Estadística/Distribución Chi-Cuadrada

MODELO DE DISTRIBUCION $\quad X^{2}$ (CHI CUADRADO) DE PEARSON $\,$

-Definición:$\,$ Sea $Z_{1},Z_{2},...,Z_{k}$ donde "k" son variables aleatorias normales e independientes, cada una con media 0 y desviación típica. Entonces, la variable aleatoria:

                                      $X^{2}=\quad Z_{1}^{2}+\quad Z_{2}^{2}+...+\quad Z_{k}^{2}\,$

es una variable chi cuadrado con k grados de libertad. Una variable aleatoria continua "i" tiene una distribucion Chi Cuadrado con parámetro "n", que denotaremos: $X^{2}(n)$, si su función de distribución (fd) es:

                                     $f(n)={\begin{cases}{\cfrac {e^{-i/2}*i^{n/2-1}}{G(n/2)*2^{n/2}}}&{\mbox{si }}0<i<\infty \\0&{\mbox{si }}i<=0\end{cases}}$

donde "G" es la funcion Gamma:

                                      $G(x)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt$

Propiedades: $\,$

                 *Sus valores son siempre positivos.
                 *Asimétrica. 
                 *A medida que aumenta k, la curva de densidad de la función está  menos  inclinada hacia la derecha y más simetrica a la moda.
                 *Posee la propiedad reproductiva: si $Z_{1}$ es $X^{2}(n_{1})$ y $Z_{2}$ es $X^{2}(n_{2})$ donde ambas son independientes, entonces $Z_{1}+Z_{2}$ es $X^{2}(n_{1}+n_{2})$.
                 *E(x) = K, donde E(x) es la esperanza matemática de la variable aleatoria "x".
                 *$\delta (x)={\sqrt {2K}}$ donde $\delta (x)$ es la desviación típica de "x".