Estadística en Microcomputadores/Regresión no Lineal general

6.5 REGRESION NO LINEAL GENERAL

En los puntos anteriores hemos presentado casos de regresión basados directa o indirectamente en una relación funcional lineal entre las variables, que cubren la mayor parte de las aplicaciones usuales de la técnica de regresión. No obstante, se presenta a veces la necesidad o conveniencia de establecer otras relaciones funcionales que no pueden llevarse a los casos mencionados.

Ello ocurre cuando existen funciones de cierta complejidad surgidas de desarrollos teóricos, que se quiere ajustar a datos experimentales, o cuando a pesar de que se evidencia una fuerte relación entre variables, ella no es bien representada por una función lineal o alguna transformable a ella.

En este caso consideramos una función de regresión no lineal arbitraria:

Y = f( X, A)

en la que A representa al conjunto de coeficientes a1, a2, ..., ap de la función f(). La estimación de estos coeficientes para un dado juego de datos implica obligadamente efectuar el proceso de minimización de la suma de desvíos cuadráticos, ya que no es posible definir procedimientos genéricos de cálculo como en el caso lineal.

Para ello se requiere en general utilizar algún método numérico de optimización, que suministre como resultado los valores a1, a2, ..., ap de los coeficientes de la relación funcional f( ) que hagan mínima la suma de los residuos cuadráticos, para el conjunto de observaciones:

n n

ei2 = [yi - f(Xi,a1,a2,...,ap)]2=Mínimo

i=1 i=1

Existen numerosos métodos de optimización que pueden ser aplicados a este problema. De ellos, los más generales son aquellos que no requieren conocer las expresiones de las derivadas parciales de la función a optimizar, con respecto a los coeficientes de la función f( ). Los métodos de optimización más utilizados en las implementaciones computacionales son los siguientes:

- Método de Marquardt

- Mayor descenso ("steepest descent")

- Gauss-Newton

El proceso de regresión no lineal es de ejecución más compleja que el caso lineal, siendo las estimaciones de los coeficientes de la función de regresión menos confiables, ya que los métodos de optimización utilizados no aseguran, salvo casos particulares, que se alcance a su finalización el mínimo global de la suma de desvíos cuadráticos.

En la regresión no lineal general es posible efectuar la mayor parte de las verificaciones planteadas en la sección 6.2.3. La obtención del nivel de significación de los coeficientes puede también llevarse a cabo a partir de obtener estimaciones aproximadas de sus desvíos estándar. De la misma manera pueden obtenerse intervalos de confianza aproximados para los valores de la variable Y estimados mediante la función de regresión.