Estadística/Variables aleatorias/Ejemplos

Ejemplo para definir una variable aleatoria

Una imprenta francesa necesita 10 multifuncionales impresoras de alta rendimiento. Tres impresoras son de la firma Alpha, dos son de Beta, cuatro son de Gamma y una sola de la firma Delta. Desde que las impresoras esta manejada por los clientes, ellos reportaron un funcionamiento impropio. Se ha determinado que todos las impresoras son propensas a la misma medida. Debido a la garantía, por cada accidente se envía a un técnico de mantenimiento de la cuestionada firma. El costo por las reparaciones depende del fabricante de la imprenta, donde la firma Gamma es la empresa mas barata.

Preferiblemente, el dueño el señor Printzig, realiza las reparaciones con la firma correspondiente.

Busquemos cuál es el conjunto solución para el suceso aleatorio: una impresora se daña aleatoriamente?, con que probabilidad produce el señor Printzig el menor costo?

Obtenemos el conjunto solución

Ω = {A₁, A₂, A₃, B₁, B₂, G₁, G₂, G₃, G₄, D₁},

donde B₂ significa la impresora 2 de la firma Beta. G es el resultado de tener el costo de reparación mínimo. Cada impresora tiene la misma probabilidad de dañarse. Entonces por el principio de simetría:

$P(G)={\frac {\operatorname {Numero\;de\;impresoras-G} }{\mathrm {Numero\;de\;impresoras} }}={\frac {|G|}{|\Omega |}}={\frac {4}{10}}=0,4\ \;$

El costo para las reparaciones que cobra cada fabricante es el siguiente:

Fabricante	Alpha	Beta	Gamma	Delta
Costo (Euros)	50	60	30	100

Ahora pensemos en cuanto debería pagar el señor Printzig por avería en promedio?. Para esto podemos ordenar los conjuntos solución con el correspondiente costo así

A1	A2	A3	B1	B2	G1	G2	G3	G4	D1
$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$
50	50	50	60	60	30	30	30	30	100

Ω tiene 10 soluciones y cada evento tiene una probabilidad de 1/10. Cada impresora falla entonces con una probabilidad de 1/10. El costo de reparación promedio sería

$50\cdot {\frac {1}{10}}+50\cdot {\frac {1}{10}}+50\cdot {\frac {1}{10}}+60\cdot {\frac {1}{10}}+60\cdot {\frac {1}{10}}+...+100\cdot {\frac {1}{10}}\;$

$=50\cdot {\frac {3}{10}}+60\cdot {\frac {2}{10}}+30\cdot {\frac {4}{10}}+100\cdot {\frac {1}{10}}\;$

$={\frac {150}{10}}+{\frac {120}{10}}+{\frac {120}{10}}+{\frac {100}{10}}={\frac {490}{10}}=49{\text{ Euro}}\;$

Hemos ahora construido una variable aleatoria y en ella hemos ordenado todos los resultados de Ω en un número.

El promedio podríamos calcularlo desde que hemos puesto un número a la impresora. Se puede asignar un número cualquiera a cada evento unitario que nos interese. Así podríamos para el actual mantenimiento analizar otra vez los otros costos. Solo el conjunto solución está determinado. Se podría calcular ahora la probabilidad de que el resultado sea 60 euros: hay diez eventos elementales y dos de ellos corresponden a 60 euros. También calculamos la probabilidad de 2/10.

Representamos a una variable aleatoria con una letra mayúscula. El valor que pueda obtener la variable aleatoria la denotamos con una letra minúscula. Llamamos a nuestra variable aleatoria X como "costo de reparación". Ahora resumimos las diferentes probabilidades de la variable aleatoria X en una tabla de probabilidades. El señor Printzig tiene ahora el chance cuatro veces de pagar 30 euros ya que la probabilidad de X = 30 es igual a 4/10.

Tabla de Probabilidades:

	x1	x2	x3	x4
valor xi	30	50	60	100
probabilidad f(xi)	0,4	0,3	0,2	0,1

f(x) representa un valor determinado de la variable aleatoria x de la probabilidad. En un ejemplo:

Función de probabilidad de X:costos de reparación

P(X = 60) = f(x₃) = F(60) = 0,2

pero

P(X = 70) = f(70) = 0

pues para X = 70 no existe un resultado.

La suma de todas las probabilidades es

$\sum _{i=1}^{m}f(x_{i})=1\;$

Se puede representar esta probabilidad también gráficamente a través de un diagrama de barras.

Se puede ver que en el puesto de las X: 30, 50, 60, 100 el valor de la función de probabilidad es 0.4, 0.3, 0.2, 0.1 y para todos los demás valores es cero.

Pero ahora cuán grande es la probabilidad de que tenga que pagar el señor Printzig 50 euros o menos?

Probabilidad de que X sea menor o igual que 50

P(X ≤ 50) = P(X = 30) + P(X = 50) = 0,4 + 0,3 = 0,7.

Se puede deducir del gráfico también: la suma de las barras de x ≤ 50.

Con que probabilidad debe pagar el sr. Printzig menos de 100 euros?. La pregunta aquí es P(X < 100). Una mirada al gráfico nos acusa del valor:

Probabilidad X < 100

P(X < 100) = P(X ≤ 60) = P(X = 30) + P(X = 50) + P(X = 60) = 0,4 + 0,3 + 0,2 = 0,9.

Cuánto es la probabilidad de que sea menor o igual que 60 pero mayor que 30?

Se podría seguir calculando por el método de barras:

P(30 < X ≤ 60) = 0,3 + 0,2 = 0,5.

Pero hay otras formas de calcular esto que se puede reconocer por ayuda del gráfico:

P(a < X ≤ b) = P(X ≤ b) - P(X ≤ a),

por lo que sería

P(30 < X ≤ 60) = P(X ≤ 60) - P(X ≤ 30) = 0,9 - 0,4 = 0,5.

La probabilidad P(X ≤ a) de un determinado valor a de X constituye la función de distribución de X. La distribución de probabilidad de X describe una manera definida. Esta es una convención que se encuentran los estadistas sin sentido. La función de distribución se la representa con la letra mayúscula así F(a). En vez de a se acostumbra escribir el símbolo x. Queremos construir la función de distribución teniendo como ayuda el gráfico que antes mencionamos y para calcular el valor de ayuda x de la función de distribución.

Cuán grande es P(X ≤ 10)? La respuesta es P(X ≤ 10) = F(10) = 0.

Aunque también P(X ≤ 15) = 0 Y P(X ≤ 20) = 0.

F(a) = 0 para todos los valores de a en el intervalo - ∞ < a < 30.

Finalmente analicemos P(X ≤ 30):

P(X ≤ 30) = F(30) = 0,4. Aunque también es P(X ≤ 30,1) = 0,4 y P(X ≤ 49,99999) = 0,4.

La función de distribución tiene el valor F(a) = 0,4 para 30 ≤ a < 50.

Tiene los valores de: P(X ≤ 50), P(X ≤ 59), ... P(X ≤ 60); observando el gráfico 0,4 + 0,3 = 0,7.

...

Finalmente, la probabilidad es P(X ≤ 100) o también P(X ≤ 110), P(X ≤ 1000).... igual a 1.

Podemos resumir la probabilidad con la función de distribución

Función de distribución de X: Costos de reparación

$P(X\leq a)=F(a)={\begin{cases}0&{\mbox{para }}a<30\\0,4&{\mbox{para }}30\leq a<50\\0,7&{\mbox{para }}50\leq a<60\\0,9&{\mbox{para }}60\leq a<100\\1&{\mbox{para }}a\geq 100\end{cases}}$

Se observa que la función de distribución representa gráficamente a una función escalonada. Los puntos de la izquierda de los "escalones" muestran que los valores de las funciones pertenecen exactamente a esos valores de la escalera.

Se puede sacar también la probabilidad del gráfico, por ejemplo P(X ≤ 70) = 0,9.

En una variable aleatoria nos interesamos particularmente en dos valores conocidos, llamados parámetros, que describen exactamente a las variables aleatorias.

Uno es un valor promedio, que supone una variable aleatoria a largo plazo, cuando se ejecuta muy seguido sucesos aleatorios. Este parámetro se lo llama valor esperado (E), siendo el valor que se espera a largo plazo. Lo habíamos ya encontrado anteriormente como el costo promedio de las reparaciones así:

$E=50\cdot {\frac {3}{10}}+60\cdot {\frac {2}{10}}+30\cdot {\frac {4}{10}}+100\cdot {\frac {1}{10}}=49\;$

Otro parámetro es la dispersión de X, una medida de que tan dispersos están los valores de X cercanos al valor esperado. Así por ejemplo, de 100 es mas raro que ocurra que de 30, en comparación con la dispersión de su probabilidad. Al elevar al cuadrado esta desviación conseguimos que los valores no sean desproporcionados. Se mantiene en la solución como una desviación cuadrática del valor X de la varianza E

$varX=(30-49)^{2}\cdot 0,4+(50-49)^{2}\cdot 0,3+(60-49)^{2}\cdot 0,2+(100-49)^{2}\cdot 0,1$

$=361\cdot 0,4+1\cdot 0,3+121\cdot 0,2+2601\cdot 0,1=429$

donde se debe poner atención que aquí resulta la unidad E².

Hay que indicar que la raíz de la varianza es la desviación estándar.