Diferencia entre revisiones de «Problemario de Señales y Sistemas/Convolución»
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Resuelto por Ender Valdivieso Carnet 06-40411'''
'''Ejercicio 1'''
<math> x_1 (t)= e^{-t} u(t)u(t-2) \,</math>.
<math> h_1 (t)= \delta (t) \,</math>.
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[[Imagen:110208H1.jpg]]
A priori conocemos que la función delta <math>\delta (t) \,</math> es el elemento neutro en la convolución. Por ende, debemos obtener la misma señal como salida. Al realizar los cálculos tenemos:
<math> x_1 (t-\tau )= \left \{ \begin{array}{lc} e^{\tau-t} & t-2< \tau <t \\ 0 & \mbox{resto} \end{array} \right. </math>
Para <math> 0 < t < 2 \,</math>
<math>y_1 (t) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{\tau-t}\delta(\tau)d\tau</math>
<math>y_1 (t) = e^{-t} \int_{-\infty}^{\infty}\delta(\tau)d\tau</math>
<math>y_1 (t) = e^{-t} u(t)u(2-t)\, </math>
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<math> x_2 (t)= r(t)u(1-t) \,</math>.
<math> h_2 (t)= u(t-2)u(4-t) \,</math>.
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[[Imagen:110208H2.jpg]]
<math> h_2 (t-\tau )= \left \{ \begin{array}{lc} 1 & t-4< \tau <t-2 \\ 0 & \mbox{resto} \end{array} \right. </math>
<math> 2_2 (\tau )= \left \{ \begin{array}{lc} \tau & 0< \tau <1 \\ 0 & \mbox{resto} \end{array} \right. </math>
Para <math> 0 < t < 2 \, </math>
<math>y_2 (t) = \int_{0}^{t-2}\tau d\tau</math>
<math>y_2 (t) = \frac {(t-2)^2}{2}</math>
Para <math> 3 < t < 4\, </math>
<math>y_2 (t) = \int_{0}^{1}\tau d\tau</math>
<math>y_2 (t) = \frac{1}{2}</math>
Para <math> 3 < t < 5 \, </math>
<math>y_2 (t) = \int_{t-4}^{1}\tau d\tau</math>
<math>y_2 (t) = \frac {1}{2} - \frac {(t-4)^2}{2}</math>
Enotonces la función <math>y_2 (t)\,</math> quedaría de la forma
<math> y_2 (t)= \left \{ \begin{array}{lc} \frac {(t-2)^2}{2} & 2< t < 3 \\ \frac {1}{2} & 3< t < 4 \\ \frac {1}{2} - \frac {(t-4)^2}{2} & 4< t < 5 \\ 0 & \mbox{resto} \end{array} \right. </math>
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<math> x_3 (t)= e^{-|t|}u(t+2)u(2-t) \,</math>.
<math> h_3 (t)= u(t-1)u(2-t) \,</math>.
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[[Imagen:110208H3.jpg]]
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