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Teoría completa del Arco Iris

La primera teoría sobre la formación del arco iris se debe a Aristóteles. Para él simplemente era una 'reflexión especial de la luz sobre las nubes, formando un ángulo fijo.

Roger Bacon midió por primera vez el ángulo del arco. Obtuvo 42º para el arco primario y 8º más alto el secundario. (Si tomamos el cambio total de luz sería 138º para el primario y 130º para el secundario).

Ángulos del arcoiris

Teodorico de Freiberg, monje alemán, propone que cada gota es responsable de la formación del arco iris. Esta teoría es corroborada por Descartes tres siglos después.

El arco primario se forma gracias a que la luz se refracta al entrar en la gota y sale tras reflejarse en la cara interna. El arco secundario sufre dos reflexiones. Al haber dos reflexiones en el arco iris secundario, pierde luz respecto al primario, por eso es más débil y más raro de ver en la Naturaleza.

Para una sóla dirección, tanto Teodorico como Descartes se dieron cuenta que dentro del margen de ángulos del arco iris, se veía un sólo color. Había que modificar la posición del observador para observar los otros ángulos de dispersión (y por tanto los colores). Ambos llegaron a la conclusión de que se observan todos los colores en la Naturaleza ya que las gotas de lluvia son muchas y para un observador, se dispersa la luz en toda la gama del espectro.

Visión de las gotas por un observador

Los procesos básicos que forman el arco iris son la reflexión y la refracción, o sea, el cambio de dirección en la propagación de la luz debido al cambio del medio material.

El parámetro básico para determinar el cambio de dirección (ángulos de incidencia y salida -ley de Snell-) es el índice de refracción n. Es el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío ( $c\approx 300.000{\mbox{ km/s}}$ aproximadamente) y la velocidad de la misma en el medio.

$n={c \over v}$

Se puede realizar un preanálisis sobre el arco iris aplicando sólo las leyes de la reflexión y la refracción. Admitiendo la esfericidad de las gotas, puedo estudiar el sistema en dos dimensiones admitiendo la simetría de revolución para los resultados. La dirección del rayo de luz solar es la horizontal y el único parámetro a tener en cuenta es la distancia al eje diametral de la circunferencia del rayo (llamado parámetro de impacto).

Refracciones y reflexiones en una gota esférica

De la imagen de la derecha se desprende que el rayo de clase 1, se da por reflexión directa. El de clase 2 son dos transmisiones (En -1- aire-agua y -2- agua-aire). El de clase tres forma el arco iris primario que se forma tras una refracción en (1), una reflexión en (2) y una refracción en (3). El arco iris secundario se refracta tras dos reflexiones internas (una en (2) y otra en (3)). Puede haber arcos iris superiores (en laboratorio) pero en la Naturaleza no se dan porque la luz ya es muy débil tras las pérdidas por relexión y refracción sucesivas.

Los rayos dependen de su parámetro de impacto b, es decir, la dirección de salida depende de él. Sin embargo los colores se ven bajo un ángulo determinado; en ese ángulo la intensidad de la luz se refuerza... ¿A qué es debido?

Cuando b es cero siguen una trayectoria recta y regresan en la dirección por la que vinieron ( ángulo $\Theta =180^{\circ }$ ). Si aumento b, hasta llegar al radio de la gota el ángulo $\Theta$ de desviación disminuye, pasando por un mínimo en $b\approx {7 \over 8}R$ , donde R es el radio de la gota, y luego aumenta de nuevo. Este mínimo corresponde al ángulo de 138º de nuestro arco iris primario.

Para el arco iris secundario, el ángulo de desviación es nulo para b=0, y va aumentando mientras aumenta b. Pasa por un máximo donde $\Theta =130^{\circ }$ y disminuye hasta ser de nuevo cero.

Si la gota de agua está uniformemente iluminada, los parámetros de impacto varían de forma continua. Es de esperar que la mayor parte se concentren alrededor del mínimo (3) o el máximo (4), produciéndose la mayor intensidad alrededor de estos ángulos.

Los ángulos de clase (3), del arco iris primario, varían de 180º a 138º y los de clase (4), del arco iris secundario, de 0º a 130º. La intensidad en la franja de 130º a 138º es prácticamente nula. Esto explicaría la zona que existe por encima del arco iris pimario y por debajo del arco iris secundario en la que parece existir una oscuridad relativa. A esta zona se la conoce por banda oscura de Alejandro.

En general hay una redistribución de los rayos y la energía, al ser dispersada la luz por las gotas. Si la dispersión fuese uniforme en el cielo, la luz se distribuiría por igual en cualquier ángulo y todo el cielo estaría uniformemente iluminado.

La teoría de Descartes es sencilla (teoría cartesiana). Hemos de admitir la existencia de rayos de clase superior a (3) y (4), ya que si no la banda oscura de Alejandro sería completamente negra. El brillo viene determinado por la variación de la velocidad del ángulo de desviación, y éste queda determinado por el parámetro de impacto b y el índice de refracción. El radio de la gota es irrelevante, ya que el fenómeno depende de la forma de la misma, no del tamaño.

Demostrar que el ángulo del arco iris primario pasa por un ángulo de aproximadamente 138°.

Ángulo de salida del arco iris primario

Sea la circunferencia la proyección en dos dimensiones de una esfera de radio r centrada en O.

La dirección del rayo es representada por la recta $y=-b$ . Sin embargo, como b es un parámetro que tomará los valores entre 0 y r, expresaré la recta como $y=-\alpha r$ , siendo $\alpha$ un número entre 0 y 1.

La descripción algebraica de la circunferencia es $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ .

De ambas se deduce que el punto A de incidencia del rayo con la circunferencia es $A(-r{\sqrt {1-\alpha ^{2}}},-\alpha r)$ .

La recta que pasa por O y A sería: $y={{\alpha } \over {\sqrt {1-\alpha ^{2}}}}x$ .

El vector normal interior a la superficie es: ${\vec {N}}=({\sqrt {1-\alpha ^{2}}},\alpha )$

Haciendo el producto vectorial de un vector unitario en la dirección del eje OX, ${{\vec {u}}_{x}}$ , y el vector normal obtengo: $|{{\vec {u}}_{x}}||{\vec {N}}|\sin {\gamma }=|{{\vec {u}}_{x}}x{\vec {N}}|$

luego de aquí se deduce que: $\gamma =\arcsin(\alpha )$

Si aplico la ley de Snell: $n\ \sin \gamma =n'\ \sin \gamma '$ ; $\gamma '=\arcsin({3 \over 4}\alpha )$ siendo n=1 y n' = 4/3.

El ángulo que forma respecto de la horizontal es: $\delta =\gamma -\gamma '=\arcsin(\alpha )-\arcsin({3 \over 4}\alpha )$

Según observamos en la figura, el triángulo AOB es isósceles de lado r, luego el ángulo de reflexión en B es $\gamma '$

El ángulo $\lambda =\pi -2\gamma '+\delta$ .

Igualmente en el triángulo OBC, el ángulo del vértice C es $\gamma '$ . El ángulo de refracción, por la ley de Snell, vuelve a ser $\gamma$ . El ángulo total desviado respecto a la horizontal, puedo calcularlo como:

$\Theta =\lambda -\gamma '+\gamma$ que puede expresarse como: $\Theta =\lambda -\gamma '+\gamma =\pi -2\gamma '+\delta -\gamma '+\gamma =\pi -4\gamma '+2\gamma$ .

$\Theta$ es una función de $\alpha$ . Puede expresarse como:

$\Theta (\alpha )=\pi -4\arcsin({3 \over 4}\ \alpha )+2\arcsin(\alpha )$

Haciendo la derivada: $\Theta '(\alpha )={-3 \over {\sqrt {1-{9 \over 16}\ \alpha ^{2}}}}+{2 \over {\sqrt {1-\alpha ^{2}}}}$

Igual a cero, para calcular el mínimo, y éste se produce para ${\alpha _{min}}=0.86$ . Corresponde a un ángulo:

${\Theta _{min}}=\pi -4\arcsin({3 \over 4}\ 0.86)+2\arcsin(0.86)=137.97^{\circ }$

funciones de theta respecto del parámetro de impacto

Demostrar que el ángulo del arco iris secundario pasa por un ángulo de aproximadamente 130º.

Ángulo de salida del arco iris secundario

Nos basamos en la demostración anterior. Se produce una reflexión más. Nuestro objetivo es calcular el ángulo de salida en función de $\alpha$ .

El ángulo $\beta$ puede expresarse como (punto C): $\beta =\lambda +\pi -2\gamma '$

De igual forma, el ángulo de salida respecto de la horizontal es:

$\Psi =\beta -\gamma '+\gamma$

$\Psi$ es una función de $\alpha$ . Puede expresarse como:

$\Psi (\alpha )=2\pi -6\arcsin({3 \over 4}\ \alpha )+2\arcsin(\alpha )$

Haciendo la derivada: $\Psi '(\alpha )={-18 \over {\sqrt {16-9\alpha ^{2}}}}+{2 \over {\sqrt {1-\alpha ^{2}}}}$

Igual a cero, para calcular el máximo, y éste se produce para ${\alpha _{max}}=0.95$ . Corresponde a un ángulo:

${\Psi _{max}}=2\pi -6\arcsin({3 \over 4}\ 0.95)+2\arcsin(0.95)=230.9^{\circ }$

¿Nos hemos equivocado? Bueno, algo sí. Hemos supuesto que la dirección de impacto es la recta $y=-\alpha r$ . Si supongo que b<0, entonces $\alpha$ es un número entre -1 y 0. Si supongo que el impacto es por encima de la horizontal, en vez de tomar ${\alpha _{max}}=0.95$ lo tomo como ${\alpha _{max}}=-0.95$ y el ángulo sería ${\Psi _{max}}=2\pi -6\arcsin({3 \over 4}\ \cdot (-0.95))+2\arcsin(-0.95)=489,03^{\circ }=129.02^{\circ }$ .

Sobre los colores

El color debe ser ahora nuestro tema, ya que hasta ahora, no hemos hablado nada de él. Fue Newton el que descubrió que la luz blanca al pasar por un prisma se descompone en un haz de luces monocromáticas. De su experimento se infieren dos aspectos interesantes:

1º) La luz blanca está formada por un conjunto de haces de luz de un sólo color, o monocromáticos.

2º) Materiales como el vidrio presentan un índice de refracción distinto para cada longitud de onda. $n=n(\lambda )$ .

Por tanto, cada rayo de luz monocromático, al pasar por la gota (que se comporta como un prisma) sigue una trayectoria ligeramente diferente del resto de longitudes de onda. Luego cada rayo monocromático presenta un ángulo distinto de arco iris.

Las medidas de Newton fueron, para el arco iris primario de 137º 58' para la luz roja, y 139º 43' para el violeta (una anchura de 1º 45'). Vemos por tanto una superposición de arcos, cada uno de un solo color.

Esto suponiendo que los rayos del Sol vienen paralelos, del infinito. Si acepto una desviación de 0.5º para estos rayos (diámetro aparente del Sol), puedo llegar a un arco de 2º 15' donde recoger todos los arcos de luz monocromáticos.

¿Hemos acabado de explicar el fenómeno del arco iris? Explicamos su angulación, cómo se produce, la oscuridad de su zona superior y los colores... pues no, queda aún más. ¿Os habéis fijado alguna vez en los arcos supernumerarios?.

Arcos supernumerarios. Teoría de Thomas Young.

Aparecen el lado interno del arco primario, en la zona iluminada. En esta zona, hay rayos de clase (3), que tras haber sido difundidos salen con el mismo ángulo, a uno y otro lado del ángulo mínimo del arco iris. Estos rayos han recorrido diferentes caminos en la gota y salen en puntos distintos.

Rayos que originan los arcos supernumerarios

En la época de Descartes o Newton se ignoraba el caracter ondulatorio de la luz, luego no se pudo prever esta interferencia entre estos dos rayos. El primero que dio una explicación coherente fue Young.

Dependiendo de los caminos ópticos que recorre uno más que el otro se presentan franjas brillantes u oscuras (interfieren constructivamente si difieren en valores enteros de longitud de onda).

El camino que recorre el rayo dentro de la gota sí depende del radio (no como antes para los rayos principales), luego su aparición depende del radio de las gotas. Para gotas grandes, los caminos de los rayos difieren más que para gotas pequeñas, y es más difícil que coincidan en longitudes de onda enteras. Para gotas pequeñas los caminos ópticos son prácticamente iguales y es más fácil que interfieran constructivamente. Para radios superiores a 1mm es casi imposible distinguirlos.

La superposición de colores tiende a eliminar también los arcos. Además, como las gotas se hacen más grandes a medida que caen, se explica que se formen inmediatamente debajo del primer arco.

También encontramos una explicación más razonable sobre la banda oscura de Alejandro. La débil luminosidad de la banda no sólo se explica con intensidad residual de arcos iris de clase superior a (4) sino también por fenómenos de difracción.

Así que debemos utilizar, en la explicación de la formación del arco iris, dos teorías de interacción: la de la luz consigo misma (interferencia) y la de la luz con obstáculos (difracción).

Teoría de Airy. Teoría del momento cinético.

En 1835, Richard Potter explicó que el cruce de varios rayos daba lugar a una caústica. Una caústica es la envolvente de un sistema de rayos y se asocia a altos valores de intensidad. La intensidad aumenta hasta llegar a la caústica y luego disminuye rápidamente.

Caústica de rayos de clase 3

Potter mostró que el rayo de clase 3 de Descartes (desviación mínima) se podría tratar como una caústica. Todo rayo que salga por el lado iluminado se acerca a este rayo en el infinito (no los hay en el lado no iluminado). El problema de hallar la intensidad del arco y su distribución se reduce a determinar la distribución de la misma en la proximidad de la caústica.

Airy fue el primero en intentar demostrar tal distribución. Su razonamiento le hizo usar las teorías de la propagación de la luz de Huygens (mejoradas por Fresnel). Estas decían que cada punto de un frente de ondas se podría reconstruir a partir de estas ondas elementales secundarias como su envolvente.

Según el teorema de Kirchoff, conociendo la distribución de amplitudes de las ondas secundarias de un frente de ondas, puedo saber cuánto vale ésta en otro punto cualesquiera. Podría pues reconstruir los frentes de onda y dar amplitudes en cada punto si conociera un frente de ondas y su valor de amplitudes para una gota. Como ésto es imposible de saber, Airy probó con un frente de ondas inicial escogido según las consideraciones siguientes: 1º) Es normal el frente a todos los rayos de clase (3). 2º) Tiene un punto de inflexiónen el rayo de Descartes (rayo de desviación mínima). 3º) Los valores (amplitudes) se escogieron siguiendo hipótesis normales en la teoría de la difracción.

la distribución de intensidades, tras laborioso cálculo, sale en función de una integral (función de Airy). Esta distribución es análoga a la distribución de intensidades de difracción que aparece en la sombra de un filo rectilíneo para la zona oscura o banda de Alejandro. esta disminuye al alejarnos del ángulo de desviación mínima.

La función de Airy es: ${I_{T} \over I_{o}}={1 \over {1+F\cdot \sin ^{2}{\delta \over 2}}}$ , siendo ${I_{T}}$ la intensidad de luz transmitida en una situación de interferencia de haces múltiples.

F es la finura: $F=\left({{2\cdot \rho } \over {1-\rho ^{2}}}\right)$ , siendo $\rho$ el coeficiente de reflexión normal aire-agua.

$\rho ={\frac {1-n}{1+n}}={\frac {1}{7}}e^{i\pi }$

$\delta$ es el desfase que se produce en una lámina plano paralela: $\delta ={\frac {2\pi }{\lambda }}\cdot i\cdot n\cdot d\cos \theta '$

$\theta '$ es el ángulo refractado: $\sin \theta ={\frac {4}{3}}\sin \theta '$ .

La finura F es aproximadamente 0.085.

Además, predice un máximo importante para el arco primario (con un ángulo algo mayor que el predicho por la teoría de Descartes) y arcos correspondientes a máximos brillantes de la función de difracción que se corresponde con los arcos supernumerarios, reduciéndose en ellos paulatinamente la intensidad. Además, no son tanto en amplitud como en posición los mismos exactamente que predice Young. Tanto Descartes como Young predecían para el ángulo del arco iris una intensidad infinita. Airy sólo le da la mitad del valor de intensidad correspondiente al máximo.

AQUI DEBE IR UNA IMAGEN QUE MUESTRE LA INTENSIDAD EN FUNCION DEL PARAMETRO ALPHA EN LAS TRES TEORIAS.

Los resultados están hechos para un haz de luz monocromático. Para un arco iris real hay que superponer las funciones de intensidad de varios colores. Necesito pues, una teoría sobre el color.

La pureza de los colores viene determinada por el grado de superposición de los arcos iris monocromáticos, que a su vez lo determino a partir del tamaño de las gotas. Las gotas grandes (unos cuantos milímetros) dan colores de arco iris muy puros. Gotas pequeñas (del orden de 0.01 mm) superponen mucho los colores y resulta un arco iris casi blanco.

Otra propiedad de la luz es la polarización. la luz es una onda transversal, es decir, las oscilaciones son perpendiculares a la dirección de propagación. Puede tomarse dos direcciones perpendiculares entre sí y perpendiculares a la dirección de propagación en las que se puede proyectar el campo eléctrico. Si ${\vec {k}}$ es el vector de ondas (dirección de propagación) y ${\vec {N}}$ es el vector normal perpendicular al plano de la interfase, se suele tomar una componente (llamada paralela) como la contenida en un plano que definen ${\vec {k}}$ y ${\vec {N}}$ , y como otra la perpendicular a ${\vec {k}}$ y a esta última definida, contenida en el plano de la interfase (llamada transversal).

IMAGEN DE LOS VECTORES K y N

La luz del sol es una mezcla incoherente o al azar de las dos componentes. La reflexión altera el estado de polarización de la luz. Considero la reflexión de la luz en el interior de la gota. ¿Cómo afecta este hecho a la formación del arco iris, bajo el punto de vista de la polarización?

Considérese el plano de la interfase (perpendicular a la normal a la superficie de la imagen - ver imagen -).

IMAGEN DEL ANGULO LIMITE

Considero el ángulo incidente ${\theta _{i}}$ . Si ${\theta _{i}}$ incide enmpezando desde 0º, el poder reflector es pequeño. Pasado el valor dado por la óptica geométrica del ángulo límite, todo se refleja y nada se transmite, independientemente de su polarización.

Métodos de obtención de arco iris hasta de decimotercer orden.

Ampliar en uno el numero de terminos de la ecuacion (añadir una dimension más) y calcular en el espacio decimocuarto