Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de grupos/Subgrupos normales»
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Línea 107:
Primeramente observamos que esta aplicación está bien definida, pues si <math>bN=aN\,\!</math>, entonces <math>a^{-1}b\in N</math>, y como <math>N\subseteq\ker f</math>, también <math>a^{-1}b\in\ker f</math>, luego <math>f(a)=f(b)</math>. Es fácil ver que <math>\bar f</math> es un homomorfismo, y puesto que está completamente determinada por <math>f</math>, es el único homomorfismo que cumple <math>\bar f\circ\varphi=f</math>. (1) es evidente. (2) <math>\ker\bar f=\{aN\mid f(a)=1_H\}=\{aN\mid a\in\ker f\}=(\ker f)/N</math>. <math>\bar f</math> es un monomorfismo si y sólo si <math>\ker\bar f=(\ker f)/N</math> es el subgrupo trivial de <math>(G/N)</math>, es decir, si y sólo si <math>\ker f=N</math>.}}
El teorema fundamntal de homomorfismos puede enunciarse también de la manera así: si <math>f:G\longrightarrow H</math> es un homomorfismo de grupos y <math>N</math> un subgrupo normal de <math>G</math> tal que <math>N\in\ker f</math>, entonces existe un único homomorfismo <math>\bar f:(G/N)\longrightarrow H</math> que da lugar al diagrama conmutativo siguiente:
<center>[[Imagen:Teo_Fund_Homo_Diag.svg|135px]]</center>
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