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Teorema de Bayes

Frecuentemente se muestra la información sobre dos eventos como probabilidad condicional. Como se lo puede emplear?

Ejemplo para dos eventos

En un conocido parque temático se consumen diariamente grandes cantidades de bombillas para la decoración de los puestos. Para que el costo de los consumos no se aumente, el parque consume solo 60% de bombillas de marca y un 40% de bombillas sin marca. Debido a los observadores anteriores se conoce que de las bombillas de marca vienen el 5% mensual defectuosos. Empero las bombillas sin marca vienen mensualemente el 10% defectuosas.

Podemos representarlo gráficamente como en el gráfico 5: Cuando son defectuosos el 5% de las bombillas de marca, el 95% se queda bien. Entonces el 5% es la cantidad de bombillas defectuosas en las de marca, es decir se trata de una probabiliad condicional P(D|M).

Archivo:Bombilla.png

Gráfico 5. (Davon defekt = con defectos, davon ok = en buen estado)

El empresario del parque temático necesita la información para los planes de costos del próximo verano, cúan grande es la cantidad de bombillas de marca con defecto, es decir el busca P(M|D). Eso significa: Todas las bombillas defectuosas que se recojan en un día. Se saca un bombillo al azar'. Con que probabilidad se mantienen los bombillos de marca?

Entonces conocemos que:

$P(M|D)={\frac {P(M\cap D)}{P(D)}}$

Lamentablemente no se conoce los componentes de la fracción. Encontramos solo un método para calcularlo.

Seguimos en la búsqueda del número P(M ∩ D): Conocemos P(D|M) y entonces cálculamos

$P(D|M)={\frac {P(M\cap D)}{P(M)}}$

También se mantiene el conocido número en P(D|M) y puede calcularse fácilmente a través de la solución de una ecuación como

$P(M\cap D)=P(D|M)P(M)$

también

$P(M\cap D)=0{,}05\cdot 0{,}6=0{,}03$.

Ahora falta aún el denominador P(D). Contemplemos el diagrama de Venn del gráfico 6. D une a la intersección entre D ∩ M y ∩ $\;_{\bar {M}}$.

Archivo:Bombillab.png

Gráfico 6

La probabilidad total de D es entonces la suma de

$P(D)=P(M\cap D)+P({\bar {M}}\cap D)$.

se entiende que se demuestra como teorema la probabilidad total y eso nos da como hemos visto antes

$P(D)=P(D|M)P(M)+P(D|{\bar {M}})P({\bar {M}})$,

en nuestro ejemplo

$P(D)=0{,}05\cdot 0{,}+0{,}1\cdot 0{,}4=0{,}07$.

Son entonces el 7% de todas las bombillas defectuosas.

La buscada probabilidad condicional es ahora

$P(M|D)={\frac {P(M\cap D)}{P(D)}}={\frac {P(D|M)P(M)}{P(D|M)P(M)+P(D|{\bar {M}})P({\bar {M}})}}$,

Esta formúla es conocida como el Teorema de Bayes.

La probabilidad que necesitabamos es

$P(M|D)={\frac {0{,}03}{0{,}07}}=0{,}4286$.

Ésta probabilidad resulta por eso sorpresivamente alta porque se usan 50% mas bombillas de marca que sin marca. Correspondientemente es el número de las bombillas sin marca con defecto es de 0,5714.

Ahora queremos analizar que ocurre con mas de dos eventos.

Ejemplo para mas de dos eventos

Una expedición ocuapda por tres conductores de camión, los señores Ahorn, Behorn y Zehorn. Ahorn conduce el 50% de todo el camino, Behorn el 20% y Zehorn el 30%. De la experiencia se conoce que Ahorn produce una abolladura del 10% de todo el viaje, Behorn el 15% y Zehorn el 20%. (véase el gráfico 7)

Definimos el evento:

F₁: Ahorn conduce, F₂:Behorn ..., F₃:Zehorn ...

B: se ha producido una abolladura.

Queremos primero mantener los casos: cuando Ahorn conduce produce el 10% de abolladuras de todo el viaje, desarrolla el el resto 90% sin problemas.

Archivo:Lastwagen.png

Gráfico 7 (aller Fahrten = todos los viajes, dabei Beule = con abolladuras, keine beule = sin abolladuras)

Nos interesa la probabilidad que Ahorn conducido cuando aparece una abolladura en un camión una proxima vez, es decir para P(F₁|B).

Es otra vez

$P(F_{1}|B)={\frac {P(F_{1}\cap B)}{P(B)}}$.

Del teorema de multiplicación de la probabilidad debe ser

$P(F_{1}\cap B)=P(B|F_{1}){P(F_{1})}$

y también

$P(F_{1}\cap B)=0{,}1\cdot 0{,}5=0{,}05$.

Pero como se obtiene P(B)? También aqui vale nuevamente el teorema de la probabilidad total, p.e.:

$P(F_{1}\cap B)=P(B|F_{1})\cdot P(F_{1})$.

Obtenemos entonces para P(B)

$P(B)=P(F_{1}\cap B)+P(F_{2}\cap B)+P(F_{3}\cap B)$

$=P(B|F_{1})P(F_{1})+P(B|F_{2})P(F_{2})+P(B|F_{3})P(F_{3})$,

también

$P(B)=0{,}1\cdot 0{,}5+0{,}15\cdot 0{,}2\cdot 0{,}3=0{,}05+0{,}03+0{,}06=0{,}14$

Nuestra buscada probabilidad sería

$P(F_{1}|B)={\frac {P(F_{1}\cap B)}{P(B)}}={\frac {0{,}05}{0{,}14}}=0{,}3571$

que es correspondiente a

$P(F_{2}|B)={\frac {0{,}03}{0{,}14}}=0{,}2143$

y

$P(F_{3}|B)={\frac {0{,}06}{0{,}14}}=0{,}4286$

Entonces Zehorn ha conducido con gran probabilidad de tener abolladuras.