Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de grupos/Grupos»
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entonces el par <math>(G,\cdot)</math> se llama un '''monoide'''.
En lo sucesivo, cuando no haya lugar a confusión, nos referiremos a un monoide <math>(G,\cdot)</math> simplemente como el monoide <math>G</math>, haciendo mención sólo del conjunto y dejando que la operación se deduzca del contexto.
El elemento <math>e</math> aludido en la definición anterior se dice '''identidad''' o '''elemento neutro''' del monoide <math>G</math>, y es único, pues si <math>e'</math> fuera otro elemento de <math>G</math> con las mismas propiedades, entonces <math>e=ee'=e'</math>. Para representar identidades usaremos el símbolo 1 en notación multiplicativa y el símbolo 0 en notación aditiva.
Representaremos por <math>|G|</math> al cardinal de un monoide <math>G</math>.
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{{Eqn|<math>\prod_{i=1}^n a_i=a_1\cdots a_n=(a_1\cdots a_{n-1})a_n.</math>}}
Definimos
{{Eqn|<math>\prod_{i=1}^0 a_i
Con estas definiciones, se cumple el
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'''<font size=3>Teorema 1.4 (Ley conmutativa general):</font>''' ''Sea <math>G</math> un monoide conmutativo y <math>a_1\ldots a_n</math> elementos de <math>G</math>. Sea <math>\
{{Eqn|<math>\prod_{i=1}^n a_{\phi(i)}=\prod_{i=1}^n a_i</math>}}
'''Demostración:''' Por inducción sobre <math>n</math>. Para <math>n=1</math> es evidente. Supóngase cierto para <math>n-1</math>. Sea <math>k</math> el entero tal que <math>\
{{Eqnarray|
A1=<math>\prod_{i=1}^n a_{\phi(i)}</math>|A2=<math>\prod_{i=1}^{k-1}a_{\phi(i)}\cdot a_{\phi(k)}\cdot\prod_{i=1}^{n-k}a_{\phi(k+i)}</math>|
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