Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de grupos/Grupos»
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Si <math>a</math> es el elemento de un monoide <math>G</math> y <math>n\in\Z</math> es un entero positivo, definimos
{{Eqn|<math>a^n=a\cdots a\qquad (n\ \mbox{factores}),</math>}}
Cuando nuestra notación sea aditiva escribiremos <math>na</math> en lugar de <math>a^n
{{Eqn|<math>a^{-n}=a^{-1}\cdots a^{-1}\qquad (n\ \mbox{factores}).</math>}}▼
▲Cuando nuestra notación sea aditiva escribiremos <math>na</math> en lugar de <math>a^n</math> y <math>-na</math> en lugar de <math>a^{-n}</math>.
Sea <math>G</math> un monoide y <math>a_1\ldots a_n</math> elementos de <math>G</math> con <math>1<n\in\Z</math>. Se define inductivamente el producto de <math>a_1\ldots a_n</math> como
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El elemento <math>b</math> aludido en la definición anterior se llama '''inverso''' de <math>a</math> y es único, pues si <math>b'</math> es otro inverso de <math>a</math>, entonces <math>b=b(ab')=(ba)b'~=~b'</math>. En notación multiplicativa y notación aditiva el inverso de <math>a</math> se denota, respectivamente, por <math>a^{-1}</math> y <math>-a</math>.
Se define
▲{{Eqn|<math>a^{-n}=a^{-1}\cdots a^{-1}\qquad (n\ \mbox{factores}).</math>}}
En notación aditiva se escribe <math>-na</math> en lugar de <math>a^{-n}</math>.
Un grupo <math>G</math> en el que se verifica la propiedad conmutativa, es decir, en el que <math>ab=ba</math> para cualesquiera <math>a</math> y <math>b</math> de <math>G</math>, se dice grupo '''abeliano'''.
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