Diferencia entre revisiones de «Matemáticas/Teoría de grupos/Subgrupos normales»
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Agrego el tercer teorema de isomorfía y su demostración |
Sin resumen de edición |
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Línea 96:
<font size=3>'''Teorema 1.32 (Teorema fundamental de homomorfismos):'''</font> ''Sea <math>f:G\longrightarrow H</math> un homomorfismo de grupos y <math>N</math> un subgrupo normal de <math>G</math> tal que <math>N\in\ker f</math>. Entonces existe un único homomorfismo <math>\bar f:(G/N)\longrightarrow H</math> tal que <math>\bar f\circ\varphi=f</math>, donde <math>\varphi:G\longrightarrow (G/N)</math> es la proyección canónica. Además:
:(1) <math>\bar f</math> es un epimorfismo si y sólo si <math>f\,\!</math> lo es;
:(2) <math>\ker\bar f=(\ker f)/N</math>
:(3) <math>\bar f</math> es un monomorfismo si y sólo si <math>\ker f=N\,\!</math>
Línea 132:
{{Proof|1=Sea <math>\varphi: G\longrightarrow (G/H)</math> la proyección canónica. Tal aplicación es un epimorfismo de grupos, y por el teorema 1.31, <math>\ker\varphi=H</math>, luego <math>N\leq\ker\varphi</math>, así es que, de acuerdo con el teorema 1.32, existe un epimorfismo <math>\bar\varphi:(G/N)\longrightarrow (G/H)</math>, pero <math>aN\in\ker\bar\varphi</math>
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