinitesimal), al igual que al intervalo de tiempo Δt. Para Δs cercano a cero (o Δt cercano a cero, que tienda a cero) el cociente Δs/Δt como valor al límite, nos da la velocidad v de la masa puntual en el punto P, así:

$v=\lim _{\Delta s\to 0}{\frac {\Delta s}{\Delta t}}\equiv \lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta s}{\Delta t}}.$

En el análisis se puede calcular ese valor al límite también como ds/dt. Así:

$v={\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} t}}\,.$

Velocidad media o velocidad promedio

La velocidad media o velocidad promedio informa sobre la velocidad en un intervalo dado. Se calcula dividiendo el desplazamiento (delta x) por el tiempo transcurrido (delta t):

${\vec {v}}={\frac {\Delta {\vec {x}}}{\Delta t}}={\frac {{\vec {x}}_{f}-{\vec {x}}_{i}}{t_{f}-t_{i}}}$

Por ejemplo, si un objeto ha recorrido una distancia de 1 metro en un lapso de 31,63 segundos, el módulo de su velocidad media es:

${\vec {v}}={\frac {\Delta {\vec {x}}}{\Delta t}}={\frac {{\vec {x}}_{f}-{\vec {x}}_{i}}{t_{f}-t_{i}}}={\frac {1(m)-0(m)}{31,63(s)-0(s)}}={\frac {1(m)}{31,63(s)}}={0.0316(m/s)}$

Al módulo de la velocidad se le llama rapidez.

Velocidad vectorial

Vamos a ver ahora a una partícula, que atraviesa un espacio en una curva. Para el tiempo t se halla en P, para el tiempo t + Δt en Q. El lugar del punto esta descrito por su vector posición 'r'. Esta es una función de t y esta descrita por una función vectorial 'r'(t).

Así:

${\overrightarrow {r}}(t)=x\,{\overrightarrow {i}}+y\,{\overrightarrow {j}}+z{\overrightarrow {k}}$

y

${\overrightarrow {r}}(t+\Delta t)=\left({x+\Delta x}\right){\overrightarrow {i}}+\left({y+\Delta y}\right){\overrightarrow {j}}+\left({z+\Delta z}\right){\overrightarrow {k}}\,,$

donde i, j y k son los vectores unitarios de los ejes de coordenadas.

El desplazamiento de la partícula en un determinado intervalo de tiempo es:

$\Delta {\overrightarrow {r}}={\overrightarrow {r}}\left({t+\Delta t}\right)-{\overrightarrow {r}}\left(t\right)=\Delta x\,{\overrightarrow {i}}+\Delta y\,{\overrightarrow {j}}+\Delta z\,{\overrightarrow {k}}\,.$

El cociente Δr/Δt es la velocidad media (vectorial) v_m de la partícula en el intervalo de tiempo Δt. Es

${\frac {\Delta {\overrightarrow {r}}}{\Delta t}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}{\overrightarrow {i}}+{\frac {\Delta y}{\Delta t}}{\overrightarrow {j}}+{\frac {\Delta z}{\Delta t}}{\overrightarrow {k}}\,.$

Aquí es (mirar arriba: rapidez y aceleración) Δx/Δt la rapidez media de la partícula paralela al eje X, Δy/Δt la rapidez media paralela al eje Y y Δz/Δt la rapidez media paralela al eje Z en un intervalo Δt.

El vector resultante, del cociente Δr/Δt para Δt cercano a cero, se llama velocidad v_P = v'(t) de la partícula en P o en el tiempo t.

${\overrightarrow {v}}_{P}={\overrightarrow {v}}(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\overrightarrow {r}}}{\Delta t}}={\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {r}}}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}{\overrightarrow {i}}+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}{\overrightarrow {j}}+{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} t}}{\overrightarrow {k}}\,.$

La función vectorial v'(t) es la primera derivada de la función de posición r(t) en el tiempo.

${\overrightarrow {v}}(t)={\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {r}}}{\operatorname {d} t}}={\dot {\vec {r}}}$

Como se ve, son las componentes escalares del vector v(t) idénticos con la velocidad instantánea paralela a los ejes:

$v_{x}={\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}},\quad v_{y}={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}},\quad v_{z}={\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} t}}\,.$

El recta en el punto P en la dirección del vector v_P se llama La Tangente a la curva en P

Velocidad instantánea

Informa sobre la velocidad en un punto dado.

$v=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {d{s}}{dt}}$

En forma vectorial, la velocidad es la derivada (tangente) del vector posición respecto del tiempo:

$v=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {d{s}}{dt}}{\vec {v}}={\frac {ds}{dt}}\ {\vec {u}}_{t}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}$

donde ${\vec {u}}_{t}$ es un versor (vector de módulo unidad) de dirección tangente a la trayectoria de cuerpo en cuestión y ${\vec {r}}$ es el vector posición, ya que en el límite los diferenciales de espacio recorrido y posición coinciden.

Unidades de velocidad

• Metro por segundo (m/s), unidad de velocidad del Sistema Internacional de Unidades
• Kilómetro por hora (km/h) (uso coloquial)
• Kilómetro por segundo (km/s) (uso coloquial)

Referencias

La aceleración es la magnitud física que mide la tasa de variación de la velocidad respecto del tiempo. Las unidades para expresar la aceleración serán unidades de velocidad divididas por las unidades de tiempo (en unidades del Sistema Internacional generalmente).

No debe confundirse la velocidad con la aceleración, pues son conceptos distintos, acelerar no significa ir más rápido, sino cambiar de velocidad.

Se define la aceleración media como la relación entre la variación o cambio de velocidad de un móvil y el tiempo empleado en dicho cambio:

$a={\frac {v-v_{0}}{t-t_{0}}}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}$

Donde a es aceleración, y v la velocidad final en el instante t, $v_{0}$ la velocidad inicial en el instante t₀.

Aceleración instantánea.

La aceleración instantánea, que para trayectorias curvas se toma como un vector, es la derivada de la velocidad (instantánea) respecto del tiempo en un instante dado (en dos instantes cercanos pero diferentes el valor puede cambiar mucho):

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}$

Puesto que la velocidad instantánea v a su vez es la derivada del vector de posición r respecto al tiempo, se tiene que la aceleración vectorial es la derivada segunda respecto de la variable temporal:

$\mathbf {a} ={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}$

aceleración

Tomemos luego una masa puntual que tiene en el punto P y en el tiempo t la velocidad v; y en el tiempo t + Δt y la velocidad v + Δv. Podemos calcular el cociente Δv/Δt como la aceleración media a_m de la masa puntual en el intervalo de tiempo Δt:

$a_{m}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}.$

Para Δt cercano a cero se aspira a que ese cociente tenga un valor límite, la aceleración a de la masa puntual para el tiempo t.

$a=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta v}{\Delta t}}.$

Para ese valor límite, se puede simplificar:

$a={\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} t}}.$

Es el camino s descrito como una función analítica del tiempo t, así s=s(t), así es la función de velocidad v(t) la primera derivada de la función s(t) con respecto al tiempo, la función de aceleración a(t) es la segunda derivada. La derivación con respecto al tiempo se puede también escribir como un punto sobre las variables.

$v(t)={\frac {\operatorname {d} s(t)}{\operatorname {d} t}}={\dot {s}}(t);\quad \quad a(t)={\frac {\operatorname {d} v(t)}{\operatorname {d} t}}={\dot {v}}(t)={\frac {\operatorname {d} ^{2}s}{\operatorname {d} t^{2}}}\equiv {\ddot {s}}(t).$

En sentido contrario se puede encontrar la función de velocidad y la función de la trayectoria a través de la integración:

$v(t)=\int {a(t)\,\operatorname {d} t;\quad s(t)=\int {v(t)\,\operatorname {d} t=\iint {a(t)\,\operatorname {d} t\,\operatorname {d} t.}}}$

En las integrales indefinidas de debe aumentar una constante que puede ser conocida con las condiciones iniciales del problema.

Ejemplo: aceleración constante g. Esto es, tiempo t=0 verticalmente de arriba abajo, tiene la velocidad v₀ y sus coordenadas s₀:

$v(t)=g\int {\operatorname {d} t=gt+v_{0};\quad s(t)=\int {\left({gt+v_{0}}\right)}}\operatorname {d} t={\frac {g}{2}}t^{2}+v_{0}t+s_{0}.$

Componentes intrínsecas de la aceleración: aceleraciones tangencial y normal

Existe una descomposición geométrica útill del vector de aceleración de una partícula, en dos componentes perpendiculares: la aceleración tangencial y la aceleración normal. La primera da cuenta de cuanto varía el módulo del vector velocidad o celeridad. La aceleración normal por el contrario da cuenta de la tasa de cambio de la dirección velocidad:

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d}{dt}}(\left\Vert \mathbf {v} \right\|\mathbf {\hat {e}} _{t})={\frac {d\left\Vert \mathbf {v} \right\|}{dt}}\mathbf {\hat {e}} _{t}+\left\Vert \mathbf {v} \right\|{\frac {d\mathbf {\hat {e}} _{t}}{dt}}=a_{t}\mathbf {\hat {e}} _{t}+\left\Vert \mathbf {v} \right\|({\boldsymbol {\omega }}\times {\hat {e}}_{t})$

Donde $\mathbf {\hat {e}} _{t}$ es el vector unitario y tangente a la trayectoria del mismo sentido que la velocidad. Usando las fórmulas de geometría diferencial de curvas se llega a que la expresión anterior es igual a:

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=a_{t}\mathbf {\hat {e}} _{t}+{\frac {\left\Vert \mathbf {v} \right\|^{2}}{\rho }}\mathbf {\hat {e}} _{n}=a_{t}\mathbf {\hat {e}} _{t}+a_{n}\mathbf {\hat {e}} _{n}$

Donde a_t es la aceleración tangencial, a_n es la aceleración normal y los vectores que aparecen en la anterior expresión se relacionan con los vectores del Triedro de Frênet-Serret que aparece en la geometría diferencial de curvas del siguiente modo:

$\mathbf {\hat {e}} _{t}$ es el vector unitario tangente a la curva.

$\mathbf {\hat {e}} _{n}$ es el vector normal (unitario) de la curva.

${\boldsymbol {\omega }}$ es el vector velocidad angular que es siempre paralelo al vector binormal de la curva.

Aceleración

Análogamente vamos ahora a definir la función vectorial de la aceleración:

${\overrightarrow {a}}(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\overrightarrow {v}}}{\Delta t}}={\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {v}}}{\operatorname {d} t}}={\dot {\vec {v}}}={\ddot {\vec {r}}}\,.$

La función vectorial de la aceleración proviene de las componentes escalares de la función velocidad y de la función posición, así:

${\overrightarrow {a}}(t)={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\left({v_{x}{\overrightarrow {i}}+v_{y}{\overrightarrow {j}}+v_{z}{\overrightarrow {k}}}\right)={\frac {\operatorname {d} v_{x}}{\operatorname {d} t}}{\overrightarrow {i}}+{\frac {\operatorname {d} v_{y}}{\operatorname {d} t}}{\overrightarrow {j}}+{\frac {\operatorname {d} v_{z}}{\operatorname {d} t}}{\overrightarrow {k}}\,,$

${\overrightarrow {a}}(t)={\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}{\overrightarrow {i}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}{\overrightarrow {j}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} t^{2}}}{\overrightarrow {k\,.}}$

Como se conoce, son las componentes escalares del vector velocidad igual a la dirección de la velocidad instantánea en los ejes de coordenadas. En sentido contrario se puede hallar por integración las correspondientes funciones. Ejemplo: Para la caída libre con velocidad inicial v₀ de un punto con el vector posición r₀ (vertical o lanzamiento curvo). Cuando el eje Z (vector unitario k) esta dirigido verticalmente hacia abajo, es

${\overrightarrow {a}}=-g{\overrightarrow {k}}\,,\quad {\overrightarrow {v}}=-\int {g{\overrightarrow {k}}\,\operatorname {d} t=-g\,t}{\overrightarrow {k}}+{\overrightarrow {v}}_{0},$

${\overrightarrow {r}}=\int {\left({-g\,t{\overrightarrow {k}}+{\overrightarrow {v}}_{0}}\right)\operatorname {d} t=-{\frac {g}{2}}t^{2}{\overrightarrow {k}}+{\overrightarrow {v}}_{0}\,t}+{\overrightarrow {r}}_{0\,.}$

Mientras el vector velocidad siempre tiene dirección tangencial, puede estar dirigido opcionalmente el vector aceleración. En un análisis profundo, la aceleración se descompone en dos componentes, en la una dirección es tangencial (aceleración tangencial) y la otra está en dirección vertical (aceleración normal). La aceleración tangencial cambia solo el valor de la velocidad (esta es la rapidez) Para esta descomposición de los vectores de la aceleración introducimos la curva s, este es el largo de la trayectoria, que recorre la partícula en la curva. Este arco cuenta con un punto cero escogido, que de todas formas aquí no juega ningún papel, aquí solo necesitamos el diferencial ds del arco. Además introducimos el vector unitario tangencial t y hacemos uso de la geometría diferencial. El vector unitario tangente t es el vector

${\overrightarrow {t}}={\frac {\overrightarrow {v}}{v}}\,,$

así denominado, es igual al vector v dividido para su módulo v. Este módulo es igual a la rapidez y es otra vez el desplazamiento sobre la curva sobre el tiempo. Así es:

${\overrightarrow {v}}=v\,{\overrightarrow {t}}={\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} t}}{\overrightarrow {t}}\,.$

Si diferenciamos para el tiempo tenemos que

${\overrightarrow {a}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}s}{\operatorname {d} t^{2}}}{\overrightarrow {t}}+{\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} t}}{\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {t}}}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}s}{\operatorname {d} t^{2}}}{\overrightarrow {t}}+{\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} t}}{\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {t}}}{\operatorname {d} s}}{\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}s}{\operatorname {d} t^{2}}}{\overrightarrow {t}}+v^{2}{\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {t}}}{\operatorname {d} s}}\,.$

Aquí la longitud del vector unitario tangencial t es constante (cercano a 1), esta el vector desplazamiento dt/ds - cuando no es igual a cero - verticalmente hacia t.

De la geometría diferencial tenemos, que el vector desplazamiento dt/ds

• tiene la dirección del vector unitario normal n y
• el valor k = 1/ρ

De aquí es k la curvatura de la curva en el punto observado y ρ su radio de curvatura. El vector unitario normal n es dirigido hacia (momentáneamente) un punto medio de la curvatura (hacia dentro).

Siguiendo esto

${\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {t}}}{\operatorname {d} s}}=k{\overrightarrow {n}}={\frac {1}{\rho }}{\overrightarrow {n}}\,.$

Con esto nos da como resultado

${\overrightarrow {a}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}s}{\operatorname {d} t^{2}}}{\overrightarrow {t}}+{\frac {v^{2}}{\rho }}{\overrightarrow {n}}\,.$

El vector a está entre t y n' dirigido, en el plano de la curva en un determinado punto. El módulo de la aceleración tangencial es - como se esperaba:

$a_{tan}={\frac {\operatorname {d} ^{2}s}{\operatorname {d} t^{2}}}={\frac {\operatorname {d} v}{\operatorname {d} t}}\,,$

el módulo de la aceleración normal es

$a_{nor}={\frac {v^{2}}{\rho }}.$

Este par de ecuaciones tienen su interpretación: La aceleración de una partícula da lugar a la aparición de una fuerza. La dirección de esa fuerza determina la dirección de la aceleración. La componente tangencial de la aceleración causa un cambio en la velocidad, la componente normal de la aceleración causa la curvatura de la curva. El radio de curvatura de la curva en un determinado punto resulta de la aceleración normal y de la velocidad así:

$\rho ={\frac {v^{2}}{a_{nor}}}.$

Movimiento circular

Una partícula P se mueve en una circunferencia. Colocamos un eje de coordenadas XY y en el origen O del sistema de coordenadas en el centro de la circunferencia.

Entonces es

${\overrightarrow {r}}=x_{r}{\overrightarrow {i}}+y_{r}{\overrightarrow {j}}=\left({r\cos \varphi }\right)\,{\overrightarrow {i}}+\left({r\sin \varphi }\right){\overrightarrow {j}}\,.$

Análogo a la velocidad y a la aceleración podemos definir la velocidad angular ω así

$\omega =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \varphi }{\Delta t}}={\frac {\operatorname {d} \varphi }{\operatorname {d} t}}\,,$

y a la aceleración angular α

$\alpha =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}\varphi }{\operatorname {d} t^{2}}}\,.$

Cuando t = 0 es también φ = 0, entonces es

$\varphi \left(t\right)=\int _{0}^{t}{\omega \,\operatorname {d} t}=\int _{0}^{t}{\left[{\int _{0}^{t}{\alpha \,\operatorname {d} t}}\right]}\operatorname {d} t\,.$

Movimiento circular uniforme

Un movimiento circular con velocidad angular constante se lo llama uniforme. Entonces

$\varphi (t)=\varphi (0)+\omega t\quad y\;\,para\quad \varphi (0)=0\quad \Rightarrow \quad \varphi (t)=\omega \,t.$

La ecuación del vector posición es

${\overrightarrow {r}}=r\left({\cos \omega \,t}\right){\overrightarrow {i}}+r\left({\sin \omega \,t}\right){\overrightarrow {j}}\,.$

Con esto nos da la velocidad

${\overrightarrow {v}}={\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {r}}}{\operatorname {d} t}}=-r\omega \left({\sin \omega \,t}\right){\overrightarrow {i}}+r\omega \left({\cos \omega \,t}\right){\overrightarrow {j}}$

y

$v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}=r\omega {\sqrt {\sin ^{2}\omega t+\cos ^{2}\omega t}}=r\omega \,.$

Efectuando el producto escalar entre los vectores r y v obtenemos:

${\begin{aligned}{\overrightarrow {r}}\,\cdot {\overrightarrow {v}}&=r\left({\cos \omega \,t}\right)\left[-r\omega \left({\sin \omega \,t}\right)\right]+r\left({\sin \omega \,t}\right)r\omega \left({\cos \omega \,t}\right)\\&=-r^{2}\omega \left({\sin \omega \,t}\right)\left({\cos \omega \,t}\right)+r^{2}\omega \left({\sin \omega \,t}\right)\left({\cos \omega \,t}\right)\\&=0\end{aligned}}$

Con lo cual resulta que los vectores r y v son perpendiculares. Para la aceleración tenemos que

${\overrightarrow {a}}={\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {v}}}{\operatorname {d} t}}=-\,r\omega ^{2}\left({\cos \omega \,t}\right){\overrightarrow {i}}-r\omega ^{2}\left({\sin \omega \,t}\right){\overrightarrow {j}}$

y así

${\overrightarrow {a}}=-\,\omega ^{2}{\overrightarrow {r}}\quad \Rightarrow \quad a=\omega ^{2}r={\frac {v^{2}}{r}}\,.$

La aceleración esta dirigida hacia O (aceleracion centripeta), y su modulo es constante.

 

Movimiento circular uniformemente acelerado

Aqui la aceleración angular α es constante y también ω(0) = 0

$\omega \left(t\right)=\alpha \,t=\left({\frac {\operatorname {d} \varphi }{\operatorname {d} t}}\right)_{t}.$

También, cuando φ(0)=0, así para el angulo de rotación

$\varphi \left(t\right)=\int _{0}^{t}{\omega \,\operatorname {d} t}=\int _{0}^{t}{\alpha \,t}\,\operatorname {d} t={\frac {\alpha }{2}}t^{2}.$

Así tenemos también que

${\overrightarrow {r}}=r\left({\cos {\frac {\alpha }{2}}\,t^{2}}\right){\overrightarrow {i}}+r\left({\sin {\frac {\alpha }{2}}\,t^{2}}\right){\overrightarrow {j}}\,$

${\overrightarrow {v}}={\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {r}}}{\operatorname {d} t}}=r\alpha \,t\left[{-\left({\sin \,{\frac {\alpha }{2}}t^{2}}\right){\overrightarrow {i}}+\left({\cos {\frac {\alpha }{2}}t^{2}}\right){\overrightarrow {j}}}\right]=r\omega \left[{-\left({\sin \,{\frac {\alpha }{2}}t^{2}}\right){\overrightarrow {i}}+\left({\cos {\frac {\alpha }{2}}t^{2}}\right){\overrightarrow {j}}}\right]$

y

${\overrightarrow {a}}={\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {v}}}{\operatorname {d} t}}=r\alpha \left[{-\left({\sin {\frac {\alpha }{2}}t^{2}}\right){\overrightarrow {i}}+\left({\cos {\frac {\alpha }{2}}t^{2}}\right){\overrightarrow {j}}}\right]+$

$+\,r\alpha ^{2}t^{2}\left[{\left({-\cos {\frac {\alpha }{2}}t^{2}}\right){\overrightarrow {i}}-\left({\sin {\frac {\alpha }{2}}t^{2}}\right){\overrightarrow {j}}}\right].$

o

${\overrightarrow {a}}=\left[{-r\alpha \left({\sin \varphi }\right)-r\omega ^{2}\left({\cos \varphi }\right)}\right]{\overrightarrow {i}}+$

$+\left[{r\alpha \left({\cos \varphi }\right)-r\omega ^{2}\left({\sin \varphi }\right)}\right]{\overrightarrow {j}}.$

Así, podemos deducir que la componente radial de la aceleracion (y su dirección) es

$\,a_{rad}=r\omega ^{2}$

y su componente tangencial es

$\,a_{tan}=r\alpha$

 

La velocidad angular como medida de direccion

A veces es muy útil ver a la velocidad angular como medida de la direccion y representarlo a través de un en el eje de

Ecuaciones de Movimiento en un sistema de coordenadas polares

Velocidad en coordenadas Polares

La velocidad v de una partícula material puede descomponerse en distintos tipos de componentes. Es usual e importante que se descomponga en componentes que tengan la dirección de los ejes de coordenadas, así se obtiene en la forma siguiente:

${\overrightarrow {v}}=v_{x}{\overrightarrow {i}}+v_{y}{\overrightarrow {j}}+v_{z}{\overrightarrow {k}}={\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}{\overrightarrow {i}}+{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}{\overrightarrow {j}}+{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} t}}{\overrightarrow {k}}.$

Otra alternativa puede ahora ser representado en un eje XY

Sistema de coordenadas

Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir inequívocamente la posición de cualquier punto de un espacio euclídeo (o más generalmente variedad diferenciable). En física clásica se usan normalmente sistemas de coordenadas ortogonales, caracterizados por un punto denominado origen y un conjunto de ejes perpendiculares que constituyen lo que se denomina sistema de referencia Podemos llamarla bidimensional.

también, todo lo que presenta movimiento se puede medir bajo un sistema de referencia.

Sistemas usuales

Sistema de coordenadas cartesianas

El sistema de coordenadas cartesianas es aquel que formado por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. En el plano, las coordenadas cartesianas o rectangulares x e y se denominan respectivamente abscisa y ordenada.

Sistema de coordenadas polares

Las coordenadas polares se definen por un eje que pasa por el origen (llamado eje ecopolar). La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto considerado, mientras que la segunda es el ángulo que forman el eje polar y la recta que pasa por ambos puntos.

Sistema de coordenadas cilíndricas

El sistema de coordenadas cilíndricas es una generalización del sistema de coordenadas polares plano, al que se añade un tercer eje de referencia perpendicular a los otros dos. La primera coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la coordenada que determina la altura del cilindro.

Sistema de coordenadas esféricas

El sistema de coordenadas esféricas está formado por tres ejes mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar para alcanzar la posición del punto.

Movimiento rectilíneo uniforme

Un movimiento es rectilíneo cuando describe una trayectoria recta y uniforme cuando su velocidad es constante en el tiempo, es decir, su aceleración es nula. Esto implica que la velocidad media entre dos instantes cualesquiera siempre tendrá el mismo valor. Además la velocidad instantánea y media de este movimiento coincidirán.

Ecuaciones del movimiento

Sabemos que la velocidad ${\vec {V}}_{0}$ es constante.

${\vec {V}}={\vec {V}}_{0}$

Cálculo del espacio recorrido

Sabiendo que la velocidad es constante y según la definición de velocidad:

1. ${\vec {V}}={\vec {V}}_{0}$
2. ${\vec {V}}={\frac {d{\vec {x}}}{dt}}$

tenemos:

${\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\vec {V}}_{0}$

despejando términos:

$d{\vec {x}}={\vec {V}}_{0}dt$

integrando:

$\int d{\vec {x}}=\int {\vec {V}}_{0}dt$

realizando la integral:

${\vec {x}}={\vec {V}}_{0}t+{\vec {x}}_{0}$

Donde ${\vec {x}}_{0}$ es la constante de integración, que corresponde a la posición del móvil para $t=0\,$, si en el instante $t=0\,$, el móvil está en el origen de coordenadas, entonces ${\vec {x}}_{0}=0$. Esta ecuación determina la posición de la partícula en movimiento en función del tiempo.

Cálculo de la aceleración

Según la ecuación del movimiento y la definición de aceleración tenemos:

1. ${\vec {V}}={\vec {V}}_{0}$
2. ${\vec {a}}={\frac {d{\vec {V}}}{dt}}$

esto es:

${\vec {a}}={\frac {d{\vec {V}}_{0}}{dt}}$

sabiendo que la velocidad no varía con el tiempo, tenemos:

${\vec {a}}={\frac {d{\vec {V}}_{0}}{dt}}=0$

La aceleración es nula, como ya se sabía.

El reposo

Se debe notar que el reposo es un caso de movimiento rectilíneo uniforme en el que ${\vec {V}}_{0}=0$